福建省華安一中2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

福建省華安一中2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1．下列函數(shù)中，同時(shí)滿(mǎn)足：①在上是增函數(shù)，②為奇函數(shù)，③最小正周期為的函數(shù)是（）A. B.C. D.2．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè),用表示不超過(guò)x的最大整數(shù),則稱(chēng)為高斯函數(shù)例如：,,已知函數(shù),則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C.1, D.1,2,3．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，，則的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A. B.C. D.5．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.6．下列函數(shù)中定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增的是A. B.C. D.7．一個(gè)機(jī)器零件的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個(gè)半圓與邊長(zhǎng)為的正方形，俯視圖是一個(gè)半圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)為的正方形.若該機(jī)器零件的表面積為，則的值為A.4 B.2C.8 D.68．已知函數(shù)函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則（）A.1 B.2C.-1 D.9．如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為（）A.6 B.7C.2 D.410．已知函數(shù)則值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.11．已知，設(shè)函數(shù)，的最大值為A，最小值為B，那么A＋B的值為（）A.4042 B.2021C.2020 D.202412．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是A.1 B.C. D.1+二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.）13．已知集合，則______14．已知奇函數(shù)滿(mǎn)足，，若當(dāng)時(shí)，，則______15．已知在上單調(diào)遞增，則的范圍是_____16．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0050（Ⅰ）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象．若圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求的最小值18．已知函數(shù)（1）求函數(shù)最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若對(duì)任意恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)f(x)＝a－.（1）若2f（1）＝f（2），求a的值；（2）判斷f(x)在(－∞，0)上的單調(diào)性并用定義證明.21．已知函數(shù)（，為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于不等式對(duì)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．已知函數(shù)的圖象在定義域上連續(xù)不斷.若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，恒成立，稱(chēng)函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì).（1）若滿(mǎn)足性質(zhì)，且，求的值；（2）若，試說(shuō)明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)，同時(shí)使得函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)和.（參考數(shù)據(jù)：）（3）若函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)，求證：函數(shù)存在零點(diǎn).

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】A中的最小正周期為，不滿(mǎn)足；B中是偶函數(shù)，不滿(mǎn)足；C中的最小正周期為，不滿(mǎn)足；D中是奇函數(shù)﹐且周期，令，∴，∴函數(shù)的遞增區(qū)間為，，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確.故選：D.2、C【解析】由分式函數(shù)值域的求法得：,又,所以,由高斯函數(shù)定義的理解得：函數(shù)的值域?yàn)?得解【詳解】解：因?yàn)?所以,又,所以,由高斯函數(shù)的定義可得：函數(shù)的值域?yàn)?故選C【點(diǎn)睛】本題考查了分式函數(shù)值域的求法及對(duì)新定義的理解,屬中檔題3、C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以可以取到所有非?fù)數(shù)，即的最小值非正.【詳解】因?yàn)?，且的值域?yàn)椋?，解?故選：C.4、C【解析】由題意結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定的零點(diǎn)所在的區(qū)間即可.【詳解】由題意可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，注意到，，，，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理需要注意：一是嚴(yán)格把握零點(diǎn)存在性定理的條件；二是連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分條件，而不是必要條件；三是函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)＜0，則f(x)在(a，b)上只有一個(gè)零點(diǎn).5、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】對(duì)A，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故是非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)D，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故是奇函數(shù)，但在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：C.6、D【解析】先求解選項(xiàng)中各函數(shù)的定義域，再判定各函數(shù)的單調(diào)性，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以排除選項(xiàng)B,C.因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以排除選項(xiàng)A，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)定義域時(shí)，熟記常見(jiàn)的類(lèi)型：分式，偶次根式，對(duì)數(shù)式等，單調(diào)性一般結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).7、A【解析】幾何體為一個(gè)正方體與四分之一個(gè)球的組合體,所以表面積為,選A點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用8、D【解析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，然后結(jié)合圖象即可解答.