專題5.4求解二元一次方程組-代入法（知識講解）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（北師大版）

專題5.4求解二元一次方程組-代入法（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解消元的思想；2.會用代入法解二元一次方程組.【要點梳理】要點一、消元法1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一個未知數(shù).這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.要點二、代入消元法通過“代入”消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法．特別說明：(1)代入消元法的關(guān)鍵是先把系數(shù)較簡單的方程變形為用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一個方程中達到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①當(dāng)方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式時，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或-1)的方程．則選擇系數(shù)為1(或-1)的方程進行變形比較簡便；(3)若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1，選系數(shù)的絕對值較小的方程變形比較簡便．【典型例題】類型一、用代入法解二元一次方程組1．用代入法解下列方程組：（1）；

（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】根據(jù)代入法解二元一次方程組即可．解：（1），把①代入②，得2b+3=3b+20．解得：b=-17，把b=-17代入①，得a=-31，∴原方程組的解為；（2），由①得，x=13+y③，把③代入②，得13+y=6y-7．解得：y=4，把y=4代入③，得x=17，∴原方程組的解為；（3），由①得，x=4+y③，把③代入②，得4(4+y)+2y=-1．解得：y=-，把y=-代入③，得x=，∴原方程組的解為；（4），由①得，y=5x-110③，把③代入②，得9(5x-110)-x=110．解得：x=25，把x=25代入③，得y=15，∴原方程組的解為．【點撥】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握代入法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用代入消元法解下列方程組：（1）

（2）【答案】（1）（2）【分析】(1)將①代入②，即可消去x，求出y值，再把y值代入①，求出x即可得解；將②代入①消去y，求出x的值，然后把x值代入②求出y值，即可得解．解：（1）把①代入②，得，解得.把代入①，得.故原方程組的解為.（2）把②代入①得，解得.把代入②，得，解得.故原方程組的解為.【點撥】本題考查代入消元法解二元一次方程組．解題關(guān)鍵是掌握運用代入法解二元一次方程組的方法．【變式2】用代入法解下列方程組：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由①，得③，把③代入②，求出y，再把y的值代入③求得x的值從而得到方程組的解；(2)由①，得3y=2x-4③，把③代入②，求出x，再把x的值代入③求得y的值從而得到方程組的解解：（1），由①，得③把③代入②，得.解得.把代入①，得.故原方程組的解為，（2），由①得3y=2x-4③把③代入②，得.解得.把代入③得.故原方程組的解為.【點撥】此題考查了代入法解二元一次方程組．熟練掌握代入法解二元一次方程組方法是解本題的關(guān)鍵．【變式3】用代入消元法求解下列方程組

（1）；（2）．【答案】（1）（2）試題分析：方程組利用代入消元法求出解即可．解：（1），

由①得：x=﹣5y+6③，把③代入②得：﹣15y+18﹣6y﹣4=0，即y=，把y=代入③得：x=．則方程組的解為（2），

由②得：x=y+0.75③，把③代入①得：2y+1.5+3y=4，即y=0.5，把y=0.5代入③得：x=1.25．則方程組的解為類型二、用代入法解二元一次方程組的綜合運用2．解方程組：【答案】解：原方程組整理得：，把②代入①，得：，解得．把代入②，得：．∴原方程組的解為：．舉一反三：【變式1】用代入法解下列方程組：；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)解：試題分析：（1）由①解出x，代入②即可；（2）方程整理后用代入消元法求解即可；（3）方程整理后用代入消元法求解即可．解：（1）由①，得：x＝3－y．③把③代入②，得：8（3－y）＋3y＋1＝0．解得：y＝125．把y＝125代入③，得：x＝－47．∴原方程組的解是．（2）原方程組變形為將①代入②，得：2（3y＋11）－5y＝－6，6y＋22－5y＝－6．解得：y＝－28．把y＝－28代入①，得：x＝3×（－28）＋11＝－73．∴原方程組的解是．（3）原方程組可化為，由①，得：y＝5x－36，③把③代入②，得：x＋5（5x－36）＝28，解得：x＝8．把x＝8代入③，得：y＝4．∴這個方程組的解是．【變式2】解下列方程組：（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先將原方程的第一個方程去括號、移項、合并同類項，第二個方程去分母，化簡成，再利用代入消元法解題；（2）先將原方程的第一個方程去分母、去括號、移項、合并同類項，第二個方程去括號，化簡，整理成，再利用代入消元法解題．解：（1）整理得，由①得，③把③代入②得，把代入③得（2）整理得，由②得，③把③代入①得把代入③得，．【點撥】本題考查代入消元法解二元一次方程組，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式3】解下列方程組：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)二元一次方程組的代入消元法解法步驟，分步計算即可．解：由得：，將代入得：去括號得：移項、合并同類項得：系數(shù)化為“1”得：代入得：所以方程組的解為：（2）解：將方程兩邊同時乘以12，得：；將方程兩邊同時乘以6，得：原二元一次方程組變形為：由得：將代入，得：去括號，得：移項并合并同類項，得：系數(shù)化為“1”得：代入得：所以方程組的解為：【點撥】本題考查二元一次方程組的解法，根據(jù)相關(guān)的步驟分步計算即可．類型三、用代入法解二元一次方程其他應(yīng)用3．若（am+1bn+2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，則求m+n的值．【答案】．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把左側(cè)化簡，然后列出關(guān)于m和n的方程組求解即可．解：(am+1bn+2)(a2n﹣1b2n)＝am+1×a2n﹣1×bn+2×b2n＝am+1+2n﹣1×bn+2+2n＝am+2nb3n+2＝a5b3．∴，解得：n，m，m+n．【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，以及二元一次方程組的解法，根據(jù)題意列出方程組是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】若，求的值.【答案】6【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及偶次方根的非負性可得：，解得，然后代入計算即可．解：∵，，，∴2x+y-1=0，x-3y+17=0，∴，解得，∴．【點撥】此題考查了已知字母的值，求代數(shù)式的值，解二元一次方程組，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根及偶次方根的非負性是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知的展開式中，項的系數(shù)是，項的系數(shù)是，求、的值．【答案】．【分析】先計算多項式乘以多項式，然后根據(jù)項的系數(shù)是，項的系數(shù)是得出關(guān)于a、b的方程組，求解即可．解：，∵項的系數(shù)是，項的系數(shù)是∴