2023年寧夏回族自治區(qū)石嘴山市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2023年寧夏回族自治區(qū)石嘴山市統(tǒng)招專開

本數(shù)學(xué)自考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.

設(shè)函數(shù)/（X）在（-8,+8）上連續(xù)，其導(dǎo)致/'（X）的圖形如圖表示，則/。）有（）

A.一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)

B.兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)

C.兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)

D.兩個極小值點(diǎn)和三個極大值點(diǎn)

2.

.L為從點(diǎn)（0.0）經(jīng)點(diǎn)（0,1）到點(diǎn)（1.1）的折線.則j「zdy+jdr=（）

A.1B.2C.0D.-1

3.

sin2x

已知函數(shù)=在x=0點(diǎn)連續(xù)，則。=（）

2x+a,x40

A.4B.2C.3D.0

4.

設(shè)之=1成工+色在點(diǎn)（l.l）處的全微分為（）

y

A.dx—3d丁B.dx4-3dj

C.-^-dx+3d〉D.-^-cLr—3dy

5.

已知函數(shù)/（X）=1?則平（即=)

A.xC.—D.4

Xx￡

微分方程y"+2y'-3y=0的通解是（）

x3xJ

A.y=Ge、*+C2eB.y=C{&~+e

-Jr-3x

C.y=￡e"+C2eD._y=e'+3e

7.

當(dāng)』一（）時.下列變量中比M高階的無窮小量是()

A.1-COSJB.sin2.r

c.yi+v_iD.tan2a

8.

微分方程里+如=0的通解是()

yx

A.x24-y=25B.3i+4y=C

c.+y=CD.y-=7

9.

lim(1+2sirur)：=(

?r-0)

A.eB.e2C.eJD.c-z

10.

設(shè)A.B均為〃階矩陣.則正確的為()

A.det（A+3）=detA+detBB.AB=BA

C.det(AB)=det(BA)D.(A-B)2=A2—2AB+B-

下列積分中，其值為零的是（

2_riex-e-x,

A.J^A/4-xdxB.------------dr

L2

C.f1(x2-3)dxD.J*sin2xdx

11.—

12.

設(shè)向量火是非齊次線性方程組的兩個解，則下列向量中仍為該方程組解

的是（）

A.ax+a2B.ax-a2C.2c(i+a2D.2ax-a2

13.

函數(shù)、y=—+ln(3+.r)的定義域?yàn)?)

X

A.(—3?+co)B.[—3?+8)

C.(一3,0)U(0,+8)D.(0.+8)

14.

設(shè)a=JbcLr,6=j/一”~也，則()

A.a=bB.a>6

C.a<bD.無法比較

15.

設(shè)FQ）是函數(shù)/（x）的一個原函數(shù).則|J/(3-2x)dx=()

A.-yF(3-2x)+CB.jF(3-2x)+C

C.2F(32x)+CD.2F(32-r)-C

16.

已知a.a：,fli.良.y都是三維列向量，且行列式Ia，—,yI=I%,良，7I=Ia3“，yI=

Ia?小I=3,則|3y,ai+a2+2fl：|=()

A.18B.-36

C.-54D.-96

17.

已知函數(shù)/(z)=cos.r在閉區(qū)間［0,2n］上滿足羅爾定理.那么在開區(qū)間(0.2“)內(nèi)使

得等式/(S)=0成立的S值是

A.yB.KC.OD.2K

18.

設(shè)曲線y=/+.r-2在點(diǎn)M處的切線斜率為3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()

A.(—2.0)B.(1,0)

C.(0,-2)D.(2,4)

19.

下列級數(shù)中發(fā)散的是()

人打B.二后叱吟

20.

.函數(shù)于(X)=lg(JW+1—才)在(—8,+8)是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

21.

若在(a,〃)內(nèi)>0./'QD>0,則在(“.〃)內(nèi)()

A.y=/Q)為凹曲線,并且單調(diào)增加B.?=/(.r)為凹曲線.并且單調(diào)減少

C.,y=/(.r)為凸曲線,并且單調(diào)減少D.y=/(X)為凸曲線.并且單調(diào)增加

22.

