第五章 參數(shù)估計(jì)

5.1參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題5.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)5.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)5.4樣本容量的確定第五章參數(shù)估計(jì)11、一家調(diào)查公司進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查，其目的是為了了解某市電信營(yíng)業(yè)廳大客戶對(duì)該營(yíng)業(yè)窗口服務(wù)的滿意情況。調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了30名去該電信營(yíng)業(yè)廳辦理業(yè)務(wù)的大客戶，發(fā)現(xiàn)受訪者有9名認(rèn)為營(yíng)業(yè)廳現(xiàn)在的服務(wù)質(zhì)量比兩年前好。試在95%的置信水平下對(duì)大客戶中認(rèn)為營(yíng)業(yè)廳現(xiàn)在的服務(wù)質(zhì)量比兩年前好的比率進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。2、某大學(xué)生記錄了自己一個(gè)月31天所花費(fèi)的伙食費(fèi)，經(jīng)計(jì)算得出了這個(gè)月平均每天花費(fèi)10.2元，標(biāo)準(zhǔn)差2.4元。若置信水平為95%，試估計(jì)該學(xué)生每天平均伙食費(fèi)的置信區(qū)間。3、據(jù)某市場(chǎng)調(diào)查公司對(duì)某市80名隨機(jī)受訪的購(gòu)房者的調(diào)查得到了該市購(gòu)房中本地購(gòu)房比率p的區(qū)間估計(jì)，在顯著性水平為10%時(shí)，其邊際誤差E=0.08，則：（1）這80名受訪者樣本中為本地購(gòu)房者的比率是多少?（2）若置信水平為95%，則要保持同樣的精度進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，需要調(diào)查多少名購(gòu)房者？問(wèn)題的提出：2解決問(wèn)題：【例1】這是一個(gè)求某一屬性所占比率的區(qū)間問(wèn)題。已知n=30，，樣本比率p=30%。總體比率的區(qū)間為：即[13.6%，46.4%]。3解決問(wèn)題：【例2】已知，s=2.4，則其置信區(qū)間為：該學(xué)生每天平均生活費(fèi)的95%的置信區(qū)間為9.36元到11.04元。4解決問(wèn)題：【例3】（1）由比率估計(jì)的公式

E=得：則：p=0.75（2）所要確定的樣本容量為：5解決問(wèn)題：【例3】即：當(dāng)顯著性水平由0.1變?yōu)?.05時(shí)，要保持同樣的精度，樣本容量應(yīng)從80增加到113.65.1參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題5.1.1參數(shù)估計(jì)的三個(gè)基本術(shù)語(yǔ)5.1.2參數(shù)估計(jì)的方法5.1.3評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)75.1.1參數(shù)估計(jì)的三個(gè)基本術(shù)語(yǔ)這三個(gè)術(shù)語(yǔ)是：參數(shù)估計(jì)，估計(jì)量，估計(jì)值。所謂參數(shù)估計(jì)，又稱抽樣估計(jì)，就是根據(jù)樣本提供的信息對(duì)總體的某些特征進(jìn)行估計(jì)或推斷。如：用估計(jì)估計(jì)估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)85.1.1參數(shù)估計(jì)的三個(gè)基本術(shù)語(yǔ)估計(jì)量。參數(shù)估計(jì)中，用來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量，稱之為估計(jì)量，用符號(hào)表示。

如上頁(yè)圖示左邊的樣本指標(biāo)統(tǒng)稱估計(jì)量。估計(jì)值。根據(jù)樣本資料計(jì)算出的估計(jì)量的具體數(shù)值，稱之為估計(jì)值。

如：對(duì)山大在校男生的身高進(jìn)行估計(jì)。隨機(jī)抽取100名學(xué)生，其平均身高為174cm。則：

所要估計(jì)的山大男生的平均身高，為參數(shù)；樣本的平均身高，即樣本均值，為估計(jì)量；根據(jù)100名男生身高所計(jì)算出的具體平均值174cm,即為估計(jì)值。95.1.2參數(shù)估計(jì)的方法參數(shù)估計(jì)的方法有兩種：點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)1、點(diǎn)估計(jì)又叫定值估計(jì)，就是用樣本估計(jì)量的值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值

