新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步86第課時直線與平面垂直的性質(zhì)定理訓練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE8.6.2直線與平面垂直第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)定理課后·訓練提升1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1,則()A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B與l異面但不垂直 D.B1B與l相交但不垂直答案B2.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l解析若α∥β,則由m⊥α知m⊥β,而n⊥β,所以m∥n,與m,n為異面直線矛盾,所以平面α與平面β相交.由m⊥平面α,m⊥l,且l?α,可知l∥α,同理,l∥β,所以l與兩平面的交線平行.故選D.答案D3.已知直線l與平面α相交于點O,A∈l,B∈l,A?α,B?α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足為C,BD⊥平面α,垂足為D,AC=1,則BD=()A.2 B.1 C.32 D.解析因為AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.連接OD,所以O(shè)AOB因為OA=AB,所以O(shè)AOB因為AC=1,所以BD=2.答案A4.已知地面上有兩根相距am的豎直的旗桿,它們的高度分別是bm和cm(b>c),則它們頂端的距離為m.

解析如圖,根據(jù)題意可知AD=bm,BC=cm,AB=am.由線面垂直的性質(zhì)定理可得AD∥BC.過點C向AD作垂線,設(shè)垂足為E,則在Rt△CDE中,CE=am,DE=(b-c)m,所以CD=a2+答案a5.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是側(cè)面PBC上的一點,過點D作平面ABC的垂線DE,其中D?PC,則DE與平面PAC的位置關(guān)系是.

解析因為DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE?平面PAC,PA?平面PAC,所以DE∥平面PAC.答案平行6.一條與平面α相交的線段,其長度為10cm,兩端點到平面的距離分別是2cm,3cm,則這條線段與平面α所成的角是.

解析如圖,AB是一條與平面α相交的線段,作出AC⊥α,BD⊥α,則AC∥BD,AC,BD確定的平面與平面α交于CD,且CD與AB相交于點O,AB=10,AC=3,BD=2,則AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.答案30°7.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)求證:A1C⊥B1D1.(2)若M,N分別為B1D1與C1D上的點,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求證:MN∥A1C.證明(1)如圖,連接A1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因為四邊形A1B1C1D1為正方形,所以A1C1⊥B1D1.又CC1∩A1C1=C1,所以B1D1⊥平面A1C1C.又A1C?平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.(2)如圖,連接AB1,AD1.因為B1C1AD,所以四邊形ADC1B1為平行四邊形,所以C1D∥AB1.因為MN⊥C1D,所以MN⊥AB1.又MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1,同理可得A1C⊥AB1.因為AB1∩B1D1=B1,所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.8.如圖,△ABC是等邊三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中點,求證:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.證明(1)如圖,取AB的中點G,連接FG,CG.因為F為BE的中點,所以FG∥AE,FG=12AE因為CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.因為CD=12AE,所以FG∥CD,FG=CD所以四邊形CDFG是平行四邊形,所以DF∥CG.因為CG?平面ABC,DF?平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F為BE的中點,所以AF⊥BE.因為△ABC是等邊三角形,所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.因為FG⊥平面ABC,所以FG⊥GC,FG⊥DF.因為FG∩AB=G,所以DF⊥平面ABE.因為AF?平面ABE,所以DF⊥AF.因為BE∩DF=F,所以AF⊥平面BDF.因為BD?平面BDF,所以AF⊥BD.9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)求證:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1兩底面間的距離.(1)證明如圖,連接BC1,則O為BC1與B1C的交點.因為側(cè)面BB1C1C為菱形,所以B1C⊥BC1,又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.又AO∩BC1=O,所以B1C⊥平面ABO,又AB?平面ABO,所以B1C⊥AB.(2)解因為四邊形BB1C1C為菱形,BC=1,∠CBB1=60°,所以△BCB1為正三角形,所以B1C=1,OB=32因為AO⊥平面BB1C1C,所以AO⊥BC1,AO⊥B1C.又O為B1C的中點,AC⊥AB1,所以△AB1C為等腰直角三角形,所以AO=12,AC=2所以AB=AO2+在△ABC中,cos∠ABC=AB2