2022年新高考數(shù)學(xué)I卷及解析

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

新高考數(shù)學(xué)I卷

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在

答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼

在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答

案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試

卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目制

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，如需改動，先劃掉原來答案，然后再寫上新答案，不準(zhǔn)使

用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合〃=M?V4},N=k|3x?l},則McN=()

A.1x|0<x<2)B.<<x<2>C.{A|3<x<16)D.

2.已知—=則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在AA8C中，點。在邊A8上，BD=2DA.i&CA^m,CD=n,則C與=

A.3m—2hB.—2m+3nC.3m+2nD.2ih+3n

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫

水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的

面積為180.0/2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看做一個棱臺，則該水庫水位從海拔

148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為(J7?2.65)

A.l.OxlO9???3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(

112

A.-B.一D.-

633

6.記函數(shù)/(x)=sin[如+?]+。(。>0)的最小正周期為T.若言<丁<2萬，且y=/(x)

1

3萬,21中心對稱，則（）

的圖象關(guān)于點

35

A.1B.一C.一D.3

22

7.設(shè)a=O.le°」，b=—In0.9,則

9

K.a<b<cQ.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.己知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3<Z<373,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

,8127812764

A.1O8,—B.—，—C.----，----D.[18,27]

44443

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部答對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知正方體ABC?！?片￡。，則（）

A.直線BC｝與ZM,所成的角為90°B.直線BC,與所成的角為90°

C.直線BCy與平面所成的角為45°

D.直線BC｝與平面ABC。所成的角為45°

10.已知函數(shù)=/一》+1,則（）

A./（X）有兩個極值點Bj（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=/（元）的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/（X）的切線

11.已知。為坐標(biāo)原點，點A（l,l）在拋物線=2py（p>0）上，過點3（0,—1）的直線交

C于P,。兩點，則（）

人.。的準(zhǔn)線為丁=—1B.直線AB與C相切

C.\OF\-\O^\O^D.忸年忸忸耳

12.已知函數(shù)/（無）及其導(dǎo)數(shù)/'（x）的定義域為R,記g（x）=/'（x）,若/仁一2，，g（2+x）

2

均為偶函數(shù)，則（）

A./（x）=OB.g|-g）=0C./（-l）=/（4）。送㈠”8⑵

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

上（X+力8的展開式中X/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）.

14.寫出與圓/+丁=1和（無一3）2+0-4）2=16都相切的一條直線的方程.

15.若曲線y=（x+a,,有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是.

22

16.已知橢圓。：與+2=1（。＞人＞0）,C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,離心率

為彳.過耳且垂直于AB的直線與C交于。，￡兩點，目=6,則A4DE的周長

是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字證明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）記S”為數(shù)列｛%｝的前“項和，已知q=l,fS1是公差為一1的等差數(shù)列.

3

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；（2）證明：—+—+—＜2.

a\a2an

18.（12分）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=sin2'

1+sinAl+cos2B

02.72

（1）若C=t,求8；（2）求一乙的最小值.

3c2

19.（12分）如圖，直三棱柱ABC-A|B|G的體積為

4,,A418C的面積為WL

（1）求A到平面ABC的距離；'I‘；'"'

（2）設(shè)。為AC的中點，例=A8,平面1/_____\Jr

ABCJ,平面求二面角A—3。一。的正弦值.T-

20.（12分）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分

為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組）,

3

同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對造組)，得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件

P(5|A)P

“選到的人患有該疾病”.一與一版泮)1的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程

P\B\A)P(BA)

度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

(i)證明:

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A忸)，P(4同的估計值，并利用⑴的結(jié)果給出R的估計

值.

附K'____壯ad-bcY_____

[a+b^+d\a+c^b+d）

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(12分)已知A(2,l)在雙曲線C:二——=1(。＞1)上，直線/交C交于P,Q兩

a"a~-1

點，直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tan/PAQ=2j5,求APAQ的面積.

