雙曲線專練 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

雙曲線1.已知斜率為2的直線l與雙曲線（，）相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)是，則C的漸近線方程是()A. B. C. D.2.已知雙曲線（，）的一條漸近線的方程為，左焦點(diǎn)在直線上，A，B分別是左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，，則的取值范圍為()A. B. C. D.3.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，則C的方程為()A. B.C. D.4.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，則的面積為()A.8 B. C.16 D.5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，且，則()A.1 B. C.2 D.6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條漸近線的平行線，且與另一條漸近線交于點(diǎn)P，連接.若，則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.7.雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為P.已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.8.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為()A. B. C. D.9.若圓上存在一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P可作兩條直線PA、PB與雙曲線相切，且，則r的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為()A.3 B. C.2 D.11.已知，是雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在E上，D是線段上的點(diǎn)，若，，，則當(dāng)面積最大時(shí)，雙曲線E的方程是()A. B. C. D.12.雙曲線的下焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)A，B和點(diǎn)的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為()A. B. C. D.13.已知雙曲線，(，)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)x軸上方的焦點(diǎn)的直線與雙曲線上支交于M，N兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，若，，成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________.14.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與圓相切，且與雙曲線的左支交于x軸上方的一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為_(kāi)_________.15.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A滿足，點(diǎn)P、Q在雙曲線上，且.若直線PQ，PF的斜率之積為，則雙曲線的離心率為_(kāi)________.16.已知雙曲線的離心率，點(diǎn)，分別是它的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)，若P為該雙曲線上支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則與P到一條漸近線的距離之和的最小值為_(kāi)_______.17.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)，且的面積為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交x軸于點(diǎn)B，與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（不同于點(diǎn)A），記直線AE，AF分別與直線交于點(diǎn)M，N，證明：B是MN的中點(diǎn).18.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到E的一條漸近線的距離為，動(dòng)直線l與E在第一象限內(nèi)交于B，C兩點(diǎn)，連接AB，AC.（1）求E的方程；（2）若，證明：動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn).19.設(shè)A，B為雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形.（1）求雙曲線C的離心率；（2）已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，若為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，若為銳角，求t的取值范圍.20.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).(1)若直線AB的斜率為1，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)，在雙曲線C的右支上，且，，，過(guò)點(diǎn)P且斜率為的直線與過(guò)點(diǎn)Q且斜率為的直線交于線段AB上一點(diǎn)M，且，求實(shí)數(shù)的值.

答案以及解析1.答案：A解析：設(shè)，，則兩式相減可得，由直線l的斜率為2，且AB的中點(diǎn)為，可得，故C的漸近線方程為，故選A.2.答案：D解析：由雙曲線的一條漸近線方程為，得，在中，令，得，故左焦點(diǎn)為，則，結(jié)合得，，故，，設(shè)，，，則，因?yàn)镻在第一象限，故，，則，顯然，故等號(hào)不成立，即.故選D.3.答案：B解析：直線為雙曲線的一條漸近線，設(shè)雙曲線C的方程為，則右焦點(diǎn)為，故右焦點(diǎn)F到直線的距離，，，，故C的方程為.故選B.4.答案：C解析：因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以.故選C.5.答案：D解析：易知OM是的中位線，所以，由，得，從而是等腰三角形，，又，所以，即漸近線的傾斜角為，因此.故選D.6.答案：A解析：由條件知，，.不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)且與一條漸近線平行的直線的方程為.聯(lián)立得方程組解得即，所以，.因?yàn)椋?，解?所以雙曲線C的離心率.故選A.7.答案：D解析：法一：不妨取漸近線，此時(shí)直線的方程為，與聯(lián)立并解得，即.因?yàn)橹本€與漸近線垂直，所以的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到直線(即)的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得，所以.