【詳解】有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，即方程有四個(gè)不同的解的圖象如圖所示，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得．因?yàn)椋?，故故選：D9、A【解析】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積；當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，計(jì)算即可得答案【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，設(shè)△ABC的面積為S，則S梯形＝S，水的體積V水＝S×AA1＝6S，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有V水＝Sh＝6S，故h＝6故選A【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)是棱柱的體積計(jì)算，考查用體積公式來(lái)求高，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】先求的范圍，再求的值域.【詳解】令，則，則，故選：C11、D【解析】由已知得，令，則，由的單調(diào)性可求出最大值和最小值的和為，即可求解.【詳解】函數(shù)令，∴，又∵在，時(shí)單調(diào)遞減函數(shù)；∴最大值和最小值的和為，函數(shù)的最大值為，最小值為；則；故選：12、C【解析】由,故選C.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.）13、【解析】∵∴，故答案為14、【解析】由，可得是以周期為周期函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)以及已知區(qū)間上的解析式可求值，從而計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋词且灾芷跒榈闹芷诤瘮?shù).為奇函數(shù)且當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，所以故答案為：15、【解析】令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分論討論函數(shù)的單調(diào)性，列出關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】令當(dāng)時(shí)，由題意知在上單調(diào)遞增且對(duì)任意的恒成立，則，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由題意知在上單調(diào)遞減且對(duì)任意的恒成立，則，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，求解時(shí)注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.16、10【解析】將原函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程或的根，再作出函數(shù)y=f(x)的圖象，借助圖象即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，亦即或的根，畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線(xiàn)，如圖所示，觀(guān)察圖象得：函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸，直線(xiàn)各有5個(gè)交點(diǎn)，則方程有5個(gè)根，方程也有5個(gè)根，所以函數(shù)的零點(diǎn)有10個(gè).故答案為：10三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得．?dāng)?shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：00500且函數(shù)表達(dá)式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得因?yàn)閷?duì)稱(chēng)中心為，令，解得，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，令，解得，．由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.考點(diǎn)：“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象，三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的性質(zhì)18、（1），單調(diào)增區(qū)間（2），【解析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，可得函數(shù)的最小正周期與的單調(diào)區(qū)間；（2）利用整體法求函數(shù)的最值.【小問(wèn)1詳解】解：，函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】，，，即，所以，.19、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)為正即可求解；(2)對(duì)任意恒有對(duì)恒成立，參變分離即可求解a的范圍.【小問(wèn)1詳解】由得，，等價(jià)于，∵方程的，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，解得，當(dāng)，即時(shí)，原不等式即為，解得且；當(dāng)，即，又，即時(shí)，方程的兩根、，∴解得或，綜上可得當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，定義域?yàn)榍?，?dāng)時(shí)，定義域?yàn)榛?；【小?wèn)2詳解】對(duì)任意恒有，即對(duì)恒成立，∴，而，在上是減函數(shù)，∴，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、（1）3（2）f(x)在(－∞，0)上是單調(diào)遞增的，證明見(jiàn)解析【解析】（1）由已知列方程求解；（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷，根據(jù)單調(diào)性定義證明；【小問(wèn)1詳解】∵2f（1）＝f（2），∴2(a－2)＝a－1，∴a＝3.【小問(wèn)2詳解】f(x)在(－∞，0)上是單調(diào)遞增的，證明如下：設(shè)x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝，∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2>0.又x1<x2，∴x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝a－在(－∞，0)上是單調(diào)遞增的.21、（1）（2）【解析】（1）將，，代入函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）對(duì)都成立，即，，令，，令，求出函數(shù)的最小值即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，即，又∵，∴，，∴，即；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，∴對(duì)都成立，即對(duì)都成立，∴，，令，，則，令，即，，∴的圖象是開(kāi)口向下且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)，∴，∴，∴的取值區(qū)間為22、（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由滿(mǎn)足性質(zhì)可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）設(shè)滿(mǎn)足，利用零點(diǎn)存在定理證明關(guān)于的方程至少有兩個(gè)解，證明至少存在兩個(gè)不等的正數(shù)，同時(shí)使得函數(shù)滿(mǎn)足性質(zhì)和；（3）分別討論，，時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性，由此完成證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闈M(mǎn)足性質(zhì)，所以對(duì)于任意的x，恒成立.又因?yàn)椋?/p>