浙江省溫州市甌海區(qū)2023-2024學年八年級上學期期中數(shù)學試卷

2023-2024學年浙江省溫州市甌海區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是正確的，不選、多選、錯選，均不得分）1．（3分）以下列各組數(shù)為邊能組成三角形的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．3，3，5 D．2，6，32．（3分）如圖是2022北京冬奧會圖標，下列圖形是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）生活中，如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利用了三角形的（）A．穩(wěn)定性 B．全等性 C．靈活性 D．對稱性4．（3分）如圖，已知：∠ABD＝∠CBD，要說明△ABD≌△CBD，需添加的條件不能是（）更多課件教案等優(yōu)質(zhì)滋源請家威杏MXSJ663A．AB＝BC B．∠ADB＝∠CDB C．∠A＝∠C D．AD＝CD5．（3分）已知直線m∥n，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中斜邊BC與直線n交于點D．若∠2＝78°，則∠1的度數(shù)為（）A．.30° B．.33° C．.35° D．.22°6．（3分）對于命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能說明它是假命題的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°7．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點D，E，作直線DE交AB、BC分別于點N、M，若AC＝1，則BC的長為（）A．2 B．3 C． D．8．（3分）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝130°，則∠D應調(diào)整為（）A．30° B．25° C．20° D．10°9．（3分）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B，C三點都在小正方形方格的頂點上，則AB邊上的高等于（）A． B． C． D．10．（3分）如圖是中國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，恰好拼成一個大正方形ABCD，分別在DG，BE上取點Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四邊形APCQ．若大正方形ABCD的邊長為，且HP+BH＝12，設四邊形APCQ的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（本題有8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是命題．（填“真”或“假”）12．（3分）已知等腰三角形的兩邊為3、6，則該等腰三角形的周長為．13．（3分）如圖，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，則∠AED的度數(shù)為．14．（3分）如圖，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，則BC＝．15．（3分）如圖，AB∥CD，AP，CP分別平分∠BAC和∠ACD，EF過P點且與AB垂直，交AB于點F，交CD于點E，已知點P到AC的距離為3cm，則EF＝．16．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，在AD上取點F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，連接BF并延長交AC于點E，則BE＝．17．（3分）如圖，已知一張等腰三角形紙片ABC，AB＝BC，小林同學將其剪成4個等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，則∠A＝°．18．（3分）如圖是一種筆記本電腦支架，它有A～F共6個檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個檔位距離為2cm，已知托架OK的長度為24cm，M點是支點且OM＝2MK．當支架調(diào)至A點時，AM⊥OK，當支架調(diào)至E檔時，托架OK繞著點O旋轉(zhuǎn)到OK′，此時M′E＝OE，則支點M′到OA的距離為cm．三、解答題（本題有5小題，共46分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟）19．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠DBC＝∠DCB．20．（8分）在如圖的5×5的正三角形網(wǎng)格中，每個小正三角形的邊長為1，如圖，△ABC的頂點均在格點上，請按要求作格點圖形．（1）在圖（甲）中，在小正三角形頂點上求作點P，使得△APC與△ABC全等．（2）在圖（乙）中，在AC右側(cè)的小正三角形頂點上求作點G（除E點外），使△ACG為等腰三角形且GA＝GC．21．（10分）如圖：等腰△ABC中，AB＝AC，D是邊BC延長線上一點，連接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠E＝25°，∠EAC＝100°，點F是BC的中點，連接AF，求∠BAF的度數(shù)．22．（10分）根據(jù)以下素材，探索完成任務探究紙傘中的數(shù)學問題素材1我國紙傘制作工藝十分巧妙，如圖1，傘不管是張開還是收攏，AP是傘柄，傘骨AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，D點為傘圈，DE＝DF．素材2傘圈D能沿著傘柄滑動，如圖2是完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D滑動到D′的位置，且A、E、D′三點共線，測得AD′＝50cm，AE＝20cm，傘完全張開時∠BAC＝120°，如圖1所示．