2022年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺：預(yù)測02 基本初等函數(shù)（真題回顧+押題預(yù)測）（解析）

預(yù)測02基本初等函數(shù)

命題探究

1、.關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的考查：以考查能力為主，往往以常見函數(shù)(二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))為基本考

察對象，以絕對值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性與

最值、函數(shù)與方程(零點)、不等式的解法等，考查數(shù)學(xué)式子變形的能力、運算求解能力、等價轉(zhuǎn)化思想和

數(shù)形結(jié)合思想.其中函數(shù)與方程考查頻率較高.涉及函數(shù)性質(zhì)的考查;

2、關(guān)于函數(shù)圖象的考查:

(1)函數(shù)圖象的辨識與變換;

(2)函數(shù)圖象的應(yīng)用問題，運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想分析與解決問題的能力;

3、關(guān)于函數(shù)零點一般考察的相對較少.

6/知4只梳理

1、函數(shù)的性質(zhì)

(1)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

(2)函數(shù)周期性的判定:

f(x+a)=f\x+h)：可得/(x)為周期函數(shù)，其周期T=|b—

/(x+a)=—/(x)=/(x)的周期T=2a

/(x+a)=」、n/(x)的周期T=2a

(3)雙對稱出周期:

若一個函數(shù)/(x)存在兩個對稱關(guān)系，則/(x)是一個周期函數(shù)，具體情況如下：(假設(shè)b>a)

①若/(x)的圖像關(guān)于x==h軸對稱，則外力是周期函數(shù)，周期T=2(b-a)

②若/(x)的圖像關(guān)于(a,0),(女0)中心對稱，則/(x)是周期函數(shù)，周期丁=2。一勾

③若/（x）的圖像關(guān)于x=a軸對稱，且關(guān)于他,0）中心對稱，則/（x）是周期函數(shù)，周期7=4（》一。）

二、利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）平移變換

上個單位

|內(nèi)⑴F"）~~|廣傲）|—T）小%-“）|

昆上_工卜心>0>個雌傕一"杼單位」-I

下

移A（6））個單位

「=/（；）一小

（2）對稱變換

y=Ax）的圖象夫于?血型林1―/?（*）的圖象;

y=lU的圖象關(guān)于解對稱?/=『（一x）的圖象;

y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱一『Lx）的圖象;

y=a'（a>0,且aWl）的圖象關(guān)于直線工例通K=log.x（a>0,且aWl）的圖象.

⑶伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

尸?）各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉頃r（a〉0）將尸/由）?

橫坐標(biāo)不變

尸各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?給0）倍y="f（x）"

（4）翻折變換

解由下方部分翻折到上方

尸/'（X）的圖象----珞由及上方部分不變----?尸If（x）I的圖象;

辟由右側(cè)部分翻折到左側(cè)

尸/'（X）的圖象原碑由左側(cè)部分去掉，右側(cè)小變尸△Ldl的圖象.

?j

V真題回顧

一.選擇題（共8小題）

1.(2021?天津)函數(shù)八x)=^的圖象大致為()

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)=黑，其定義域為{x|xWO},

有/(-x)=與具=f(x),是偶函數(shù)，排除XC,

在區(qū)間(0,1)上，必有/(x)<0,排除。，

故選：B.

2.(2021?新高考H)已知。=log52,6=晦3,c=則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.C.a<c<bD.a<b<c

1i1i

【解答】解：Vlogs2<log5S2=.logQ3>logQ82=.

:?a〈c〈b.

故選：C.

3.(2021?甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

2—

A./(x)=-xB./(%)=(-)C.f(x)=x2D./(x)=Vx

【解答】解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知/(x)=-x在R上是減函數(shù)，不符合題意；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知/(x)=(|)x在R上是減函數(shù)，不符合題意；

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)=/在R上不單調(diào)，不符合題意；

根據(jù)募函數(shù)性質(zhì)可知/(x)=以在R上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

4.(2021?乙卷)設(shè)函數(shù)/(x)=送，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x-1)-1B./(x-1)+1C../'(jd-l)-1D.f(x+1)+1

【解答】解：因為/(x)=沼=耳盧=-1+系，

X.I人，I人人IJL

所以函數(shù)/(X)的對稱中心為(-1,-1),

所以將函數(shù)/(X)向右平移一個單位，向上平移一個單位,

得到函數(shù)y=/(x-1)+1,該函數(shù)的對稱中心為(0,0),

故函數(shù)y=/(x-1)+1為奇函數(shù).