22.(12分)己知函數(shù)/(九)=e*-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線丁=人，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并

且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

4

2022普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

新高考數(shù)學(xué)I卷參考答案

2.D解析：由題設(shè)有1—2=1=—1故2=1+九故z+I=(l+i)+(l—i)=2.

i

3.B解析：點。在邊AB上，BD=2DA,：.BD=2DA,即無一為=2回一函)，

CB=3CD-2CA=3n-2m.

4.C

解析:依題意可知棱臺的高為力=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積V.

棱臺上底面積5=140.0%/2=140x1()6加2,下底面積，=180.0人后=180x1()6/

；W=；/?(S+S'+4SS7)=3x(320+60A/7)X106?(96+18X2.65)X107

=1.437xlO9?1.4xl09

5.D解析：從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有=21種不同的取法，若

兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有:(2,4)(2,6)(2,8)(3,6)(4,6)(4,8)(6,8),共7種，故所求

6.A解析：由函數(shù)的最小正周期滿足一＜T＜2K,得一＜—＜2萬，解得2＜。＜3,

22co

又因為函數(shù)的圖象關(guān)于點,2)中心對稱，.?.,啰+?=4萬,%€2,且b=2,...

co=---1—k,keZ,co=_,/(元)=sin_x4—|+2,

632V7<24；

f(x)=sin|—7T+—|+2=1

44

7.c解析：設(shè)/3=111(1+%)-乂了>一1),：/'(工)=------1

當(dāng)無G(—1,0)時，fr(x)>0；當(dāng)X€(0,+8)時,f'(x)<0

5

???函數(shù)/(x)在(0,+00)上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增,

=0,AIn—--<0,故1>lnW=—

9999

919

=0,：.lm—+—<Q,故二<e—e'°<—,故Z?>a

101010109

設(shè)g(x)=xex+ln(l-x)(0<x<l),則g(x)=(x+l)e'H———=——1卜十］,

x-1x-\

令h(x)-e'(x2-1)+1,則h\x)-ex(x2+2x-l)

當(dāng)0<%</一1時，〃'(x)<0,函數(shù)%(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)血一1<XV1時，"(x)>0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增.

又7z(0)=0,.?.當(dāng)OVxV拒—1時/i(x)<0,.?.OVxV近—1時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單

調(diào)遞增，,g(0.1)>g(0)=0，即—In0.9,

8.C解析：方法一：???球的體積為36〃，.?.球的半徑R=3.

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2。，高為〃，則/2=2/+〃2,32=2標(biāo)+(3-〃)2,

；.6h=『,2/=F—〃2

42、

1|2(2//\(/6

...正四棱錐的體積V=±S/z=上x4a2x/z=*xI-—X—=-Z4-—,

333136)69(36)

當(dāng)3V/42遍時、V?,當(dāng)2遙VG3有時，V'<0,

.?.當(dāng)/=2癡時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為阿，

3

又/=3時，V=—,/=3當(dāng)時，V=—,—

444

2764

，該正四棱錐體積的取值范圍是—.

_43_

方法二：記三棱錐高與側(cè)棱的夾角為8,高為底面中心到各頂點的距離為加，

6

j_V3

，則/=6cose,m=Z-sin0=6sin0cos0,

2x3x/62'V

.rn6sinecos642Ao1

h-------------；-------6cos0,S性=—x2nmx2nm=xn2m2,

tan。sinf底2

cos，

故V=!5底/?=3、2機％=14461118(：052e1

令y=sin^cos20-sin^(1-sin26)=x(l-x2)=-x3+x,元=sin6w叵

12,~T

y'=-3x2+1,當(dāng)xe—,——時，y'>0y單調(diào)遞增;

23

-73叵2在

當(dāng)xwT'T時，y<0,y單調(diào)遞減；Vm

13J3J3

又當(dāng)x時，y=2,當(dāng)％=以時，y=4.,

2828

直接帶入V=144(sin0cos2可得該正四棱錐體積的取值范圍是

二、選擇題

9.ABD

解析:如圖,連接BC、BG，：D4|〃耳。.?.直線8G

與8c所成的角即為BG與。4所成的角

四邊形BBCC為正方形，則B°±BG，故直線8G與

DA所成的角為90。，A正確.

