2015福州市第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)文試題及答案（3月）

2015年福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)能力測試（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號、姓名；2．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．參考公式：1．樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，其中為樣本平均數(shù)；2．柱體體積公式：，其中為底面面積，為高；3．錐體體積公式：，其中為底面面積，為高.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．把正確選項(xiàng)涂在答題卡的相應(yīng)位置上．）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

A． B． C． D．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為

A． B． C． D．第3題圖如圖是某籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員12個(gè)場次得分的莖葉圖．設(shè)甲、乙兩人得分的平均數(shù)分別為,，中位數(shù)分別為,，則

A． B．

C． D．第3題圖已知直線為雙曲線（）的一條漸近線，則雙曲線的離心率為

A． B． C．2 D．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的有序?qū)崝?shù)對為

A．

B．

C．

D．第5題圖已知直線與平面平行，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A．直線與平面沒有公共點(diǎn)

B．存在經(jīng)過直線的平面與平面平行

C．直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行

D．直線上所有的點(diǎn)到平面的距離都相等第5題圖已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè),,，則的大小關(guān)系為

A． B． C． D．設(shè)變量滿足約束條件則的取值范圍為

A． B． C． D．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積為

A．17

B．22

C．

D．第10題圖函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A．0 B．1 C．2 D．3第10題圖在中，點(diǎn)為的重心．已知，且向量與的夾角為，則的最小值是

A． B．6 C．9 D．24已知函數(shù)，有下列三個(gè)結(jié)論：

=1\*GB3①存在常數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)，恒有成立；

②對任意給定的正數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得；

=3\*GB3③直線與函數(shù)的圖象相切，且切點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)．

則所有正確結(jié)論的序號是

A．① B．② C．③ D．②③第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．）已知集合，則集合等于★★★．已知函數(shù)．若在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則使得不等式成立的概率為★★★．的內(nèi)角所對的邊分別是．若，則的值為★★★．在各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列中，，，且，則的值為★★★．三、解答題(本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程.)（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若，求的值．（本小題滿分12分）

調(diào)查表明，中年人的成就感與收入、學(xué)歷、職業(yè)的滿意度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性．現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為，并對它們進(jìn)行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標(biāo)的值評定中年人的成就感等級：若，則成就感為一級；若，則成就感為二級；若，則成就感為三級．為了了解目前某群體中年人的成就感情況，研究人員隨機(jī)采訪了該群體的10名中年人，得到如下結(jié)果：人員編號人員編號（Ⅰ）若該群體有200人，試估計(jì)該群體中成就感等級為三級的人數(shù)是多少？（Ⅱ）從成就感等級為一級的被采訪者中隨機(jī)抽取兩人，這兩人的綜合指標(biāo)均為4的概率是多少？（本小題滿分12分）

如圖，在長方體中，，為線段上一點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的高．

第19題圖

第19題圖（本小題滿分12分）

小輝是一位收藏愛好者，在第1年初購買了價(jià)值為20萬元的收藏品M，由于受到收藏品市場行情的影響，第2年、第3年的每年初M的價(jià)值為上年初的；從第4年開始，每年初M的價(jià)值比上年初增加4萬元.

（Ⅰ）求第幾年初開始M的價(jià)值超過原購買的價(jià)值；

（Ⅱ）記（）表示收藏品M前年的價(jià)值的平均值，求的最小值．

（本小題滿分12分）

已知函數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若是的極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．

