2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時(shí)分層作業(yè)29　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

課時(shí)分層作業(yè)（二十九）平面向量的數(shù)

量積及其應(yīng)用

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'選擇題

1.設(shè)。，》是非零向量，則，山=|。|例"是，〃白”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A[由數(shù)量積定義得a協(xié)=|。卜時(shí)cos。=同也1，（。為a,。夾角），，cos。=1,

?！闧0,兀],，，=（）,：.a//b-,

反之，當(dāng)a〃Z＞時(shí)，a,5的夾角8=0或兀，

a-b=±\a\-\b\.]

2.（2021?沈陽一模）已知向量a,一滿足同=1,步|=2,a-b=（^3,啦）,

則|2a—川=（）

A.2小B.y[t7C.灰D.2小

A[根據(jù)題意，‘一“=、3+2=木,

2

則（a—Z＞）=a2+b2—2ab=5—2ab=5,

可得。b=0,結(jié)合同=1，\b\=2,

2

可得（2a—））=4a2+Z＞2—4a-&=4+4=8,

則|2a—“=2啦，故選A.]

3.（2021?八省聯(lián)考）已知單位向量a,力滿足a山=0,若向量。=巾。+地）,

則sin（a,c）等于（）直）＞

A亞B啦C亞D也

?3.D?3?9?9

B[法一：設(shè)a=（l,0）,6=（0,1）,

則c=（S，^2）,Asin〈a,c）=?

法二：a-c=a-(y[7a+y/2b)=y[la2+y/2a-b=yll,

|C|=\(巾a+g)2=N7a?+2b2+2小金1山

=^7+2=3,

?/\GC幣幣

..cos〈a,c〉-麗-]X3-3，

??/\_啦1

..sm(a,c)—3J

4.(2021.邯鄲模擬)已知非零單位向量a和。,若a”一竽,向量b在向量

。上的投影向量為c,向量。在向量方上的投影向量為d,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

A.|c|=|J|B.ab=ac

…=_也

Cc.d3unU?C'd9

C「.'a和分為單位向量，.?.|a|=|A|=l,方=|a||瓦cos〈a,b〉=一為",

?向量力在向量a上的投影為161cos〈a,b>=一坐，

I.向量b在向量a上的投影向量為c=一手a,

?.?向量a在向量方上的投影為|a|cos〈a,b>=一坐，

二向量。在向量力上的投影向量為d=一牛4C錯(cuò)誤，

.,.同=|一坐,=坐，匕|=一坐a=坐，A正確，

ab=\a\-|6|cos〈a,b)=ac=|a|」c|cos〈a,c〉=1XxcosTI=

—?B正確，

cd=|c|.|d|cos〈c,d)=坐乂坐cos〈a,b)=gx(一坐)=—半，D正

確.故選C.]

5.(2021?新高考I卷改編)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),P2(cos[i,

—sin/),P3(cos(a+/0，sin(a+/Q),A(l,0),則()

2

A.|P|P2|#|AP3|

B.\API\=\AP2]

C.Ok-OP3=OP\?0P2

D.OXOP\=OP1?OP3

C[由題可知，\PiP2\=A/(cos/?—cosa)2+(—sin//—sina)2=

?\/2—2cos_(a+1),HP3I=、[cos_(a+^)—l]2+sin2(a+^)=

、2—2cos(a+尸)，所以|PIP2|=|AP3|,故A錯(cuò)誤；

取a=：,則P[亭，孚)，取片苧，則P2(—乎，陰，則-Pil^lAPzl，故

B錯(cuò)誤；

因?yàn)閙?OP3=cos(a+4)，OP「OP2=cosacosP一sinasin0=cos(a+/?),所

以0top3=0Pl?。尸2，故C正確；

因?yàn)闆ri?OPi=cosa,OP2?OP3=cos^cos(a+夕)一sin^sin(a+夕)=cos(a+

兀八兀

2份，取a=干尸大

A/23兀、/^

則況-0「1=方-,。尸2?OP3=COS了=一方-,所以8?0P1W0P2?0尸3,故

D錯(cuò)誤.故選C.]

6.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB1BC,ADLCD,ZBAD=\20°,

AB=AO=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則助?助的最小值為()匚"解3

21325

A?諱B-2C-16D-3

A［法一：以。為原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，。。所在直線為y軸，建立

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

3

則A(l,0),B(|,孚｝C(0,小)，令E(0,/),/G[0,小],，通傣=(一

1,。（一|,L乎）=於一半端=（『_由+張Vre[0,小],二當(dāng)片乎時(shí),

施?曲取得最小值，為77.故選A.

法二：令的=7尻(0WAW1),由已知條件可得。。=小，

\'Ai：=Ab+Dk=Ai)+ADt,：.Bi：^BA+Ak=BA+Ab+ADt,

二建就=(初+力電(或+At)+雙)

=勸.或+|A&|2+zDt-BX+22|Dt|2+2AAt)-Dt

?、21

當(dāng)2=1時(shí)，磋?命取得最小值書.故選A.]

二'填空題

7.(2021.全國甲卷)已知向量Q=(3,1),6=(1,0),c=a+Q.若aJ_c,則

k=.

-y[c=(3,1)+(匕0)=(3+A，1),a?c=3(3+A)+lX1=10+3左=0,得

8.(2020.全國I卷)設(shè)“，力為單位向量，且|Q+Z>|=1,則|。一臼=.

小['：a,?為單位向量,且|a+A|=L：.(a+b)2=l,A1+l+2a-6=1,

'.ab=.,/a—肝=屋+戶—2a6=i+i—2X(—；)=3,/.\a—b\=y/3.]