連接AC，片，平面BB|GC，B|Cu平面BBGC,則A與_LBG，

■:BQ工BC[,AB]c=8],BC]_L平面'旦。,

又ACu平面A與C,BG，C4「故6正確.

連接A|G，設(shè)，A,C,nB,D,=0,連接50,

平面ABCiR,CQu平面A.CQ,則G。，⑸B,

7

GO，A，B、D\cB、B=B、,/.CXO_L平面BBlDlD,

???ZC,BO為直線BC{與平面BBRD所成的角，

B「oi

設(shè)正方體棱長為1,則GO=J,BC,=V2,sin/GBO=-^=—，

2'BC,2

直線BG與平面所成的角為30。，故C錯誤；

G。，平面ABCD,ZC}BC為直線BC,與平面A8CD所成的角，

易得NGBC=45°，故。正確.

10.AC解析：由題，f\x)=3x2-l,令/'(x)>0得x>g或xV—日

令得了'(x)<0得一號<x<號

*,./(x)在爭上單調(diào)遞減,

上單調(diào)遞增,

??.x=±1是極值點，故4正確.

3

因/=1+—>0,/^―j=1———>0,/(-2)=-5<0,

...函數(shù)/(X)在(一8,有一個零點，

當(dāng)日時，f(x)>f￡>0,即函數(shù)/(x)在(理,+oo］上無零點,

綜上所述，函數(shù)/(X)/⑺有一個零點，故6錯誤.

令〃(%)=/一彳，該函數(shù)的定義域為R,h(-x)=-x3+x=-h(x),則力(x)為奇函數(shù),

(0,0)是Mx)的對稱中心，將人(無)的圖象向上移動一個單位得到了(九)的圖象,

，點(0,1)是曲線y=/(%)的對稱中心，故C正確.

令-3/_1=2,可得x=±l,又/⑴=/(-1)=]

8

當(dāng)切點為(1,1)時，切線方程為y=2x—1,當(dāng)切點為(-1,1)時，切線方程為y=2x+3,故

D錯誤.

11.BCD解析：將點A代入拋物線方程得l=2p,...拋物線方程為/=y,故準(zhǔn)線方

程為y=—1,A錯誤.

心J二㈠)=2，???直線43的方程為y=2x-l，聯(lián)立可得

1-0l/=y

%2-2x+l=0,解得x=l,故8正確.

設(shè)過B的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線C只有一個交點，

直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=1,尸(須，月)，e(x2,y2),

,,仙=公_4

y=kx-1與

聯(lián)立＜9得Y-kx+1=0,工〈X]+x)=攵，

廠二y一[

xxx2=1

所以左＞2或左V—2,必＞2=($了2)2=1

又\OP\=&+y；=Jy+y；，|。@=&+4=軌+資

；?I。年=仙城+逝+%)==網(wǎng)＞2=|0理，故0正確.

72

；忸月=71+7!%,|，怛9=yji+k\x2\,

.,?忸年怛。=(1+左2卜也|=1+42＞5,而怛可=5,故。正確.

12.BC解析：—2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，

??/(|-2)/(|+即/(|一,=f(|+j,g(2+x)=g(2-x),

/./(3-x)=/(x),g(4—x)=g(x),則/(一1)=/(4),故C正確.

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=jx=2對稱，

又g(x)=7'(x)，且函數(shù)/(x)可導(dǎo),，g(3=0,g(3—x)=-g(x),

g(4—x)=g(x)=—g(3-x),二g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

9

???g]—￡|=g]￡|=O,g(—l)=g(l)=—g⑵，故8正確，O錯誤,

若函數(shù)/（x）滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/（x）+c（。為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定

函數(shù)/（尤）的函數(shù)值，故A錯誤.

三、填空題

13.答案：-28

解析：原式=（x+y）8-2（尤+y）8,由二項式定理，其展開式中一>6的系數(shù)為

X

-=-28.