。點(diǎn)估計(jì)常用的方法有兩種：矩估計(jì)法極大似然估計(jì)法

優(yōu)缺點(diǎn)：其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、具體明確。但點(diǎn)估計(jì)總有一定的抽樣誤差，而點(diǎn)估計(jì)本身又無(wú)法說(shuō)明抽樣誤差的大小，也無(wú)法說(shuō)明估計(jì)結(jié)果有多大的把握程度。因此，通常進(jìn)行的估計(jì)，一般都是區(qū)間估計(jì)，因?yàn)閰^(qū)間估計(jì)能夠比較好地解決參數(shù)估計(jì)的精確度與可靠程度的問(wèn)題。105.1.2參數(shù)估計(jì)的方法（1）

矩估計(jì)法矩估計(jì)法是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson提出的。其基本思想是：由于樣本來(lái)源于總體，樣本矩在一定程度上反映了總體矩，而且由大數(shù)定律可知，樣本矩以概率收斂與總體矩。因此，只要總體X的k階原點(diǎn)矩存在，就可以用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量，用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計(jì)量。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，矩是指以期望值為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征，例如數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差等。矩可以分為原點(diǎn)矩和中心矩兩種。（2）極大似然估計(jì)法（略）極大似然估計(jì)法（MaximumLikelihoodEstimate，簡(jiǎn)記為MLE）是由Fisher提出的一種參數(shù)估計(jì)方法。其基本思想是：設(shè)總體分布的函數(shù)形式已知，但有未知參數(shù)

，

可以取很多值，在

的一切可能取值中選一個(gè)使樣本觀察值出現(xiàn)的概率為最大的

值作為估計(jì)值，記作,并稱為

的極大似然估計(jì)值。這種求估計(jì)量的方法稱為極大似然估計(jì)法。115.1.2參數(shù)估計(jì)的方法2、區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)就是根據(jù)樣本估計(jì)量、以一定的可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。這種估計(jì)不僅以樣本估計(jì)量為依據(jù)，而且考慮了估計(jì)量的分布，所以它能給出估計(jì)量的精度（準(zhǔn)確性），也能說(shuō)明估計(jì)結(jié)果的把握程度（可靠程度）。125.1.3評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)在參數(shù)估計(jì)中，用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量有很多（不僅僅局限于前述所指出的統(tǒng)計(jì)量），比如，估計(jì)總體均值也可以用樣本中位數(shù)做為估計(jì)量，等等。然而，究竟用哪種估計(jì)量對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，這就需要對(duì)估計(jì)效果作出評(píng)判，進(jìn)而就需要有一定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)好的估計(jì)量通常要求滿足以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：

131、無(wú)偏性所謂無(wú)偏性是指樣本估計(jì)量的均值應(yīng)等于被估計(jì)總體參數(shù)的真值。數(shù)理統(tǒng)計(jì)已證明，、，同樣可證明。2、有效性所謂有效性是指作為優(yōu)良的估計(jì)量，除了滿足無(wú)偏性外，其方差應(yīng)比較小。這樣才能保證估計(jì)量的取值能集中在被估計(jì)的總體參數(shù)的附近，對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)和推斷更可靠。3、一致性一致性又稱相合性，即隨著樣本容量n的增大，一個(gè)好的估計(jì)量將在概率意義下愈來(lái)愈接近于總體的真值。（這點(diǎn)通過(guò)樣本均值的抽樣分布標(biāo)準(zhǔn)差分析之）樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)的估計(jì)量、樣本比例作為總體比例的估計(jì)量，樣本方差作為總體方差的估計(jì)量，都具有上述優(yōu)良性質(zhì)，所以，通常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)，用樣本比率去估計(jì)總體比率，用樣本方差去估計(jì)總體方差。5.1.3評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)145.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)5.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)5.2.2總體比率的區(qū)間估計(jì)5.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)155.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)在對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，需要考慮總體是否是正態(tài)分布，總體方差是否已知，用于構(gòu)造估計(jì)量的樣本是大樣本還是小樣本等。1、總體方差已知，正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)當(dāng)總體服從正態(tài)分布且已知時(shí)，無(wú)論所抽選的樣本是大樣本還是小樣本，樣本均值的抽樣分布均為正態(tài)分布，即：重復(fù)抽樣下，～N（μ，σ2/n），建立置信區(qū)間所用的統(tǒng)計(jì)量是Z統(tǒng)計(jì)量：