故選：B.

115

5.(2021?甲卷)設(shè)/⑴是定義域為R的奇函數(shù)，且/(1+x)=/(-x).若/(一向=點則/[)=()

5115

A."B.-4C.-D.-

3333

【解答】解：由題意得/(-x)=-/(x),

又/(1+x)=/(-x)=-/'(x),所以/(2+x)=f(x),

又/(一號)=則/(三)=/或一號)=/(一寺)=!

故選：C.

5.(2021?甲卷)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)乙和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)-滿足L=5+/g匕已知某同學(xué)視力的

五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為()1府。1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【解答】解：在L=5+/g/中，￡=4.9,所以4.9=5+收匕即叱=-0.1,

解得一0°」=木T=^=擊皿8,

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

6.(文壓軸)(2021?甲卷)設(shè)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(1+x)=/(-x).若/(一g)=g,則/

5

(一)=()

3

5115

A.-3B.—oC.-D."

3333

【解答】解：由題意得/(-x)=-/G),

又/(1+x)=f(-x)=-f(x),所以/(2+x)=f(x),

又/(一,)=寺,則/(三)=/(2-寺)=/(-g)-

故選：C.

7.(壓軸)(2021?甲卷)設(shè)函數(shù)/?)的定義域為R,/(x+1)為奇函數(shù)，/(釬2)為偶函數(shù)，當(dāng)xC[l,2]

時，[(x)^ax2+b.若/(0)十/'(3)=6,則/(一)=()

9375

----C-a-

A.4B.242

【解答】解：???/(x+1)為奇函數(shù)，.../(I)=0,且/(x+l)=-f(-x+1),

'：f(x+2)偶函數(shù)，：.f(x+2)=/(-x+2),

：.j[(x+1)+1]=-/[-(x+1)+1]=-/(-x),即/(x+2)=-/(-x),

：.f(-x+2)=/(x+2)=-/(-x).

令，=-x,則/(/+2)=-fCt),

：.f(Z+4)=-/(f+2)=f(t),：.f(AH-4)=/(X).

當(dāng)xqi,2]時，/(x)=o?+b.

f(0)=f(-1+1)=-f(2)=-4a-b,

/(3)=/(l+2)=/(-1+2)=/(l)=a+b,

又f(0)(3)=6,-3a—6,解得a=-2,

''f(1)=a+b=0,b=-a=2,

...當(dāng)xqi,2]時，/(x)=-2?+2,

?V(9-)=/<-1)=-/<-3>=-(-2x^Q+2)=15.

故選：D.

8.(壓軸)(2021?新高考II)己知函數(shù)/(%)的定義域為R,f(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，則

()

1

A./(一方=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

【解答】解：?.?函數(shù)/(H2)為偶函數(shù)，

.,./(2+x)=f(2-x),

V/(2x+l)為奇函數(shù),

：.f(1-2x)=-f(2r+l),

用x替換上式中2^1,得/(2-x)=-f(x),

:.f(2+x)--f(x),f(4+x)=-f(2+x)—f(x),即f(x)—f(x+4),

故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

'：f(2v+l)為奇函數(shù),

/./(I-2x)=-f(2x+l),即/(2.r+l)+/'(-2x+l)=0,

用x替換上式中2r+l,可得，f(x)+f(2-x)=0,

：.f(x)關(guān)于(I,0)對稱，

又；/(1)=0,

.V(-1)=/(-1+4)=f(3)=-/(1)=0.

故選：B.

二.填空題(共3小題)

9.(2021?新高考I)已知函數(shù)/(x)=x3(a'2x-2'x)是偶函數(shù)，則a=1.

【解答】解：函數(shù)/(x)=?(a-2x~2x)是偶函數(shù)，

y=x3為R上的奇函數(shù)，

故-2F也為R上的奇函數(shù)，

所以加'旬=。*2。-2°=。-1=0,

所以<7=1.