72535

14.答案：％=—1或）,=，x一上或y=x+/（答對其中之一即可）

■2424-44

解析：由圖可知，兩圓外切，且均與直線乙：x=-1相切，另過兩圓圓心的直線/的方程為

y=可得/與4交點為壯-1,一（）.由切線定理得，兩圓另一公切線"過點

4/、

設(shè)4：y+§=Hx+D，由點到直線距離公式可得

L4|

37725

上」：=1,解得％=一，即/,：y=—x——.

7F7T24-2424

另由于兩圓外切，因此在公切點處存在公切線&與/垂直，

35

解得4:y=__x+_.

344

15.答案：（-8,—4）U（0,+8）

解析：易得曲線不過原點，設(shè)切點為（/a+。）淖），則切線斜率為尸（x）=（x0+a+lH，

可得切線方程為y-Go+a,&=（/+.+1,*°（8-/），又切線過原點，可得

x<,A

-(x0+a)e=-x0(x0+a+l)e°,化簡得x(/+a%-a=0(*),又切線有兩條，即*方

程有兩不等實根，由判別式△=/+4a>0得aV—4或a>0.

16.答案：13

1xy

解析：橢圓離心率為1,不妨設(shè)Cm+方=1'且AAKB為正三角形，則直線0E的

10

斜率％=號.由等腰三角形性質(zhì)可得，|4目=舊用，同口=|￡＞閭，由橢圓性質(zhì)得A4OE

的周長等價于|?！陓+|。段+|￡段=47.另設(shè)線。石的方程為^=](%+。)，與橢圓方程

聯(lián)立可得13,+8cx-32c2=0.

2

由弦長公式|￡>￡|=ylk+1|%1-X2\-J.+1J（X]+%2）2_4X]A：2得

—c-6,即，=■—,4a=8c=13.

138

所以數(shù)列＜」卜是首項為1,公差為?的等差數(shù)列.

l?J3

吟…(〃葉等?！?2

n+2九+1

當(dāng)心2時，%=S“一Si-----凡------凡t

33

?*.(〃-1"=(〃+1)%_],即烏-=巴里(〃＞2)

%T〃-1

累積法可得：不=〃(當(dāng)D(〃22),又q=l滿足該式,

數(shù)列｛%｝的通項公式為凡=麗+1).

18.解：（1）由已知條件得：sin28+sinAsin28=cosA+cosAcos28,貝ij

sin2B=cosA+cosAcos2B-sinAsin2B=cosA+cos（A+28）

—COS[TT-（B+C）]+COS[TT-（B+C）+23]=-cos（fi+C）+COS[TT+（B—C）]=_2cosBcosC

2sinBcosB=-2cosScosC,即（sinB+cosC）cos5=0,

ii

w

由已知條件：1+COS25HO,則8。一，可知cosBxO,

2

sinB——cosC——,B——.

26

7T

(2)由(1)知sin8=-cosCX),則3=C=—sinB=sinlC---cosC,

2

sinA=sin(fi+C)=sin12C-^-]=-cos2C,

2i2

由正弦定理巴半_sin*2*A+sin2Bcos22C+cos2C

sin2Csin2C

22242

_(l-2sinC)+(l-sinC)_2+4sinC-5sinC_2.2

-z=iF4S1T1I-5

sin2Csin2Csin2C

>2.—i—.4sin2C-5=4V2-5.

、sin2c

當(dāng)且僅當(dāng)sin2c=YI時等號成立，所以幺二匕的最小值為4啦—5.

2<?2

19.解：(1)設(shè)A到平面48C的距離為〃，

^A-ABC=SMBC-AA=§VABC-AB￡=§X4=耳，^A-AiBC=2SM\BC,h-x2V2-A

t3

.?.』x2行=啦，???A到平面ABC的距離為后.

33

(2)取AB的中點為E,連接AE,=AEJ.AB,

\?平面4BC_L平面平面ABCC平面AB禺4

.??AEL平面ABC,AE=y[2,則A1A=A8=2,AE_LBC,

:直三棱柱ABC-A|B|G，A|AJ_8C,

VAEAAtA=A,BCJ_平面BCAB,

由VABC_4|BC|=gAB-BC-AA]=gx2xBCx2=4，BC=2,

以BC為x軸，BA為y軸，8坊為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

12

B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A(0,2,2),E(0,l,l),￡>(1,1,1)

平面BDC的法向量設(shè)為W=彳己=(0,-1,1)，

平面BD4的法向量設(shè)為后=(x,y,z),

麗=(0,2,0),麗=(1,1,1),

----—?