函數(shù)3,=更受萼N的定義域是()

■Jx—1

A.[0.2]B.(1,H-oo)C.(1,2]D.[1.2]

23.

過6軸及點(diǎn)(3.-2.4)的平面方程是()

A.31+2y=0B.2_y+z=QC2z+±=0D.2%+3y=0

24.

010、

設(shè)矩陣A=002，則行列式13Al=()

100

A.0B.-6

C.-18D.-54

25.

求函數(shù)y=1+13的拐點(diǎn)()

A.(0,0)B.(1.0)C.(0,1)D.(1.1)

26.

已知函數(shù)/Q)在區(qū)間[0,a]Q>0)上連續(xù)，八0)>0.且在(0,腦上恒有/(a)>0.

設(shè)>=1/(w)d、r?S2=a/(0),Si與52的關(guān)系是()

A.5|V§2B.S]=$2

C.S]>S2D.不確定

27.

設(shè)函數(shù)/□)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且/'(Z)=[/(公了，則廣，>(工)=()

A.B.〃[/(工)]""

C.(〃+1)[/(])尸1D.(〃+1)![/&)]田

28.

已知函數(shù)fix)=[rsinzd/.則/'(彳)=()

Jo

A.sin.rB.xcosxC.—xcosxD..rsirvr

29.

,.1

sin一

lim—：~~-=()

sinj-

A.0B.1C.8I).不存在

30.

若/（工）的一個原函數(shù)是e-",則|y（工〉dz=（）

A.efB.-2ea-C

C.-D.-#卻十C

二、填空題(20題)

微分方程中'=ycos.r的通解是

31.出

2積分廣edV發(fā)散,則0的取值范圍是

333+1+—1

1一/1一,工<0,

設(shè)/(J?)=<X在/=0處連續(xù)，則b=

工十分，1》0

34.

314

3階行列式895中元素“心=1的代數(shù)余子式為

35.111

不定積分為|1=

36.」1+作

八=尸勺,且A可逆，則A-'=_

37./刃

設(shè)/(1n.r)=jln(1+、r),則f(x)dx—

38.廣

,設(shè)/(.r)=①(1+1)1+2)…(①+2018),則/'(0)=

jyo._

40設(shè)2=€0'，則其全微分為_

微分方程(x2-l)y+2xy=cosx(x>1)的通解為y=_

lim---；---------:----=

…5f+1+-1

I4.___

43.

設(shè)型隨機(jī)變量X在區(qū)間［2,4］上服從均勻分布，則方差D(X)

(ln.r+1)&r=.

44.J____

45.

點(diǎn)—到平面￡十)+2—1=o的距離為

46.

設(shè)A為4階方陣，且IA|=a，則為其伴隨矩陣，則IA-\=

函數(shù)（/一1）二，的拉氏變換為

47.

設(shè)f(1)=JC(JC+1)(JC+2)…(n+n).則/z(0)=

48.

.函數(shù)=Insin（cos'.r）的圖像關(guān)于“為

49n.對稱

50.

三、計算題（15題）

求---?d.r.

JX\Zr2+1

51.

52.

計算二重積分11津dardy,其中D為由曲線z=v'y-1與兩直線z+y=3.》=1圍

成的平面團(tuán)區(qū)域.

=5=2.7=

了十必①.其中區(qū)域D由y及z=2所圍成.

4D

53.

54.

ln(1+ax)-八

x-arcsine

設(shè)f(z)=J6,"=。'問a為何值時，/%)在1=0連續(xù);

e"+2-1、八

------x------a--x----?r?>(.

?rsi.n—JC

4

a為何值時，2=0是/(7)的可去間斷點(diǎn).

56.

求由曲線y=M*|與直線x=，，x=e.

V=0所圍成的平面圖形的面積.

57.

?計算二重積分||(2工+，)上,其中。是由》=才=1,?=0所圍成的平面閉區(qū)域.