故答案為：I.

10.(2021?新高考II)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)［(x)：f(x)=*.

?f(xm)=/(xi)/(由)；②當(dāng)x6(0,+8)時，/(x)>0；③/(x)是奇函數(shù).

【解答】解：f(X)=/時，=(xlx2)2=X12^22=/(X1)/(X2)-當(dāng)xe(0,+8)時，/(x)

=2x>0；j"(x)=2t是奇函數(shù).

故答案為：=/.

另解：基函數(shù)/(x)=x"(a>0)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述，取/(x)=/即可.

11.(次壓軸)(2021?新高考I)函數(shù)/(x)=|2x-的最小值為1.

【解答】解：法一、函數(shù)/(x)=|2x-1|-2歷x的定義域為(0,+8).

當(dāng)OVxW押，f(x)=|2x-1|-21Hx=-2x+l-2lnx,

此時函數(shù)/(x)在(0,｝上為減函數(shù)，

當(dāng)時，f(x)=|2r-1|-2lnx=2x-1-2lnx,

則/(x)=2-：=2號9,

當(dāng)xeg,1)時，，(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)(1,+8)時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

?:f(x)在(0,+8)上是連續(xù)函數(shù)，

...當(dāng)xe(0,1)時，/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(I,+8)時，/co單調(diào)遞增.

...當(dāng)x=l時/(x)取得最小值為/(I)=2X1-1-2加1=1.

故答案為：1.

法二、令g(x)=\2x-1|,h(x)—2lnx,

分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：

由圖可知，f(x)河(1)=1,

則數(shù)/(x)=|2x-1|-21nx的最小值為1.

故答案為：1.

2P押題預(yù)測

☆☆單選題☆☆

【解答】解：函數(shù)/(%)=年式的定義域為"卜￥0｝，

/(-x)=￡^=-/(x),可得/(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，可排除選項/、B；

由/(D=工為＞°，可排除選項，

故選：C.

ex+l

2.函數(shù)y=sin2x?"v一的部分圖象大致為()

ex-l

ex+l

【解答】解：函數(shù)y=/(x)=sin2x--—(xWO),

''ex-l

e-x+ll+ex、

/(-x)=sin(-2x),---=-sin2x*------x-=f(x),

」e-jl-eJ

可得/(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，可排除選項4、C；

由y=0,可得sin2x=0,可得2x=knf依Z,

即x=^/aifkEZ,k=1時，x=3；

i

i7j-e2+1

當(dāng)x=2<2，y=sinl-j—X),可排除選項D

e2-i

故選：B.

12

3.已知a=log32,6=34,c=/q,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

12

【解答】解：a=log326(0,1),6=34>1,c=ln-<0,

則a,b,c的大小關(guān)系：b>a>c.

故選：B.

4.設(shè)。=(寺)一°汽b=log2^c=lg^9則〃，b,。的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

【解答】解：?.?&)-°3>(50=1,

Vft=log2Q=Tog23，且Iog23>log21=0,???力VO,

3

?：lg\Vlg《Vlg\O,AO<c<l,

:.bVc〈a,

故選：C.

5.果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度人與其采摘后時間f（天）

滿足的函數(shù)關(guān)系式為人=〃??/若采摘后5天，這種水果失去的新鮮度為10%,采摘后10天，這種水果失

去的新鮮度為20%.采摘下來的這種水果失去30%新鮮度大概是（）（參考數(shù)據(jù)：/g2Po.3,/g3Po.48）

A.第11天B.第13天C.第15天D.第17天

【解答】解：由題意可得，護解得a=2〈，m=5%,所以〃=5%金，

（m-alu=20%

當(dāng)力=30%時,則力=5%?2耳=30%,

所以￡lg2=lg6,解得t=乂邛?娟)=5x(0.譽.48)=⑶

5ig乙U.J

所以采摘下來的這種水果失去30%新鮮度大概是第13天.

故選：B.

6.已知g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)=g(x)+),若/(〃)=2,/'(-a)=2。+2,則a=(

A.2B.-1C?2或-1D.2或1

【解答】解：根據(jù)題意，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x)=g(x)+/,

則/(-x)+/(x)=g(x)+?+g(-x)+x2=Zr2,

若/(a)=2,/(-a)=2a+2,則有/(〃)+f(-a)=4+2a=2J,

解可得4=2或-1,

故選：C.

