2022年全國甲卷數(shù)學(xué)(文科)高考真題文檔版(解析版)

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

數(shù)學(xué)（文科）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合4={-2,-1,0,1,2},8={x|0,,x<|}，則4B=（）

A.（0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在

講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.若z=l+i.則|iz+3*=（）

A.4石B.4A/2C.26D.272

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體

的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

5.將函數(shù)/（幻=4111。%+方）0>0）的圖像向左平移'個(gè)單位長度后得到曲線0若C

關(guān)于y軸對(duì)稱，則。的最小值是（）

I1cl1

A.-B.-C.-D.一

6432

6,從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

7.函數(shù)/（X）=（3X-3r）COSX在區(qū)間―三方的圖像大致為（）

X

A.—1B.--C.—D.1

22

9.在長方體ABC?！狝4G。中，已知與。與平面ABC。和平面A&gB所成的角均為

30°,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面所成的角為30°

C.AC=C4D.片。與平面所成的角為45°

10.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為27r，側(cè)面積分別為S甲和S乙，

體積分別為彩和憶若含=2,則含=（）

s乙%

A.y/5B.25/2C.\/10D.5^^

4

x2y21

11.已知橢圓c：-y+==1（。>匕>0）的離心率為一，4，4分別為C的左、右頂點(diǎn)，B

ab~3

為。的上頂點(diǎn).若34?%=—1,則。的方程為（)

222

工+匕=1D.—+/=1

322

12.已知9'〃=10,Q=l（r=一9,貝IJ（)

A.a>O>hB.a>b>0C.b>a>0D.h>O>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2。分。

13.已知向量a=（加,3）,力=（1,根+1）.若。_1_》，貝?。?%=.

14.設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y—1=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在上，則一用的方程為

15.記雙曲線C:二一與=1（。>0力>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C

a"b'

無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值.

\Q

16.已知△A5C中，點(diǎn)。在邊BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)一取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

甲、乙兩城之間的長途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行

情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)

記S,為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.已知二、+〃=24+1.

（1）證明：｛4｝是等差數(shù)列；

（2）若為，%，%成等比數(shù)列，求S“的最小值.

19.（12分）

小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面A8C。是

邊長為8（單位：cm）的正方形，AEAB,△FBC,460）,AHDA均為正三角形,且它

們所在的平面都與平面A8CD垂直.

（1）證明：防〃平面A8CD；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

20.（12分）

已知函數(shù)f（x）=xi-x,g（x）=x2+a,曲線y=/（x）在點(diǎn)處的切線也是曲線

y=g（x）的切線.

（1）若％=—1,求4:

（2）求a的取值范圍.

21.（12分）

設(shè)拋物線。：尸=2〃叱〃>0）的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)。（〃,0）,過尸的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)

直線垂直于x軸時(shí)，|”目=3.

（1）求C的方程：

（2）設(shè)直線M￡>,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,A3的傾斜角分別為

a,p.當(dāng)a-〃取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

'2+t

X~

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為'6C為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為

）=任

2+5

x=------

6（s為參數(shù)）.

(i)寫出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為

2cos6?-sin(9=0,求G與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,),c均為正數(shù)，且"+從+4。2=3,證明：

(1)a+b+2c,,3

(2)若/?=2c,則LL.3.

ac

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

數(shù)學(xué)(文科)

參考答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將

答案寫在答題卡上、寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

3

13.---##—0.75

4

14.(x-l)2+(y+l)2=5

15.2(滿足l<e〈有皆可)

16.當(dāng)一1##—］+百

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題

為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

127

17.(1)48兩家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為一，-

138

(2)有

18.(1)證明見解析；

(2)-78.

19.(1)

如圖所示:

分別取的中點(diǎn)M,N,連接MN,因?yàn)闉槿鹊恼切?，所?/p>

EM上AB,FN上BC,EM=FN,又平面EAB_L平面ABCD，平面平面

ABCD=AB,u平面EAB，所以，平面ABCD,同理可得RV_L平面ABCD,

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM//EN,而EM=FN,所以四邊形R0NR為平行四邊

形，所以EF//MN,又上戶《平面ABCD,MNu平面ABCD，所以所//平面ABCD.