D

2111

計算四階行列式1211的值

1121

＜。1112

58.

=sin(9z)所確定，求生.

設(shè)二元函數(shù)z=z(x,y)由方程x+y+z

59.OX

1，「」

-r-J'--arctanrdr

求極限lim------3---------.

z-*0「尸

sin/d/

60.Jo

61.

產(chǎn)1+2.r2—J-3+.門=2,

已知線性方程組：J2.門+4.r-.門+3.r=a,當(dāng)

24a取何值時.方程組有解？并求出

I：?11+6.r：—2X3+4X4=5?

通解.

求極限lim"2(e，T^——

LO+tanr—V1+

62.

判定級數(shù)2京T的斂散性.

63.

di

jln,rlnInj""

64.*

65.

計算曲線積分電⑵y+4）&r+（5,+3工-6）打,其中L為三頂點(diǎn)分別為（0,0）.

（3.0）和（3,2）的三角形正向邊界.

四、證明題（10題）

66.

證明不等式＜片（1+3其中1＞。.

67.

設(shè)平面圖形Q由曲線z==/=與直線）=1圍成，試求:

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞彳軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

68.

證明不等式：彳＞0時，1+71n（#+，l+f）＞Ji+f.

nrb-abb-a

當(dāng)6>。>0,證明----<lnt—<------,

69.baa

70.

已知方程-.r7-.r3+.r=0有一正根.r=1.證明方程1一7/—3/+1=0

必有一個小于1的正根.

71.

設(shè)平面圖形D由曲線工=26=，一工與直線1y=1圍成，試求：

（1）平面圖形D的面積：

（2）平面圖形D繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

證明方程15—2/+工+1=0在（-1.1）內(nèi)至少有一個實(shí)根.

72.

證明當(dāng)7>0時，1+4.

73.N

74.

已知方程4.r+3T3—.r5=0有一負(fù)根.r=-2.證明方程4+—5.r1=0必有—個

大于一2的負(fù)根.

75.

設(shè)函數(shù)八1）在閉區(qū)間10*0上連續(xù)，在開區(qū)間（0.7T）內(nèi)可導(dǎo)，證明在開區(qū)間（0,￡）內(nèi)至

少存在一點(diǎn)使得/（^）sin$=—f（Qcos&

五、應(yīng)用題（10題）

平面圖形D由曲線h=石，直線）=/-2及工軸所圍成.

（1）求此平面圖形的面積；

”（2）求此平面圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

76.

已知二元蝎數(shù)二="（丁其中/（〃）為可導(dǎo)曲數(shù)，

Ia.1/.一

證明：

xrdyJ"

77.**

78.

平面圖形由拋物線=2］與垓曲線在點(diǎn)處的法線圍成.試求：

（1）該平面圖形的面積；

（2）該平面圖形繞I軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

79.

設(shè)兩拋物線y=2M,.y=3—/及i軸所圍成的平面圖形為D.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積.

80.

求曲線y=ln.r在區(qū)間（2.6）內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線x=2,x-6以及

.y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

81.

求拋懶尸上將圓y+y=8分割后形成的兩部分的面機(jī)

82.

某公司有50套公寓要出租.當(dāng)月租金定為2000元時,公寓會全部租出去，當(dāng)月租金每

增加100元時?就會多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi),試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

83.

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每多生產(chǎn)一噸該產(chǎn)品，成本增加5萬

元，該產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為火'（。）=10-0.02。，其中。（單位：噸）為產(chǎn)量.

試求：（1）該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)；

（2）該產(chǎn)品的總收入函數(shù)；

（3）。為多少時，該廠總利潤上最大？最大利潤是多少？

84.

現(xiàn)有邊長為96厘米的正方形紙板.將其四角各剪去一個大小相同的小正方形.折做成

無蓋紙箱，問剪區(qū)的小正方形邊長為多少時做成的無蓋紙箱的容積最大？

85.

求由曲線.“=2,"=/及才=4所圍成的圖形的面積，并求此圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)所得

的旋轉(zhuǎn)體的體積.