7.已知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-8,o)內(nèi)單調(diào)遞增，且/(-x)=/(%),若a=/(Zogi3),b=f(2*L2)

c=f(-),則a,b,c的大小關(guān)系為()

2

A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=/(x)滿足/(-x)=/(%),則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

又由函數(shù)》=/(工)在區(qū)間(-8,0)內(nèi)單調(diào)遞增，則/'(X)在(0,+8)上遞減，

]

a—f(/o5i3)—f(log23),b—f(2L2),c—f(-)=f(21),

22

又由212V2T〈l<k?g23,

則b>c>a,

故選：B.

((a-2)x,x>2f(x^-f(x^

8.已知函數(shù)/(x)=i,滿足對任意的實數(shù)xiWx2,都有八1，八21L成立,則實數(shù)

x<2XI-X2

的取值范圍為()

A.(1,+8)B.(-8,第C.(-8,第D.導(dǎo)+00)

【解答】解：由于/Xx)滿足對任意的實數(shù)xir犯，都有四立二?<0成立，

???/(、)為H上的減函數(shù)，

(a—2)x>x>2a-2<0

又函數(shù)解得a＜苧

/G)=(*1,x<22(a-2)<(1)2-l

二實數(shù)。的取值范圍為(一8,呈］.

故選：B.

1

9.定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞減，且/(-I)=1,則不等式/(/gx)-/(您)>

2的解集為()

11

A.(-8,io)B.(0,10)C.(——，10)D.(0,—)

1010

【解答】解：因為定義在R上的奇函數(shù)/G)在(-8,0］上單調(diào)遞減，且/(-1)=1,

根據(jù)奇函數(shù)對稱性可知/G)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

不等式/(/gx)~f(號)=f(3)■(-Igx)=2f(/gx)>2,

所以/(/gx)>1,

所以lgx<-1,

解得OVxVO.l.

故選：D.

10.(壓軸)已知/(x)是H上的奇函數(shù)，且對x€R,有/(x+2)=-/(x).當(dāng)(0,1)時，/(x)=2X

-1,則/(log241)=()

252341

A.40B.—C.—D.一

164123

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/G)滿足/(x+2)=-/(x),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),即/G)

是周期為4的周期函數(shù)，

又由Iog232=5<log241<log264=6,且f(x)為奇函數(shù)，則/(log241)=f(log241-4)=-f(log241

-6)=/(6-log241),

而6Tog241E(0,1),則/(6-log241)=26TO9241=胃一］=窘，

故選：c.

11.(壓軸)已知/G+2)是偶函數(shù)，/G)在(-8,2］上單調(diào)遞減，/(O)=0,則/(2-3x)>0的解

集是()

22

A.(—8,—)U(2/+8)B.f2)

C.(一號2，2D.(一8,-02U修2，+00)

【解答】解：根據(jù)題意，/(x+2)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

又由/(x)在(-8,2］上單調(diào)遞減，則/(x)在［2,+8)上遞增，

又由/(0)=0,則/(2-3x)>0=>f(2-3x)>/'(0)=|3x|>2,

99

解口J得：xV—可或x〉w，

72

即不等式的解集為(-°°?—W)U(§'+8)；

故選：D.

12.(壓軸)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(2-x)4/G)=0,當(dāng)xW(0,1］時，/(x)=-log2x,若

函數(shù)尸(x)=f(x)-siniLv,在區(qū)間［-1,〃?］上有10個零點，則〃7的取值范圍是()

A.［3.5,4)B.(3.5,4］C.(3,4］D.［3,4)

【解答】解：由/(X)為奇函數(shù)，則/(X)=-/(-X),

又/(2-x)+/(%)=0,得：/(2-x)=f(-x),

即函數(shù)/(x)是其圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且周期為2的奇函數(shù)，

又丁=5山3的圖象關(guān)于(左，0)對稱，

其圖象如圖所示：

在區(qū)間［-1,M上有10個零點，則實數(shù)〃7的取值范圍為：［3.5,4),

13.(壓軸)已知函數(shù)f(x)=P嗎2*'X>0,關(guān)于X的方程/'(x)=機，有四個不同的實數(shù)解XI，

l-x2-2x,x<0.