9.(2021?新高考II卷)已知向量a+b+c=0,|a|=l,|b|=|c|=2,則a++>c

+ca=.題多就>

9

一不[法一：由a+b+c=0^(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a*b+2b*c+2a*c=0,

4

9

-

才

1

法--

-2

1

-

2

7

-

2

".a,b-\-bc-\-ca=~］

三、解答題

10.已知|a|=4,\b\=3,(2a—3m?(2a+Z>)=61.

(1)求a與方的夾角e；

(2)求|a+團(tuán)；

(3)若Bt=b,求AABC的面積.

［解］(1)因?yàn)?2a—3A)?(2a+Z>)=61,

所以4|@「一4a6一3網(wǎng)2=61.

又⑷=4,步|=3,所以64—4。協(xié)-27=61,

所以“?》=—6,所以煙8=器=鴻=—

2兀

又OWOWTT,所以。=丁.

(2)|a+加2=(a+))2=回2+2a山+網(wǎng)2

=42+2X(-6)+32=13,

所以|a+切=灰.

__27r

(3)因?yàn)?方與反1的夾角。=?，

“，2717t

所以ZABC=n—~^=y

又電|=|a|=4,|覺|=網(wǎng)=3,

所以黑鉆。=3|曲||覺卜sinZABC

I

=2X4X3X士=3yf^.

5

11.已知向量。=(cosx,sinx),b=(3,一小)，［0,兀］.

(1)若〃〃》，求x的值；

(2)記./U)=a仍，求犬”)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

［解］(1)因?yàn)椤?(cosx,sinx),8=(3,一小),a//b,

所以一，5cosx=3sinx.

若cosx=0,則sinx=0,與sin2x+cos2x=1矛盾，

J3

故cosx#=0,于是tanx=-3-

5兀

又x￡［0,兀］,所以x=不.

(2)/(x)=a協(xié)=(cos%,sinx)-(3,一小)

=3cos1一小sinx=2\［3cosQ+"

一，，兀兀7兀

因?yàn)閤￡［0,兀］,所以犬+%￡不不，

從而一IWcos卜乎.

JTTT

于是，當(dāng)*+5=不即x=0時(shí)，/(x)取得最大值3;

當(dāng)x+5=兀，即x=^時(shí)，於)取得最小值一2小.

［8組在綜合中考查關(guān)鍵能力］

1.(2021?上海高考)在△ABC中，。為中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，則以下結(jié)論:

①存在△A3C,使得痛.C^=0；②存在三角形△ABC,使得比〃(@+6).它們

的成立情況是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

B［不妨設(shè)A(2光，2y),8(—1,0),C(l,0),0(0,0),E(x,y),

①A^=(-L2x,-2j),Ct=(x-1,y),

若延Ck=0,則一(l+2x)(x-l)-2V=0，

即一(l+2r)(x—l)=2y2,

6

滿足條件的（x,y）存在，例如［o,旬，滿足上式，所以①成立；

②尸為A3中點(diǎn)，（球+C*）=2辦，CE與AO的交點(diǎn)即為重心G,

因?yàn)镚為AO的三等分點(diǎn)，E為AO中點(diǎn)，

所以Cfc與蛇不共線，即②不成立.故選B.］

2.（2021.天津高考）在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段8C上的動(dòng)

點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E,DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則|2曲+力的值為

；（"+司）次的最小值為.

1非［如圖，設(shè)BE=x,

「△ABC是邊長為1的等邊三角形，DE±AB,

：.ZBDE=30°,BD=2x,DE=y）3x,DC=l~2x,

,JDF//AB,.?.△OFC是邊長為l—2x的等邊三角形，DE工DF,

：.（2Bk+D>）2=4酯+4的D>+D>2

=4f+4x（l-2x）XcosO°+（l-2x）2=l,

則|2曲+力>|=1,

,（瓦+曲）?況=（波+力）?（歷+或）=的2+辦.成

=（小x）2+（1—2x）（1—幻=5f—3龍+1

=53一爸+器xE（0,；）,

波+為.次的最小值為奈］

3.（2021.北師大附中模擬）在△ABC中,ZBAC=120°,AB=AC=l.

⑴求初?配的值；

7

（2）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，邊A8在x軸上，設(shè)動(dòng)點(diǎn)

P在以A為圓心，為半徑的劣弧三上運(yùn)動(dòng).求摩?0的最小值.

［解］⑴由題意知初.祝=1X1Xcos120°=一4

也就=芯（配一牯）=初雙一助2=-1—1=-2.

（2）點(diǎn)P在以A為圓心，A3為半徑的劣弧3C上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（cos6,sin引，

又夙1,0）,C^—坐），

BP-CP=（COS6—1,sin0＞（cos6+g,sin8一坐）=cos2。-cosO+gcos。一

sir?。一半sin（9=g—sin（夕+尋，

,,2兀,7t.TC“5兀

又ow但彳,則辭e+肝不，

吳sin,+翡1，

故當(dāng)sin（6+季）=1時(shí)，臥◎有最小值一去

［C組在創(chuàng)新中考查理性思維］

1.已知a,方是單位向量，a協(xié)=0.若向量c滿足|c—4—。|=1,則|c|的最大

值是.金項(xiàng)＞

V2+1［法一：由a山=0,得

如圖所示，分別作OA=a,O^=b,作次?=a+Z＞,則四邊形OACB是邊長

為1的正方形，所以|猶|=啦.

8

作辦=c,則匕_.一〃|=|?-沈|=|0|=1.

所以點(diǎn)P在以。為圓心，1為半徑的圓上.

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)。，C