六、綜合題(2題)

86.

設(shè)/(x)對任意實(shí)數(shù)2恒有/(X4>)=/(x)./(jr),且/<0)手0,/(0)=1.

(1)證明/(x)=/(x>?

(2)求/(上).

已知曲線.y=.一，

O8/7.

求該曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程;

參考答案

1.A

積分路徑如圖所示.

z

72dly+j-dj-=jdv+vd.r+JC-d?+1ydl

?~J7a"~JTAB

=0+d①=1?

Jo

本題選A.

3.B

［答案］A

【精析】若==/(工，＞)可微.則＜k=/,(z.jOdz十/,(工.))心,

故/(z.y)=ln2工——=ln2+Injr+—.

3y

13

/,x(l,l)=—=l,/,(l,l)=~4=-3.

x(ia)J3yci.n

d?=cLr—3dy.故選A.

4.A.

5.C

【精析】因?yàn)?⑺=工，則/（十）=j所以〃/（：）］=/（：）=:，故選

A

6.A【評注】本題考查的是二階常系數(shù)微分方程的通解.

7.C

L答案」c

【精析】當(dāng)-r0時.1—cos.r?-承%蜀-懶?J.-2.、［\~~i.r3—1?-1-.r3.tan2x?.r2.

故比.產(chǎn)高階的無窮小量是JE三一1.

8.C

【精析】由蟲十/=o,得蟲=一曲，分離變量得一zd才=川門

yxyx

兩邊積分，得J/+G=；/，即/+V=C為原微分方程的通解，故應(yīng)選C.

9.B

1,12*mr.［?.Z*m~r門

lim(1+2sin.r)7=lim(1+2siru=rlim(1+2sinj)^丁=c'.

10.C

［答案］C

【精析】IA+BIWA|+iB.|ABN.4||H!BA］.故A項(xiàng)錯C項(xiàng)正確；矩

陣乘法一般不滿足交換律,即AB/K4,故B、D項(xiàng)均不正確.

11.B

B

【評注】A.定積分f,j4-分&的被積函數(shù)為j4-x2,在積分區(qū)間(-2,2)恒大于零，

所以J：石二Fdx必定大于0;B.J：三匚七的被積函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)“奇函數(shù)在

對稱區(qū)間上的定積分為零”這個性質(zhì)，可知J：W等于0；C.J：(f-3粒的被

積函數(shù)為(一一3),在積分區(qū)間上(-1Q上恒小于0,所以二(犬一3粒必定小于0；

D.「xsin2xdx的被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以fxsin2xdx=2「xsinZ?ix,因?yàn)楸环e函數(shù)

xsin2x在積分區(qū)間(0,1)上恒大于0,所以fxsin2jak必定大于0,即J：xsin2xdx必

定大于0.

12.D

解：因月(4+a?)=4al+4%=辦+辦=25,同理得

-％)=0,4(2《+%)=35,A(2a1-a^)-b.故選D.

13.C

fl片0,

由題知?要使函數(shù)有意義?則必有［即得工〉一3且才#0,故選C.

1.r+3>0,

14.A

【精析】b=f,e11--「e，d(l—〃)=-「￡d“=［'e?dw=a.

JoJIJ1Jo

故應(yīng)選A.

15.A

［答案］A

【精析】|/(3—2z)d才=—/(3—2jr)d(3—27).

W為，=F(H)+C,所以［/(3-2x)(Lr一~F(3-2x)+C.故選A.

16.C

|-3ya+5，所：+2人|37處服+2住斗『一3%.a?@+2莊=—3

,z--：)■\\...!:?:???.<.-:?',Ai.y

IWi,?！恳?：.2色|L3|八。2：?。灰?y,。？，2住I=-3|cn遇.y|一6|%,

pz?y-3a>.氏571,-6|a，仇，yI=-3X3—6X3—3X3—6X3=-54.

m.2u-

17.B

［答案］B

【精析】/(、r)=cosz,/"(i)=—sirui令/'Q)=—sin,r=0*0<.r<27r.可得

3=六?即￡=n.