X2，X3，X4，則X1+X2+X3+X4的取值范圍為()

A.(0,+8)B.(0,1)C.(1,|3)D.(1,+8)

【解答】解：作函數(shù)/(》)的圖象如圖:

結(jié)合圖象可知，工1+工2=-2,-log2X3=log2X4，故爾4=1，

根據(jù)題意，WG(0,1),則logzse(0,1),故X4C(1,2),則Xl+X2+X3+X4=-2+X4+L

x4

根據(jù)對勾函數(shù)y=x+］在(1,2)上單調(diào)遞增,

1

故Xl+X2+X3+t4=-2+X4H---在(1，2)上單調(diào)遞增,

x4

所以X|+X2+X3+X4=-2+X4+°e(0,~),

x42

故選：B.

2吐1|,0<%<2

14.(壓軸)已知函數(shù)/G)是定義在(-8,o)u(0,+8)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>o時/(%)=

—2),x>2

則函數(shù)g(x)=2f(x)-1的零點個數(shù)為()個.

A.6B.2C.4D.8

【解答】解：令g(x)=0可得/(x)=i,

作出/(x)在(0,+8)上的函數(shù)圖象，如圖所示:

)上有2解,

又f(x)是偶函數(shù)，.\/(x)=3在(-8,0)上有2解,

.V(x)=3有4解.

故選：C.

☆☆多選題☆☆

(多選)5已知實數(shù)a,b,，滿足:2:臉，則“，b,。的大小關(guān)系可能成立的是(3

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

Q,b,c的大小關(guān)系只有三種情況：c>b>a,c>a>b,a>c>b.

故選：ABC.

(多選)16.已知函數(shù)/(x)=lgQ+ax-a),下列說法中正確的是()

A.若/(x)的定義域為R,則-4WaW0

B.若/(x)的值域為R,則aW-4或a20

C.若a=2,則/G)的單調(diào)區(qū)間為(-8,-1)

D.若/(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減，則

【解答】解：若/(x)的定義域為R,則/+”-a>0對任意xeR恒成立，

則△=a2+4a<0,即-4<a<0,故A錯誤；

若/(x)的值域為R，則x2+ax-a取到大于0的所有實數(shù)，

即△=J+4a2o,得aW-4或a20,故8正確；

若a=2,則/(x)=/g(，+2r-2),由/+入-2>0,得xV-1一百或x>-I+V5,

函數(shù)f=/+2x-2在(-8,-1)上不單調(diào)，故C錯誤；

若/(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減，則/=/+*”在(-2,-1)上單調(diào)遞減，且大于0恒成立,

則一2一T,解得a],故D正確.

1(—I)2—a—a>0

故選：BD.

(多選)17.已知函數(shù)/(x)=小的圖像經(jīng)過點(4,2),則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)

C.當(dāng)x>l時，/(%)>1

D.當(dāng)0Vxi<X2時，[一紅</(六，)

【解答】解：由于函數(shù)/(X)=#的圖像經(jīng)過點(4,2),故有4a=2,...aV，故/(x)=亞

顯然，函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù)，故/錯誤：函數(shù)/(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，故8正確：

當(dāng)x>l時，f(x)=\fx>\,故C正確；

由于函數(shù)/(x)為上凸型函數(shù)，故有當(dāng)O(X1<X2時，</(^^)，故。正確，

故選：BCD.

(多選)18.(壓軸)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,/(%-1)為奇函數(shù)，/(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)在(-1,

1］時，/(%)=-7+1,則下列結(jié)論正確的是()

73

A./(-)=-7

J24

B./(廣7)為奇函數(shù)

C./(%)在(6,8)上為減函數(shù)

D.方程/(x)+lgx=O僅有6個實數(shù)解

【解答】解：1)為奇函數(shù)，-X-1)=-/(x-1),即/(-x)=-/(x-2),則函數(shù)關(guān)

于(-1,0)對稱，

V/Q+l)