新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.1任意角學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

5.1.1任意角學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解任意角的概念，能正確區(qū)分正角、零角和負(fù)角．2．理解象限角的意義，掌握終邊相同的角的意義與表示．核心素養(yǎng)通過(guò)正角和負(fù)角理解角的大小、旋轉(zhuǎn)方向，通過(guò)角的終邊所在的象限的討論，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理核心素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1任意角的概念1．角的概念角可以看成平面內(nèi)_一條射線_繞著它的_端點(diǎn)_旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．角的表示如圖，(1)始邊：射線的_起始_位置OA；(2)終邊：射線的_終止_位置OB；(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；(4)記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”．3．角的分類(lèi)想一想：(1)正角、負(fù)角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的？(2)如果一個(gè)角的終邊與其始邊重合，這個(gè)角一定是零角嗎？提示：(1)角的分類(lèi)是根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向確定的．(2)不一定．零角的終邊與始邊重合，但終邊與始邊重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置，而是根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn)．練一練：1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的個(gè)數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]正角有126°，99°共2個(gè)．2．將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°所得的角為(A)A．120° B．－120°C．60° D．240°知識(shí)點(diǎn)2角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角：(1)角的加法：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是_α＋β_.α＋β角的始邊為α的始邊，終邊為β的終邊；(2)相反角：把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為_(kāi)相反角_，角α的相反角記為_(kāi)－α_；(3)角的減法：像實(shí)數(shù)減法的“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有α－β＝α＋(－β)．這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法．練一練：如圖(1)，∠AOC＝_110°_；如圖(2)，∠AOC＝_－70°_.[解析]∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝20°＋90°＝110°，∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝－90°＋20°＝－70°.知識(shí)點(diǎn)3象限角如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．想一想：“銳角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？提示：銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以是大于360°的角，還可以是負(fù)角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角．練一練：－215°是(B)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，則－215°也是第二象限角．知識(shí)點(diǎn)4終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}_，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．提醒：對(duì)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α為任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°與α中間要用“＋”連接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．練一練：1．下列各角中，與－1110°的角終邊相同的角是(D)A．60° B．－60°C．30° D．－30°[解析]－1110°＝－3×360°－30°，所以與－30°的角終邊相同．2．與－457°角的終邊相同的角的集合是(C)A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}[解析]由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故與－457°角的終邊相同的角的集合是{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．題型探究題型一任意角的概念典例1(1)下列命題正確的是(C)A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角D．小于90°的角是銳角(2)射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置，由OB位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°到達(dá)OC位置，則∠AOC＝(B)A．150° B．－150°C．390° D．－390°[分析]角的概念推廣后確定角的關(guān)鍵是抓住角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量．[解析](1)終邊與始邊重合的角還可能是360°，720°，…，故A錯(cuò)；終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差360°的整數(shù)倍，如30°與－330°，故B錯(cuò)；由于在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°，也可以是負(fù)角，故D錯(cuò)誤．(2)各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°.[歸納提升]理解任意角的概念的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：①弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小，②正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．(2)技巧：逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)角．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)(多選題)下列說(shuō)法，不正確的是(ACD)A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角(2)經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是(B)A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°[解析](1)對(duì)A,90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正確；對(duì)C中鈍角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,0°角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D錯(cuò)誤．(2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時(shí)針、分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別為－60°，－720°.題型二終邊相同的角典例2已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角；(3)－360°～720°之間的角．[解析]因?yàn)椋?845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角為315°.(2)最大的負(fù)角為－45°.(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.[歸納提升]1.一般地，可以將所給的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．2．如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過(guò)如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．特別提醒：表示終邊相同的角時(shí)，k∈Z這一條件不能省略．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?寫(xiě)出終邊落在直線y＝－x上的角β的集合S，S中適合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？[解析]直線y＝－x過(guò)原點(diǎn)，它是第二、四象限角的平分線所在的直線，故在0°～360°范圍內(nèi)終邊在直線y＝－x上的角有兩個(gè)：135°，315°.因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．由于－360°<β<360°，即－360°<135°＋n·180°<360°，n∈Z.解得－eq\f(11,4)<n<eq\f(5,4)，n∈Z.所以n＝－2，－1,0,1.所以集合S中適合不等式－360°<β<360°的元素為135°－2×180°＝－225°；135°－1×180°＝－45°；135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°.題型三象限角與區(qū)域角的表示典例3(1)若α是第一象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾角限角？(2)已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍．[分析](1)由α是第一象限角可知k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，則2α，eq\f(α,2)的范圍分別為2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)．再通過(guò)對(duì)整數(shù)k分類(lèi)討論即可得結(jié)果．(2)先寫(xiě)出終邊相同的角，注意包括邊界用實(shí)線表示，不包括邊界用虛線表示。[解析](1)因?yàn)閗·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)．所以2α是第一、二象限角或終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角．又k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)，所以當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°<eq\f(α,2)<n·360°＋45°.所以eq\f(α,2)是第一象限角．當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋180°<eq\f(α,2)<n·360°＋225°，所以eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一、三象限角．(2)終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在題圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．[歸納提升]1.表示區(qū)間角的3個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．2．nα或eq\f(α,n)所在象限的判斷方法(1)用不等式表示出角nα或eq\f(α,n)的范圍；(2)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)確定角nα或eq\f(α,n)所在象限．例如：k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°，k∈Z.由0°＜eq\f(α,3)＜30°，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°可得eq\f(α,3)終邊的位置．提醒：表示區(qū)間角時(shí)要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)若φ是第二象限角，那么eq\f(φ,2)和90°－φ都不是(B)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}_.[解析](1)∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φ<k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°<eq\f(φ,2)<k·180°＋90°，k∈Z，即eq\f(φ,2)終邊是第一或第三象限角，而－φ顯然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角，故選B．(2)觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．1．－495°角的終邊與下列哪個(gè)角的終邊相同(C)A．135° B．45°C．225° D．－225°[解析]因?yàn)椋?95°＝－2×360°＋225°，所以與－495°角終邊相同的是225°角．故選C．2．角－870°的終邊所在的象限是(C)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故選C．3．已知α是第二象限角，則180°－α是(A)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180