（參考值：≈24.5）素材3項目化學習小組同學經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線BM與地面夾角為60°小明同學站在傘圈D點的正下方G處，記為GH，此時，發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測得BN＝150cm．問題解決任務1判斷AP位置求證：AP是∠BAC的角平分線．任務2探究傘圈移動距離當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動的距離．任務3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離cm，使得人站在G處身上不被雨淋濕．（直接寫出答案）23．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，點P是邊AB上一個動點，將△ACP沿CP對折得△A'CP．（1）則AC的長為．（2）①當P是AB中點時，求證：∠CPB＝2∠A'；②當AP的長為多少時，A′P與△ABC的一邊平行？（3）設A′C與線段AB相交于點D，當CD＝CB時，則的值為（直接寫出答案）．2023-2024學年浙江省溫州市甌海區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個選項是正確的，不選、多選、錯選，均不得分）1．（3分）以下列各組數(shù)為邊能組成三角形的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．3，3，5 D．2，6，3【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．【解答】解：A、1+1＝2，不能組成三角形，故此選項不合題意；B、2+1＝3＜4，不能組成三角形，故此選項不符合題意；C、3+3＝6＞5，能組成三角形，故此選項符合題意；D、3+2＝5＜6，不能組成三角形，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．2．（3分）如圖是2022北京冬奧會圖標，下列圖形是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念解答即可．【解答】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（3分）生活中，如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利用了三角形的（）A．穩(wěn)定性 B．全等性 C．靈活性 D．對稱性【分析】三角形的特性之一就是具有穩(wěn)定性．【解答】解：這是利用了三角形的穩(wěn)定性．故選：A．【點評】主要考查了三角形的性質(zhì)中的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答．4．（3分）如圖，已知：∠ABD＝∠CBD，要說明△ABD≌△CBD，需添加的條件不能是（）A．AB＝BC B．∠ADB＝∠CDB C．∠A＝∠C D．AD＝CD【分析】由于∠ABD＝∠CBD，BD為公共邊，則根據(jù)全等三角形的判定方法可對各選項進行判斷．【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴當添加AB＝CB時，△ABD≌△CBD（SAS），所以A選項不符合題意；當添加∠ADB＝∠CDB時，△ABD≌△CBD（ASA），所以B選項不符合題意；當添加∠A＝∠C時，△ABD≌△CBD（AAS），所以C選項不符合題意；當添加AD＝CD時，不能判斷△ABD≌△CBD，所以D選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．5．（3分）已知直線m∥n，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中斜邊BC與直線n交于點D．若∠2＝78°，則∠1的度數(shù)為（）A．.30° B．.33° C．.35° D．.22°【分析】設BC與n的交點為D，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠2＝3＝∠1+∠B＝78°，解出∠1即可．【解答】解：如圖：∵m∥n，∴∠3＝∠2＝78°，∵∠3＝∠1+∠B，∴∠1＝∠3﹣∠B＝78°﹣45°＝33°，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是借助平行線和三角形內(nèi)外角轉(zhuǎn)化角．6．（3分）對于命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能說明它是假命題的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能說明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子，逐項判斷即可．【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°滿足∠1+∠2＝90°，但不滿足∠1≠∠2，滿足題意；B、∠1＝40°，∠2＝50°滿足命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合題意；C、∠1＝50°，∠2＝50°不滿足命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合題意；D、∠1＝40°，∠2＝40°不滿足命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合題意；故選：A．【點評】考查了命題與定理的知識，理解能說明它是假命題的反例的含義是解決本題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點D，E，作直線DE交AB、BC分別于點N、M，若AC＝1，則BC的長為（）A．2 B．3 C． D．【分析】連接AM，由作圖可知，DE是AB的垂直平分線，有AM＝BM，故∠BAM＝∠B＝15°，∠AMC＝30°，可得AM＝2＝BM，CM＝＝，從而BC＝CM+BM＝+2．【解答】解：連接AM，如圖：由作圖可知，DE是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B＝15°，∴∠AMC＝30°，∵∠C＝90°，AC＝1，∴AM＝2＝BM，CM＝＝，∴BC＝CM+BM＝+2，故選：C．