（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓（）的離心率．點(diǎn)分別為橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作一條直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸第22題圖的對稱點(diǎn)為．若，求證：．第22題圖2015年福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)能力測試參考答案及評分細(xì)則一、選擇題：本題共有12個(gè)小題，每小題5分，滿分60分．1．A 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C7．C 8．B 9．D 10．B 11．B 12．D二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分16分．13． 14． 15．2 16．55三、解答題：本大題共6小題，共74分．17．本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對稱性、周期性、單調(diào)性）、二倍角的余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．滿分12分．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以?2分所以．因?yàn)楹瘮?shù)與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間距離為，所以， 3分所以，解得 4分所以．令， 5分解得． 6分所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是． 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因?yàn)?，所以?8分所以 10分 11分． 12分18．本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查必然與或然思想．滿分12分．【解析】（Ⅰ）計(jì)算10名被采訪者的綜合指標(biāo)，可得下表：人員編號綜合指標(biāo)4462453513 1分由上表可知：成就感為三級（即）的只有一位，其頻率為． 3分用樣本的頻率估計(jì)總體的頻率，可估計(jì)該群體中成就感等級為三級的人數(shù)有． 5分（Ⅱ）設(shè)事件為“從成就感等級是一級的被采訪者中隨機(jī)抽取兩人，他們的綜合指標(biāo)均為4”．由（Ⅰ）可知成就感是一級的（）有：，共6位，從中隨機(jī)抽取兩人，所有可能的結(jié)果為：，共15種． 9分其中綜合指標(biāo)有：，共3名，事件發(fā)生的所有可能結(jié)果為：，共3種， 10分所以． 12分19．本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分12分．證明：（Ⅰ）連結(jié)．因?yàn)槭情L方體，且，所以四邊形是正方形， 1分所以． 2分因?yàn)樵陂L方體中，平面，平面，所以． 4分因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面?5分因?yàn)槠矫?，所?6分（Ⅱ）點(diǎn)到平面的距離，的面積， 7分所以． 8分在Rt△中，,所以， 9分同理.又，所以的面積． 10分設(shè)三棱錐的高為，則因?yàn)?，所以?11分所以，解得．即三棱錐的高為 12分20．本小題主要考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．滿分12分．解：（Ⅰ）設(shè)第年初M的價(jià)值為，依題意，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為20，公比為的等比數(shù)列，所以．故，，所以． 2分當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，又，所以． 3分令，得，又因?yàn)?，所以?4分因此，第7年初M開始的價(jià)值超過原購買的價(jià)值． 5分（Ⅱ）設(shè)表示前年初M的價(jià)值的和，則由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，①； 7分當(dāng)時(shí)，由于，故，．② 9分當(dāng)時(shí)，由①得，，，，所以 10分當(dāng)時(shí)，由②知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．即． 11分由于，故在第4年初的值最小，其最小值為11． 12分21．本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分12分．解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以?1分由是的極值點(diǎn)，得， 2分解得， 3分此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，是的極值點(diǎn)．所以所求的實(shí)數(shù)的值為0． 4分（Ⅱ）證明：取時(shí)，，此時(shí)． 6分構(gòu)造函數(shù)， 7分所以在上恒負(fù)，所以在上單調(diào)遞減， 8分所以, 9分故在恒成立，說明在上單調(diào)遞減． 10分所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，所以?11分所以成立． 12分22．本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．滿分14分．【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，則 2分解得， 3分所以， 4分所以橢圓的方程為． 5分（Ⅱ）方法一：依題意得，與坐標(biāo)軸不垂直．設(shè)．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以．由（Ⅰ）討論可知，．因?yàn)?，所以直線與直線的斜率相等，故， 7分解得． 8分又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，或． 9分由橢圓對稱性，不妨取，則直線的斜率．所以直線方程為． 10分由得點(diǎn)坐標(biāo)為． 11分所以， 12分． 13分所以． 14分方法二：依題意得，與坐標(biāo)軸不垂直．設(shè)方程為（），．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以．又因?yàn)闄E圓關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)也在橢圓上． 6分由消去得．所以． 7分因?yàn)?，所以直線的方程為．由消去得．因?yàn)橹本€交橢圓于兩點(diǎn)，所以，故． 9分所以，解得．所以． 11分所以， 12分． 13分所以． 14分方法三：依題意，得與坐標(biāo)軸不垂直．設(shè)方程為（），．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以．又因?yàn)闄E圓關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)也在橢圓上． 6分由消去得．所以． 7分因?yàn)?，所以直線的方程為．由消去得，．因?yàn)橹本€交橢圓于兩點(diǎn)，所以，即． 9分設(shè)（），則，所以． 11分所以，解得， 13分所以，即． 14分方法四：依題意，得與坐標(biāo)軸不垂直．設(shè)方程為（），．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以． 6分因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，所以． 7分因?yàn)?，所以可設(shè)（），即，所以． 8分