～N（0，1）Z=165.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)構(gòu)造總體均值所在（1-）置信水平下的的置信區(qū)間為：

稱為顯著性水平，是事先確定的一個(gè)概率值，也被稱為風(fēng)險(xiǎn)值，它是總體均值不包括在置信區(qū)間的概率；（1-）稱為置信水平；是估計(jì)總體均值時(shí)的允許誤差，即誤差范圍。因此，總體均值的置信區(qū)間也可以表示為：175.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)

該表達(dá)形式表明，總體均值的置信區(qū)間是由兩部分組成，即：點(diǎn)估計(jì)值和允許誤差。當(dāng)總體方差未知，但總體均值和方差有限，只要是大樣本，即使總體分布形式未知或總體為非正態(tài)分布，依據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似正態(tài)分布，因此，估計(jì)總體均值的方法同上。不過(guò)此時(shí)，要用樣本方差替代未知的總體方差。

185.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)2、總體方差未知，正態(tài)總體（小樣本）當(dāng)總體服從正態(tài)分布，但方差未知時(shí)，小樣本情況下，則需用樣本方差代替總體方差，此時(shí)樣本均值經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化以后統(tǒng)計(jì)量（隨機(jī)變量）服從自由度為（n-1）的t分布，即：

這時(shí)，需要采用t分布建立總體均值的置信區(qū)間。195.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)則所構(gòu)造的總體均值在（1-）置信水平下的置信區(qū)間為：205.2.2總體比率的區(qū)間估計(jì)在此，只討論大樣本情況下總體比率的估計(jì).根據(jù)樣本比率的抽樣分布可知，當(dāng)n時(shí)，樣本比率p的抽樣分布近似于正態(tài)分布，即：

將樣本比率標(biāo)準(zhǔn)化后的統(tǒng)計(jì)量z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：

z=215.2.2總體比率的區(qū)間估計(jì)所構(gòu)造的總體比率p在（1-）置信水平下的置信區(qū)間為：與總體均值的置信區(qū)間構(gòu)成相同，總體比率的置信區(qū)間也是由兩部分組成的，即：點(diǎn)估計(jì)值和允許誤差。225.2.2總體比率的區(qū)間估計(jì)說(shuō)明：樣本比率的抽樣分布對(duì)n的要求。見(jiàn)教材p141235.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)在此，只討論正態(tài)總體方差的估計(jì)。根據(jù)樣本方差的抽樣分布可知，樣本方差服從自由度為（n-1）的分布，即：

因此，用分布構(gòu)造總體方差的置信區(qū)間。給定一個(gè)顯著性水平，用分布構(gòu)造的總體方差的置信區(qū)間為：

245.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)用圖示表示：0圖5.1自由度為（n-1）的分布255.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)用代替，最終可推導(dǎo)出總體方差

在（1-）置信水平下的置信區(qū)間：

265.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

如第四章所講，兩個(gè)總體的參數(shù)估計(jì)，主要是對(duì)兩個(gè)總體的

，

，等的估計(jì)。

5.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)獨(dú)立樣本匹配樣本5.3.2兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì)5.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

275.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)對(duì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)，需要考慮兩個(gè)樣本是獨(dú)立樣本還是匹配樣本，以及樣本容量是大是小等相關(guān)的情況。1、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：獨(dú)立樣本所謂獨(dú)立樣本，是指兩個(gè)樣本是從兩個(gè)總體中獨(dú)立抽取的，即一個(gè)樣本的元素與另一個(gè)樣本的元素相互獨(dú)立。（例p133）281、兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：獨(dú)立樣本（1）總體方差已知，正態(tài)總體；或大樣本如果兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，且方差已知，則無(wú)論樣本容量是大樣本還是小樣本；或者，兩個(gè)總體分布未知，方差也未知，但兩個(gè)樣本都為大樣本（）295.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)根據(jù)抽樣分布可知，兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布，服從的正態(tài)分布。~