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得到DE是AB的垂直平分線，從而AM＝BM．8．（3分）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝130°，則∠D應調(diào)整為（）A．30° B．25° C．20° D．10°【分析】延長EF交BD于H，利用“8”字形求出∠EHC，利用外角的性質(zhì)得到∠EFD＝∠D+∠DHF，由此求出∠D的度數(shù)，進而得到答案．【解答】解：延長EF交BD于H，∵∠CAB+∠CBA＝∠E+∠EHC，∴∠EHC＝50°+60°﹣30°＝80°，∴∠DHF＝180°﹣∠EHC＝100°，∵∠D＝∠EFD﹣∠DHF＝∠EFD＝∠D+∠DHF＝130°，∴∠D＝30°，故選：A．【點評】此題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B，C三點都在小正方形方格的頂點上，則AB邊上的高等于（）A． B． C． D．【分析】利用網(wǎng)格的特征和勾股定理求得△ABC的面積和線段AB的長度，再利用三角形的面積公式解答即可．【解答】解：△ABC的面積＝3×4﹣2×24×13×3＝2＝5，AB＝＝，設AB邊上的高為h，∴AB?h＝5，∴h＝5，∴h＝．故選：B．【點評】本題主要考查了勾股定理，分母有理化，本題是網(wǎng)格題，熟練掌握勾股定理和網(wǎng)格特征是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖是中國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形EFGH組成，恰好拼成一個大正方形ABCD，分別在DG，BE上取點Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四邊形APCQ．若大正方形ABCD的邊長為，且HP+BH＝12，設四邊形APCQ的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，則的值為（）A． B． C． D．【分析】設四個全等的直角三角形的兩直角邊長為a，b，則由大正方形ABCD的邊長為，且HP+BH＝12，可求出a，b，再求出S1，S2，即可解決問題．【解答】解：設四個全等的直角三角形的兩直角邊長為a，b（不妨設a＜b），∴DQ＝BP＝EF＝b﹣a，HP＝b﹣（b﹣a）＝a，∵正方形ABCD的邊長為，∴a2+b2＝74，①∵HP+BH＝12，∴a+b＝12，②解①②得：a＝5，b＝7，或a＝7，b＝5（舍去），∴PH＝CH＝5，QG＝DG﹣DQ＝5﹣（7﹣5）＝3，CG＝7，EF＝7﹣5＝2，∴四邊形APCQ的面積為S1＝2×PH?CH+2×QG?CG+EF2＝52+3×7+22＝50，正方形ABCD的面積為S2＝74，∴＝＝，故選：D．【點評】本題考查勾股定理，解方程組，面積的計算，弄清圖中個量間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題有8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是真命題．（填“真”或“假”）【分析】將原命題的條件與結(jié)論互換即得到其逆命題，然后判斷正誤即可．【解答】解：∵原命題的條件為：兩直線平行，結(jié)論為：同位角相等．∴其逆命題為：同位角相等，兩直線平行，正確，為真命題，故答案為：真．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．12．（3分）已知等腰三角形的兩邊為3、6，則該等腰三角形的周長為15．【分析】因為等腰三角形的兩邊分別為3和6，但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【解答】解：當3為底時，其它兩邊都為6，3、6、6可以構(gòu)成三角形，周長為15；當3為腰時，其它兩邊為3和6，因為3+3＝6，所以不能構(gòu)成三角形，故舍去．所以答案只有15．故答案為：15．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．13．（3分）如圖，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，則∠AED的度數(shù)為76°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠D＝36°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D＝36°，∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．故答案為：76°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，則BC＝10．【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BC＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝5，從而進行計算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，∴BC＝2BD，在Rt△ABD中，AD＝12，∴BD＝＝＝5，∴BC＝2BD＝10，故答案為：10．【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，AB∥CD，AP，CP分別平分∠BAC和∠ACD，EF過P點且與AB垂直，交AB于點F，交CD于點E，已知點P到AC的距離為3cm，則EF＝6cm．【分析】先過點P作PG⊥AC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，證明PG＝PF，同理再證明PE＝PG，最后根據(jù)EF＝PF+PE，求出答案即可．【解答】解：如圖所示：過點P作PG⊥AC于點G，∵點P到AC的距離為3cm，∴GP＝3cm，∵EF⊥AB，∴∠AFP＝90°，∵AB∥CD，∴∠CEP+∠AFP＝180°，∴∠CEP＝180°﹣∠AFP＝90°，∴PE⊥CD，∵AP平分∠BAC，EF⊥AB，PG⊥AC，∴PF＝PG＝3cm，∵CP平分∠ACD，PE⊥CD，PG⊥AC，∴PE＝PG＝3cm，∴EF＝PF+PE＝3+3＝6cm，故答案為：6cm．