BA-n2=0,f2y-0.

”——?—?，’<,/.y=0,

BDn2=0[x+y+z=0

設(shè)X=l,則z=-l,%=(1,。，-1)，，CO?〃1.%)

2

V3

設(shè)二面角4一6。一。的平面角為a,則sina=Jl-cos2cc=—,

2

...二面角A—BO—C的正弦值為且

20.解：（1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒有差異,

200x(40x90-60xlQ)2

則底=24>10.828,

50x150x100x100

...有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

__P（AB）f（碉

（2）（i）札臂.”"率、分刎=智膽

P（B|A）P（B|A）P（A8）P（AB）P（AB）P（AB）P（AB）P（AB）

P（A）P（A）

RAB)P(.)

P⑻P0)P?B).川向

二坪分謫=而動析‘得證.

「⑻P(B)

(H)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知P(A|B)=&=2,P(A|B)=—=—,

71005v1710010

則P?B)=I-P(A|B)=3,P(A|B)=—,.,./?=6.

41

21.解：(1)將點A代入雙曲線方程得F--T—=i>整理得4/+4=0,解得

a2a2-1

a2=2,故雙曲線方程為工—y?=］；

2

13

由題顯然直線/的斜率存在，設(shè)/：y^kx+m,設(shè)尸(七，%)，Q(x2,y2),

4km

y-kx+mx+x

}2~~2k2-1

聯(lián)立,得(2人2—1卜2+4公妝+2機2+2=0,

-----y2=12m2+2

I2/=

2k2—1

+L=小衛(wèi)」=-4—=o,

kAP

七一2x2-2X]—2X1-2

化簡得：2kxix?4-(m-1-+x2)-4(m-l)=0,

故嚓苧+碧卜(“T)=0,

叩伏+1X機+2左一1)=0,而直線/不過A點，故上=一1.

(2)設(shè)直線AP的傾斜角為a,由tanNP4Q=2j5,得tan幺逗=也,

由2a+NPAQ=;r,得火“=tana=V^,即^^=拒，

x,-2

y'~V=4i

花一210-4724V2-5

聯(lián)立彳,得匹=一—，口=一--，

■V2?33

———=1

I21

代入直線/得加=3,故X[+*2=也，X\XT.=—

3123129

而|4月=百|(zhì)再一2|，|4<=白/一21

由tanNPAQ=2^2得sinZPAQ=,

故SAPAQ=JAPHAQIsinZPAQ=內(nèi)k|￡_2(X|+/)+4|=.

22.解：(1)f'(x)=e'-a,g'(x)-a——

X

①aWO時，/'(x)>0恒成立，在R上單調(diào)遞增，即/(九)沒有最小值.該類情況應(yīng)

舍去.

②aX)時，當(dāng)xe(-8,lna)時，/f(x)<0；當(dāng)xe(lna,+8)時，/'(x)>0,

14

/(%)在(-oo,In。)上單調(diào)遞減,在(ina,+8)上單調(diào)遞增,

/(%)在x=Ina處有最小值為/(ina)=a-a\naf

.,?當(dāng)次￡(o,，］時，g'(X)V0;當(dāng)+時，g'(x)>(),

.??g(x)在(oj)上單調(diào)遞減，在|(,+oo］上單調(diào)遞增，

g(x)在x=，處有最小值為|=1+Ina,

a3

?.,/(x)=ex-axg(x)=ax—InX有相同的最小值,

/(ina)=a-a］na==1+Ina

即a-alna=l+lna

???a〉0,所以上式等價于Ina—=0,

a+1

Y_1

令h(x)=Inx--------(x>0),

x+1

?2?

則h\x)=——「>0恒成立，〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

+1)'

又