18.B

匚答案1B

【精析】y=2、r+1.令y'=2；r+1=3,得1=1,所以y=0,故M(1,0).

19.C

［答案］C

【精析】C項(xiàng)中,也"1t=lim=1/0.則級數(shù)￡J是發(fā)散.故選C.

A、B項(xiàng)可用比值審斂法.lim況=p<1判斷其收斂.

?-*n?Un

n

sinTx?

D項(xiàng)用比較審斂法的極限形式.】im―J=1,￡=收斂，故￡sin二收斂.

"?1?2L占e"￡e"

20.A

［精析］八一，）=lg（"TT+1）=1g（?=21/'2+■△

（+1—1）

=1g-2］---=—lg（JF+1—X）=-f（x）,

y/x2~rl-J'

故/1）為奇函數(shù)?故應(yīng)選A.

21.A

L答案」A

【精析】f'（）>of（.r）在（”.〃）內(nèi)單調(diào)增加；/'（I）：：.0f（才）在（“.〃）內(nèi)為凹仙

線.故應(yīng)選A.

22.C

/—141-JC&1?

【精析】為使函數(shù)有意義，須有即1<工（2,故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

）.r-1>0,

（1.2J,故應(yīng)選C.

23.D

L答案」D

（精析］沒過（上釉的平面方程為，“by0.所以34一2〃0,即〃5u.取u2.

則平面方程為21?3.y。?故應(yīng)選D.

24.D

［答案］D

010

I0

【精析】13Al=3,|A|=27002=27.<-1)?(-1”十5=-54.

02

100

25.C

L答案」c

【精析】y—3M.y=6.7??令y=0.得了=0.當(dāng).r<0時?.v”<0：當(dāng)］>0時>0.

所以函數(shù)在了「0處凹I」）性改變.所以函數(shù)的拐點(diǎn)為（0.1）?故選（'.

26.C

【精析】由在（（）?4）上恒成立知/Q）在（0?a）嚴(yán)格單調(diào)增加?由題意知,存

在￡G（O.a八使得“==a?/⑷，由于0VSVa.則八。）<f⑷<f（a），

又/（0）>0,所以a-/（e）>a/（0）=立?即si>=.本題選C.

27.A

【精析】因?yàn)?'(，-)=]/(外了，所以

/'(>r)=2/(7)/'(1)=2[/'(>r)33?

_T(K)=2?3"(了)》./(j-)=2?3"(?]，

=2?3?4"(了)了?/(J)=4!"(z)了，

f'O=，：！[/(①)]'-,

故應(yīng)選A.

[答案]D

【精析】，(1)=/fZsin/d/V=j-sin.r.

28.D)

29.A

…1

jc~sm—

【精析】因?yàn)閘im—；——=limrsin—=0,故應(yīng)選A.

-0sini'LOx

30.B

[答案]B

【精析】/(x)=(eH)'=-2eH,所以(才)業(yè)=/(x)+C=-2e-2--C.

31.

5'(sin.r十(')=-1

[答案].v(sin.r+(')=-1

【精析】=vcos.r-W0-^77dv=cOK.rd.r.兩邊枳分?得一=sin.r+C?即v(sin.r-|-

d.r3ry

(')=-1.

32.

aW1

>co];co

【精析】當(dāng)a=1時,一cl.r=In.r=?。二?

i/i

?x>||；KJ

當(dāng)aW1時,一d/=-----"?當(dāng)1—a,>。?即a<Z1時,積分發(fā)散.

]x1-a]

綜匕所述.當(dāng)1時,積分發(fā)散.

33.

~2

lim,-------，---=lim-,------,

34.

］_

~2

［答案1j

【精析】由limfix)=lim------以----=《=lim/(.r)=lim(j+/?)=〃，得/>=g.

——1y*/??/

.,1?，>-*■Jr-*llJ

［答案117

34

:,2

【精析】A心=(-l)-Mt2=-.=17.

35.178J

36.

In|j-+sin.r|+C.