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線和平行線的性質(zhì)．16．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，在AD上取點F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，連接BF并延長交AC于點E，則BE＝．【分析】由勾股定理可求出BD的長，由HL證明Rt△ACD≌Rt△BFD，得到AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，證明出BE是AC邊上的高，再利用面積法可求出BE的長．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△BFD中，∵BF＝10，DF＝6，∴由勾股定理，得BD＝＝＝8，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL），∴AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，∵，BC＝BD+DC＝8+6＝14，AD＝BD＝8，AC＝10，∴BE＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，面積法，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，已知一張等腰三角形紙片ABC，AB＝BC，小林同學將其剪成4個等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，則∠A＝30°．【分析】設∠A＝x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠C＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DEF＝2x，∠ADB＝2x，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠DEF＝∠DFE＝2x，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EDF＝180°﹣4x，進而可得∠FDB＝6x﹣180°，最后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，從而利用三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可解答．【解答】解：設∠A＝x，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝x，∵BD＝CD，AE＝EF，∴∠A＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，∵∠DEF是△AEF的一個外角，∠ADB是△BCD的一個外角，∴∠DEF＝∠A+∠AFE＝2x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x，∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝2x，∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣4x，∴∠FDB＝∠ADB﹣∠EDF＝2x﹣（180°﹣4x）＝6x﹣180°，∵FB＝FD，∴∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∴∠A+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，∴x+x+6x﹣180°+x＝180°，解得：x＝30°，∴∠A＝30°，故答案為：30．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角的計算，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．18．（3分）如圖是一種筆記本電腦支架，它有A～F共6個檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個檔位距離為2cm，已知托架OK的長度為24cm，M點是支點且OM＝2MK．當支架調(diào)至A點時，AM⊥OK，當支架調(diào)至E檔時，托架OK繞著點O旋轉(zhuǎn)到OK′，此時M′E＝OE，則支點M′到OA的距離為cm．【分析】先求出AE，OM，當支架調(diào)至E檔時，可利用勾股定理求出AM，進而得到OE，M'E，過點M'作M'H⊥OA，利用勾股定理表示出M'H2列方程求出OH，進而可求出M'H即可．【解答】解：由題意可知：MA＝M'E＝OE，AM⊥OK，AE＝8cm，∵有A～F共6個檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個檔位距離為2cm，∴AE＝8cm，∵OK＝24cm，OM＝2MK，∴OM＝OM'＝16cm，設MA＝M'E＝OE＝xcm，則OA＝（x+8）cm，在Rt△OAM中，由勾股定理，得OA2＝MA2+OM2，即（x+8）2＝x2+162，解得x＝12，∴MA＝M'E＝OE＝12cm，過點M'作M'H⊥OA，設OH＝y(tǒng)cm，則EH＝（12﹣y）cm，由勾股定理，得M'H2＝OM'2﹣OH2＝M'E2﹣EH2，即162﹣y2＝122﹣（12﹣y）2，解得y＝，∴M'H＝＝＝（cm）．答：支點M″到OA的距離為cm．故答案為：．【點評】本題考查勾股定理的應用，理解題意，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題有5小題，共46分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟）19．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠DBC＝∠DCB．【分析】利用SAS證得△ACD≌△ABD，從而證得BD＝CD，利用等邊對等角證得結(jié)論即可．