第十一章 三角形單元培優(yōu)卷（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破第十一章三角形單元培優(yōu)卷一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1．一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是、，，它的周長(zhǎng)不超過39cm．則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長(zhǎng)不超過39cm可列出不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得，∴，∴．故選：A．2．如圖，中，，，，，為直線上一點(diǎn)，連接，則線段的值不可能是（

）A．4.8 B．6 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)PC取最小值，利用等面積法求出PC的最小值，即可從選項(xiàng)中找出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∵當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，Rt△ABC中，由等面積法可得：AC×BC=AB×PC，代入數(shù)據(jù)：6×8=10×PC，∴PC=4.8，∵C選項(xiàng)中，∴線段的值不可能是4．故選C．3．下列關(guān)于三角形的說法：①中線、角平分線、高都是線段；②三條高必交于一點(diǎn)；③三條角平分線必交于一點(diǎn)；④三條高必在三角形內(nèi)；⑤三條中線的交點(diǎn)可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外其中正確的是（

）A．①②⑤ B．①③ C．②④⑤ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線、角平分線、高的定義對(duì)五個(gè)說法分析判斷后利用排除法求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，說法正確，符合題意；②三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，三條高不一定相交，故三條高必交于一點(diǎn)的說法錯(cuò)誤，不符合題意；③三條角平分線必交于一點(diǎn)，說法正確，符合題意；④銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，故三條高必在三角形內(nèi)的說法錯(cuò)誤，不符合題意；⑤三條中線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部，不可能在三角形外，故該說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．4．如圖，某中學(xué)的電動(dòng)伸縮校門利用的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．四邊形的不穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)電動(dòng)伸縮門的工作原理，結(jié)合四邊形的不穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：∵電動(dòng)伸縮門的整體形狀為四邊形，且電動(dòng)伸縮門的長(zhǎng)度可以伸長(zhǎng)和變短，∴利用的是四邊形的不穩(wěn)定性，故選D．5．如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)在上，其中，，，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故選：A．．6．如圖，在三角形ABC中，，平分，，，以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤∠ADF=∠AFB．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)證得AH⊥EF，判斷①，結(jié)合角平分線的定義可得∠ABF＝∠EFB，判斷②，根據(jù)等角的余角相等可得∠E＝∠ABE判斷③，由AC與BF不一定垂直，判斷④，根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理不能判斷，即可判斷⑤．【詳解】解：∵AH⊥BC，EFBC，∴AH⊥EF，故①正確；∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵EFBC，∴∠EFB＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EFB，故②正確；∵BE⊥BF，而AC與BF不一定垂直，∴BEAC不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵BE⊥BF，∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，∴∠E＝∠ABE，故④正確．由③可知BEAC不一定成立，∵∠ADF=∠BDH又∴∠BDH+∠DBH=90°∴∠ADF+∠DBH=90°又∵∠BAF不一定等于90°∴∠ADF=∠AFB不一定成立，故⑤不一定正確．故選：B．7．如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖標(biāo)記，然后利用三角形的外角性質(zhì)得，，再利用互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標(biāo)記，，，，又，，，，故選C．8．把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【詳解】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-1）邊形．故當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形.故選A.9．如圖，在中，，，，，連接BC，CD，則的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】連接AC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)M．由平行線的性質(zhì)得，，再由等量代換得，先求出即可求出．【詳解】解：連接AC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)M．，，，，，，，故選B．10．如圖，中，點(diǎn)、、分別在三邊上，、、交于一點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C．40 D．41【答案】B【分析】設(shè)，，先根據(jù)得到，列出一個(gè)式子，再根據(jù)列出一個(gè)式子，解方程組得到這兩個(gè)三角形的面積，最后加起來得總面積．【詳解】解：設(shè)，，∵，∴，∴，即，整理得①，∵，∴，整理得②，根據(jù)①②算出，，∴．故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）11．已知a，b，c是三邊的長(zhǎng)，化簡(jiǎn)．【答案】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出，再去絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：∵a、b、c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，∴，∴原式．故答案為．12．如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，……以此類推，若，則．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．