InI①+sin,z*1+C

dz=|-—dQ+sin①)=In|h+sin才|+C.

J1+*scin°.'r"Jz+sirLZ'

37.

【解析】A-1=6

38.

(1+ez)ln(l+eT)-eJ+C

［答案］(14-eOln(l+eJ)-e"+C

【精析】設(shè)ln.r=，,貝ijw=ef?f(t)=e/ln(1+e*).

/(J-)d.z*=e，ln(1+e*)dw=ln(1+e*)d(1+e*)

VV?

=(1+eJ)-ln(14-eJ)—je，cLr

=(l+e')ln(l+e')-e'+C.

39.

2018!

/(0)=lim/&)-/(())=hm(i+l)(z+2)…(z+2018)=2018J.

J-0JC八。

40.

dz=ye孫2(ydx+2xdy)

41.

-J--(sinx+Q

x-1

-y?—(sinx+Q

x-1

【評注】原方程化為/+-^_丁=等.，故方程的通解為

x2-lx2-l

="導(dǎo)1［等』導(dǎo)dx+J=產(chǎn)可［等e…dx+C

Jx2-lJX2-l

二7Mj篝，M+C卜用sMx+C).

42.

1

~2

lim,------，?一-=lim-,------,=

…7r-

43.

1(4一121

3解：直接由均勻分布得。(工)二\人二士

13

44.

aInx+C

(ln.r+1)(Lr=In.rda+dz=i?In,r—|d*+d.r=.rln.r-rC.

45.

|3+2—1-1|=3

距離d=二點(diǎn).

V3vzl2+12+12―￡

46.

a3

【精析】IA'|=|A|.A-1|=(|A>?|AT|=/.

47.

■■答案]?「一心+3

L"」3-1尸

【精析】L[(/-l)2eG

=L[("-2t+l)c叮

=「(〃-2f+l)c_<>_,l,d/

=(1-7+7)L-.,

『一4s+3_?<—4.v+5

(,v-I)3(s—l尸.

48.

〃！

［答案］〃！

【精析】X(0)=lim—A---』(°)=lim(.r+1)(w+2)…(1+〃)=〃!.

j-*uXz-*<)

49.

x=0()，軸)

［答案］1=0()，軸)

【精析】.7)=lnsin［cosJ(—.r)］=Insin(cos2a)=/Q),因此/(;r)為偶函數(shù)，圖

像關(guān)于1=0或y軸對稱.

50.

3

由廣義積分的定義可知d.r=limjdx=—lim32T=3.

J1A4-oeJ16-*+?o1

51.

【精析】設(shè)工、=tan/,di=sec?/dr.x/.r2+1=sec/,

I---,1d/=j-------sec2/dz=csc/d/

J/JF+］JtanfsecfJ

=InIesc/-cot/|+C

=In十1—_L+('

jrx

=ln(，3+1—1)—In|x|+C.

52.

【精析】如圖所示，由積分區(qū)域圖形可知將其看做y型

區(qū)域計算較為簡便,則積分區(qū)域可表示為1&y&2,

v-y_1《工43一?,故

1⑸郎=.力「二自

2

=|[2[(3~y)—(.y—l)[dy

第17題圖

=I-7y+10)dy=-7-ry戶y

=優(yōu)—7y+lOln川］=101n2—y.

53.

【精析】畫出積分區(qū)域。，如圖所示.

考慮到被積函數(shù)的情況，先對了積分較為簡便.

54.

【精析】(1)/(0)=6；

z]?￡(、ln(1+ax")ax"

(ZO)XlimjkJc)=rlim-------；——=lim-------：—

x

l。一,r^o-i一arcsinj-才…--arcsinx

1■3aj?'i.3?jr2

=lim------------=lim---

-r-o~]_L(Ty/],—JC~-1

A/1-

i.3aj：~「

—lim——--=—6a；

LO--J_r2

2

ar1tL,1

/D、i.一、e+-1JUJC—1

(3)lim/(i)=lvim--------x--------a-x-------=l[i?m-e-----+-------------------

LO+LO+in4--。+4-JC2

TS44

i.〃產(chǎn)+2z—a..