將兩個(gè)樣本均值之差標(biāo)準(zhǔn)化后，則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：z=305.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)當(dāng)兩個(gè)總體方差已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差在（1-）置信水平下的置信區(qū)間為：

當(dāng)兩個(gè)總體的方差未知時(shí)，可用兩個(gè)樣本方差來(lái)代替，則所構(gòu)造的置信區(qū)間為：例5.6315.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)（2）總體方差未知，正態(tài)總體，小樣本第一種情況：當(dāng)兩個(gè)總體的方差未知但相等，即：則需用兩個(gè)樣本的方差來(lái)估計(jì)，這時(shí)需將兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)結(jié)合在一起，以給出總體方差的合并估計(jì)量，用表示，其公式為：325.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)將兩個(gè)樣本均值之差標(biāo)準(zhǔn)化后服從自由度為的t分布，即：

因此，兩個(gè)總體均值之差在（1-）置信水平下的置信區(qū)間為：例5.7335.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)第二種情況：當(dāng)兩個(gè)總體的方差未知但不相等，即：，兩個(gè)樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后近似服從自由度為的t分布。自由度的計(jì)算公式為：345.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)構(gòu)造兩個(gè)總體均值之差在（1-）置信水平下的置信區(qū)間。355.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)2、兩個(gè)總體均值的估計(jì)：匹配樣本所謂匹配樣本，是指一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)與另一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)。為何使用“匹配樣本”？（1）大樣本在大樣本情況下，兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為：365.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)式中：d—兩個(gè)匹配樣本對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)差值；—所有差值的均值；—各差值的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)總體的未知時(shí)，可用樣本差值的標(biāo)準(zhǔn)差代替。（2）小樣本小樣本情況下，假定兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布。則兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間為：375.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

例題教材p148（例5.9）385.3.2兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì)依據(jù)第四章抽樣分布知識(shí)，從兩個(gè)二項(xiàng)總體中抽取兩個(gè)獨(dú)立的大樣本，樣本比率之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，則所構(gòu)造的的置信區(qū)間為：

例5.10395.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題的提出：現(xiàn)實(shí)中，如果要對(duì)兩種測(cè)量工具的精度作出評(píng)價(jià)；如果要對(duì)兩個(gè)生產(chǎn)過(guò)程的穩(wěn)定性作出評(píng)價(jià)；如果要對(duì)兩種不同方法生產(chǎn)的產(chǎn)品性能的穩(wěn)定性作出評(píng)價(jià)；如果要對(duì)兩個(gè)教授評(píng)分的差異性作出評(píng)判，等等。以上諸多問(wèn)題該如何解決？?jī)蓚€(gè)總體方差的比較就可以解決上述問(wèn)題。405.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)與比較兩個(gè)總體均值不一樣，比較兩個(gè)總體的方差，要用各自的樣本方差比來(lái)判別。如果接近于1，說(shuō)明兩個(gè)總體方差很接近；反之，說(shuō)明兩個(gè)總體方差之間存在差異。由第四章抽樣分布可知，當(dāng)兩個(gè)總體正態(tài)分布時(shí)，

415.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)因此，要用F分布來(lái)構(gòu)造兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間。這個(gè)置信區(qū)間為：此置信區(qū)間等同于：

425.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)通過(guò)上一公式，可推導(dǎo)出兩個(gè)總體方差比在一定置信水平下的置信區(qū)間為：查F分布表時(shí)注意：F分布表給出的是上側(cè)面積的分位數(shù)，即，而的分位數(shù)值是通過(guò)下列關(guān)系求得的：435.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

例5.11445.4樣本容量的確定抽樣設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要內(nèi)容就是要確定必要的樣本單位數(shù)。

所謂必要的樣本單位數(shù)，就是為了使抽樣誤差不超過(guò)給定的允許范圍至少應(yīng)抽取的樣本單位數(shù)目。確定必要樣本單位數(shù)的原則是：在保證抽樣推斷能達(dá)到預(yù)期的可靠程度和精確性的要求下，使費(fèi)用達(dá)到最小，即用盡可能少的樣本容量而能達(dá)到誤差在允許范圍之內(nèi)。455.4