因?yàn)?，，且直線的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得，又，，所以，整理得，即，解得.所以雙曲線的方程為，故選D.法二：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)向其中一條漸近線作垂線，垂足為P，且，所以，再結(jié)合選項(xiàng)，排除選項(xiàng)B，C；若雙曲線方程為，則，，漸近線方程為，不妨取漸近線，則直線的方程為，與漸近線方程聯(lián)立，得，則，又直線的斜率為，所以雙曲線方程不符合題意，排除A，故選D.8.答案：D解析：由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)P在右支上，則有，又，可得，，又，所以，由于，進(jìn)而，又與的面積相等，故四邊形的面積為.故選D.9.答案：B解析：設(shè)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P與雙曲線相切的直線方程為，直線PA、PB的斜率分別為，，聯(lián)立得，則，且，整理可得，且方程的兩個(gè)根分別為，.因?yàn)椋?，即，整理得，即點(diǎn)在圓上，圓心為，半徑為1，又在圓上，圓心為，半徑為r，由圓與圓有交點(diǎn)可得，解得，故選B.10.答案：D解析：不妨設(shè)P位于第一象限，雙曲線C的右焦點(diǎn)為，連接，，O為中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，；設(shè)，，則，由得：，解得：；在中，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），當(dāng)取得最小值時(shí)，雙曲線C的離心率.故選D.11.答案：C解析：如圖所示，設(shè)，，，，則，，在中，由余弦定理得①，在中，由余弦定理得②，得③，（兩角互補(bǔ)，余弦值互為相反數(shù)，通過(guò)兩式相加化簡(jiǎn)）在中，由余弦定理得④，③④聯(lián)立消去x得，因?yàn)椋援?dāng)面積最大時(shí)，mn最大，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，mn取得最大值，為24.此時(shí)由④解得，所以，在雙曲線中有解得所以雙曲線E的方程為.故選C.12.答案：B解析：由題意可知：，設(shè)，，AB的中點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)A，B，M的圓的圓心坐標(biāo)為，則，由題意知：直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為：，聯(lián)立方程組，消元可得：，則，，由韋達(dá)定理可得：，，法一：所以AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，則，由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點(diǎn)連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以，整理可得：，則圓心到直線AB的距離，由弦長(zhǎng)公式可得：，由垂徑定理可得：，也即，將（*）代入可得：，即，整理可得：，則，因?yàn)?，所以，則.法二：由，化簡(jiǎn)得，又，所以，同理，所以，是方程的兩個(gè)根，所以，又，所以，所以所以，則.故選B.13.答案：解析：由雙曲線的定義，，，，，令，在中，，，，，，，又在中，，，又，，，.14.答案：解析：設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)D，連接DO，過(guò)點(diǎn)作于E，則，，，由點(diǎn)P位于雙曲線的左支，可得，在等腰中，，則，，即，解得或（舍），故，則直線的斜率為.15.答案：解析：如圖，取P，Q的中點(diǎn)為M，連接OM，PF，則由題意可得，，，所以，相似，所以，因?yàn)橹本€PQ，PF的斜率之積為，所以，設(shè)，，則，且，兩式相減可得，即，即，即，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.16.答案：5解析：雙曲線的離心率所以，解得，所以，雙曲線，由，的雙曲線的漸近線方程為由為該雙曲線上支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得：所以，設(shè)點(diǎn)P到漸近線的距離為d則，過(guò)作漸近線的垂線，垂足為M，如圖.所以所以同理與到漸近線的距離之和的最小值為5故答案為：517.答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解析：（1）由題知解得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：將代入，可得.設(shè)，，則，，則，.直線AE的方程為，令，得；直線AF的方程為，令，得.，，，即B是MN的中點(diǎn).18.答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解析：（1）由題可得，雙曲線E為等軸雙曲線，故其一條漸近線方程為，，則點(diǎn)F到E的一條漸近線的距離，所以，所以E的方程為.（2）證明：根據(jù)題意，直線l的斜率一定存在，所以設(shè)直線，，，由（1）可得，，因?yàn)閯?dòng)直線l與E在第一象限內(nèi)交于B，C兩點(diǎn)，所以.聯(lián)立消去y整理得，則，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，.由斜率定義得，，.因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，，即，變形得，，①將，代入①整理可得，，②將，代入②得，，化簡(jiǎn)得，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn).綜上，動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn).19.答案：（1）2（2）或解析：（1）易知右焦點(diǎn)，將代入，得，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)，即，整理得，因?yàn)?，所以，方程兩邊同除以得，解得或（舍去），所以雙曲線C的離心率為2.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故，所以雙曲線的方程為.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消y得，設(shè)，，則，，則，因?yàn)橹本€l過(guò)右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，所以，，解得，直線，則，同理可求得，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以，即，所以，所以，即，解得或.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，將代入雙曲線方程可得，此時(shí)不妨設(shè)，，此時(shí)直線，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，同理可得，所以，，因?yàn)闉殇J角，所以