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，特別是在應用SAS進行判定三角形全等時，主要A為兩邊的夾角．20．（8分）在如圖的5×5的正三角形網(wǎng)格中，每個小正三角形的邊長為1，如圖，△ABC的頂點均在格點上，請按要求作格點圖形．（1）在圖（甲）中，在小正三角形頂點上求作點P，使得△APC與△ABC全等．（2）在圖（乙）中，在AC右側(cè)的小正三角形頂點上求作點G（除E點外），使△ACG為等腰三角形且GA＝GC．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定可確定點P的位置．（2）連接DE，可知DE為線段AC的垂直平分線，則DE所經(jīng)過的AC右側(cè)的小正三角形頂點即為所求的點G．【解答】解：（1）如圖（甲），取格點P1，P2，P3，連接CP1，AP2，AP3，∵AB＝AP1，∠BAC＝∠P1AC＝60°，AC＝AC，∴△ABC≌△AP1C（SAS）．∵AB＝CP2，∠BAC＝∠P2CA＝60°，AC＝CA，∴△ABC≌△CP2A（SAS）．∵AB＝CP3，∠BAC＝∠P3CA＝60°，AC＝CA，∴△ABC≌△CP3A（SAS）．則點P1，P2，P3均滿足題意．（2）如圖（乙），連接DE，由題意可知，AD＝CD＝CE＝AE，∴四邊形ADCE為菱形，∴DE垂直平分AC．取DE所經(jīng)過的AC右側(cè)的小正三角形頂點G1，G2，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，G1A＝G1C，G2A＝G2C．則點G1，G2均滿足題意．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖、全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖：等腰△ABC中，AB＝AC，D是邊BC延長線上一點，連接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠E＝25°，∠EAC＝100°，點F是BC的中點，連接AF，求∠BAF的度數(shù)．【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC得到∠CAE＝∠BAD，再利用SAS即可證明△ABD≌△ACE；（2）由已知條件可求出∠ACE，從而得到∠B的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)可得AF⊥BC，從而可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAF的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠E＝25°，∠EAC＝100°，∴∠ACE＝180°﹣∠E﹣∠EAC＝55°，∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE＝55°，∴AB＝AC，點F是BC的中點，∴AF⊥BC，∴∠BAF＝90°﹣∠B＝35°．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（10分）根據(jù)以下素材，探索完成任務探究紙傘中的數(shù)學問題素材1我國紙傘制作工藝十分巧妙，如圖1，傘不管是張開還是收攏，AP是傘柄，傘骨AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，D點為傘圈，DE＝DF．素材2傘圈D能沿著傘柄滑動，如圖2是完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D滑動到D′的位置，且A、E、D′三點共線，測得AD′＝50cm，AE＝20cm，傘完全張開時∠BAC＝120°，如圖1所示．（參考值：≈24.5）素材3項目化學習小組同學經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線BM與地面夾角為60°小明同學站在傘圈D點的正下方G處，記為GH，此時，發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測得BN＝150cm．問題解決任務1判斷AP位置求證：AP是∠BAC的角平分線．任務2探究傘圈移動距離當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動的距離．任務3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離60cm，使得人站在G處身上不被雨淋濕．（直接寫出答案）【分析】（1）利用SSS證明△ADE≌△ADF即可得到答案；（2）過點E作EG⊥AD于點G，求出AD的長，即可利用DD'＝AD'﹣AD求出答案；（3）設AG與BC交于點O，與BM交于點Q，先求出BO，可得NG，再求出MN，進而可求出QG，即為問題的答案．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝AF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SSS），∴∠EAD＝∠FAD，∴AP是∠BAC的角平分線；（2）解：∵AD′＝50cm，AE＝20cm，∴DE＝DE'＝30cm，∵∠BAC＝120°，∴∠EAD＝60°，過點E作EG⊥AD于點G，如圖，在Rt△AEG中，AG＝AE?cos∠EAG＝20?cos60°＝10（cm），EG＝AE?sin∠EAG＝20?sin60°＝10（cm），在Rt△DEG中，由勾股定理，得DG＝＝＝≈24.5（cm），∴AD＝AG+DG＝34.5（cm），∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣34.5＝15.5（cm），答：當傘從完全張開到完全收攏，傘圈D移動的距離為15.5cm；（3）解：設AG與BC交于點O，與BM交于點Q，如圖，在Rt△ABO中，AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°，∴BO＝AB?sin∠BAO＝60?sin60°＝30（cm），∴NG＝BO＝30cm，在Rt△BMN中，BN＝150cm，∠BMN＝60°，∴MN＝＝＝50（cm