【詳解】∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α．∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)，∴，故答案為．13．已知中，，將按照如圖所示折疊，若，則．【答案】【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理的推論，先用表示出，再利用鄰補(bǔ)角和四邊形的內(nèi)角和定理用表示出，最后再利用三角形的內(nèi)角和定理求出．【詳解】解：由折疊知．∵，∴．∵，，∴．∴．故答案為：．14．如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長(zhǎng)線上，、分別平分、，、分別平分、，則．【答案】52°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出∠E，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，從而求出，再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到∠A．【詳解】解：、分別平分、，，，，，即，，，、分別平分、，，，，，∴，∴，、分別平分、，，，∴，，故答案為：52°．三、解答題（本大題共8小題，共計(jì)58分）15．（本題滿分6分）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整數(shù)，求AC的長(zhǎng)；(2)已知BD是△ABC的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為10，求△BCD的周長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”得7＜AC＜9，根據(jù)AC是整數(shù)得AC＝8；（2）根據(jù)BD是△ABC的中線得AD＝CD，根據(jù)△ABD的周長(zhǎng)為17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．【詳解】（1）由題意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整數(shù)，∴AC＝8；（2）如圖所示：∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∵△ABD的周長(zhǎng)為10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．16．（本題滿分6分）如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對(duì)角線，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求證：AD⊥AC；（2）探求∠BAC與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由見解析.【分析】（1）利用直角三角形的兩銳角互余、三角形的內(nèi)角和定理、以及角的和差即可得；（2）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得，再由題（1）的結(jié)論和推出，聯(lián)立化簡(jiǎn)求解即可得.【詳解】（1）∵在中，在中，，即；（2），理由如下：由題（1）知，.17．（本題滿分6分）如圖，AB∥CD，平分，CE∥AD，.(1)求的度數(shù)：(2)若，求的度數(shù).【答案】(1)30°(2)110°【分析】（1）根據(jù)和CE∥AD可求得，然后根據(jù)AB∥CD，可求得；（2）由平分，可得，然后由四邊形的內(nèi)角和是360°即可求得的度數(shù).【詳解】（1）解：∵CE∥AD，∴，∴，∵AB∥CD，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴.18．（本題滿分6分）如圖，在中，、分別是的高和角平分線，．(1)若，求的度數(shù)；(2)試用、的代數(shù)式表示的度數(shù)_________．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB的值，再由角平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)求出∠DCE．（2）由（1）的解題思路即可得正確結(jié)果．【詳解】（1）解：，，是的平分線，．是高線，，，．（2）解：，，是的平分線，．是高線，，，．19．（本題滿分8分）如圖，在中，，AD為BC邊上的中線．（1）____________（填“>”“<”或“=”）；（2）若的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多4，且，求AB，AC的長(zhǎng)；（3）的周長(zhǎng)為27，，BC邊上的中線，的周長(zhǎng)為19，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）8．【分析】（1）根據(jù)三角形中線的定義、三角形的面積公式即可得；（2）先根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式可得出，再結(jié)合求解即可得；（3）先根據(jù)的周長(zhǎng)為27可得，從而可得，再根據(jù)的周長(zhǎng)為19建立等式求解即可得．【詳解】（1）為BC邊上的中線，，與等底同高，，故答案為：；（2）∵AD是BC邊上的中線，，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多4，即，，又，；（3）的周長(zhǎng)為27，，，即，解得，，又的周長(zhǎng)為19，，，即，解得．20．（本題滿分6分）如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB=2∠C．(1)尺規(guī)作圖：作出點(diǎn)D；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若∠A＝∠B＋∠C，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．【分析】（1）法一：作線段AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D．法二：作∠CAD＝∠C，邊AD交BC于點(diǎn)D即可；（2）法一：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證明；法二：根據(jù)∠CAD＝∠C，利用三角形內(nèi)角和定理即可證明．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)D即為所求；法一：作線段AC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D．法二：作∠CAD＝∠C，邊AD交BC于點(diǎn)D．（2）連接AD，∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD＋∠C，∴∠C＝∠CAD，∴AD＝CD．法一：∵∠BAC＝∠B＋∠C，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°．∵∠DAB＝90°?∠CAD，∠B＝90°?∠C，∴∠DAB＝∠B，∴AD＝BD．∴CD＝BD，即點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．法二：∵∠BAC＝∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CAD，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD．∴CD＝BD，即點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．21．（本題滿分10分）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，22．（本題滿分10分）已知：在中，平分，平分，、交于點(diǎn)．