=lim-------------------=lim--------------

L°+JLrLO+JL

22

=2a2+4；

若f(或)在x=0處連續(xù)，應(yīng)有2a2+4=—6a=6,故a=-1；

若]=0是/(i)的可去間斷點(diǎn)，則應(yīng)有l(wèi)imf(x)=lim/(①)￥/(0),即2a2+4=

x-*0+J-*0-

—6〃W6,故a#—1,所以。=—2時，7=0是可去間斷點(diǎn).

55.

【精析】（二%）"=9口V（十丁?又級數(shù)萬（可為g=￡vi的幾何級

數(shù),收斂.

故由比較審斂法知￡（瑞7,也收斂.

56.

解：由曲線y=|lnx|與直線x=1，x=e,y=0所圍成的平面圖形的面積

e

A=J*1Inx|dx=J：(-Inx)dx+「Inxdx

ee

=-xlnx&+Jixdlnx+xlnx『+jxdlnx

=-ln-+^2+elne-x|^=2---

ccee

57.

【精析】如圖所示.區(qū)域Q可表示為｛(/.】，)!0<.r<1.05

.y4).

】?

(2.v+j?)dcr=d.r(27+v)dv

59.

解：d^y^z)=asin(^)^=cos(/&\

dxdxdxvZdx)

dz產(chǎn)cos2z)T

/.-..------------------------

dxl-xycos(xyz)

60.

1

------7'-arctanzd/

2J0______________i-arctanw

lim2lim

.r-0,jZdsiru'

sinzdz

o

i-arctan.r

lim

LQ2P

1

lim一擊

6M

11

lim

1-?O6(1)6

12-11?)19-112

【精析】n-(Ab)2_13a001-1

36-2450000，，一3

當(dāng)〃一3時,r(6)r(A)94?方程組有解?此時

19—1121■)02

B(Ab)0011-100111

0000000000

島毋

.其中息.后為任意常數(shù).

62.

3

j:(+tarur+JT

原式=lim+)

-。<\/1+tanx—十十tanz十。十/)

2%，6x2

rlim--------=Jrim——?-----

kotana，—JC.r-osecJ7—1

fir2

lim...-=o.

LOtanJT

63.

【精析】因?yàn)椋?V==士，而級數(shù)*2是。=2的.級數(shù).由比較判

別法知，所給級數(shù)是收斂的.

64.

alnjlnlnj-

65.

【精析】因?yàn)?/p>

P=2JT—y+4,Q=5y—3;r-6.

所以由格林公式得

原式=J僵-"嚴(yán)心=*did)

=4*-*3*2=12.

66.

【證明】要證rJ<ln(l+z),即證(1+父)ln(l+z)一?！怠３闪⒓纯?

1+T

設(shè)/(z)=(1+x)ln(l+工)-Z,其中z〉0,

則/'⑴=ln(l+工)+1—1=ln(l+T)>0,(J->0),

所以/(?)在［0,+8)上為單調(diào)增加函數(shù),/(1)>/(0)=0,

即當(dāng)1〉0時,(1+z)ln(l+1)—z〉0,故原不等式成立.

67.

【精析】平面圖形D區(qū)域如圖所示.

⑴s=［(2\fy—y2)d>=(2?+4-y3)=4-.

0oJoo

(2)V；=

68.

【證明】令f(jc)=1+wln(?r+\/l+x2)—，1+刀,

1H——272

/z(.7■)=ln(.?'4-7)+>r?--------,]+W----------2"=ln(.?'++刀).

T+71+x22，1+?

當(dāng)z>0時，/(H)>0,故函數(shù)/(H)在(0,+8)上單調(diào)增加，

則有/(1)>/(0)=0,即1+j-ln(j-+，1+工？)>\/1+,，得證.

69.

證明：設(shè)/(x)=lnx,則/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，故在區(qū)

間團(tuán)可上滿足拉格朗日中值定理，于是，至少存在一點(diǎn)