信號(hào)與系統(tǒng)2 lti連續(xù)響應(yīng)

微分方程的經(jīng)典解

關(guān)于0-和0+初始值

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)§2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析第一章中我們學(xué)習(xí)到：LTI連續(xù)系統(tǒng)可用常系數(shù)線性微分方程描述。本章我們講解對(duì)系統(tǒng)的分析，也就是在建立了模型方程的基礎(chǔ)上對(duì)方程進(jìn)行求解。

由于在其分析過程中所涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故稱為時(shí)域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)設(shè)有一LTI、SISO、連續(xù)系統(tǒng)，激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為y(t)，則該系統(tǒng)可用n階常系數(shù)線性微分方程來描述微分方程的經(jīng)典解：全解=齊次解+特解。

yh(t)yp(t)y(t)1.齊次解yh(t)齊次方程→特征方程→特征根→齊次解形式（表2-1）齊次解是齊次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。其特征方程為：齊次解yh(t)的函數(shù)形式由微分方程的特征根確定。λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0步驟：P41齊次解舉例解：齊次方程為特征根對(duì)應(yīng)的齊次解為系統(tǒng)的特征方程為0待定系數(shù)根據(jù)給定的初始條件確定。2.特解yp(t)特解yp(t)的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)。由表2-2選定特解形式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。激勵(lì)f(t)響應(yīng)y(t)的特解yp(t)特解舉例如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

例：給定微分方程式(1)當(dāng)f(t)=t2，且特征根均不為0時(shí).可設(shè)特解函數(shù)式為將yp(t)代入微分方程得

解:特征根：λ=-1±j1.414等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為特解可設(shè)為yp(t)=Pet，代入差分方程后有：(2)當(dāng)f(t)=et，且α≠λ時(shí)比較等式兩端，得所以，特解為3.全解齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。全解y(t)=齊次解yh(t)+特解yp(t)由以上解題過程可見：

齊次解和特解是數(shù)學(xué)名詞，固有響應(yīng)（自由響應(yīng)）和強(qiáng)迫響應(yīng)為物理名詞。全解舉例例

描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時(shí)的全解；（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時(shí)的全解。解:

(1)特征方程為λ2+5λ+6=0特征根λ1=–2，λ2=–3。齊次解設(shè)為yh(t)=C1e–2t+C2e–3t當(dāng)f(t)=2e–t且α≠λ時(shí)，特解可設(shè)為yp(t)=Pe–t將其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得P=1于是特解為yp(t)=e–t全解為：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t

+C2e–3t

+e–t其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0（2）齊次解同上。當(dāng)f(t)=e–2t時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。故其特解設(shè)為

yp(t)=(P1t+P0)e–2t

代入微分方程有P1e-2t=e–2t得P1=1，但P0不能求得。則特解為

yp(t)=(t+P0)e–2t

全解為y(t)=yh(t)+yp(t)

=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t

=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解為y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P0=2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。二．關(guān)于0-值和0+值0+值（初始值）在t=0+時(shí)，激勵(lì)已經(jīng)接入，因而響應(yīng)y(j)(0+)既包含了系統(tǒng)的歷史信息又包含了激勵(lì)信息。因而確定解的待定系數(shù)所需的一組初始條件指的是0+值。0-值（初始狀態(tài)）在t=0-時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無關(guān)。對(duì)于具體系統(tǒng)，常常初始狀態(tài)y(j)(0-)容易給出，這樣就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得初始值y(j)(0+)。在t=0時(shí)刻，激勵(lì)f(t)接入系統(tǒng)。激勵(lì)初始狀態(tài)0-初始值0+0+00-t0-值和0+值舉例例2：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=δ’(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：將輸入f(t)=δ’(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ”(t)+δ’(t)（1）利用系數(shù)匹配法分析：（等號(hào)兩端δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等，于是上式中y”(t)中必含δ”(t)項(xiàng)，也許還會(huì)含有δ’(t)和δ(t)項(xiàng)）令y”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r0(t)，r0(t)中不含沖激

y’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+r1(t)，r1(t)=Cε(t)+r1(-1)(t)

y(t)=aδ(t)+r2(t)，r2(t)=bε(t)+r2(-1)(t)將上述關(guān)系代入式（1），并整理得aδ”(t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t)+3aδ’(t)+3bδ(t)+3r2(t)+2aδ(t)+2r3(t)=2δ”(t)+δ’(t)

比較等式兩邊沖激項(xiàng)系數(shù)，有a=2b+3a=1c+3b+2a=0解得：a=2，b=-5，c=11，y”(t)=2δ”(t)-5δ’(t)+11δ(t)+r1(t)，y’(t)=2δ’(t)-5δ(t)

+r2(t)對(duì)y”(t)從0-到0+積分得y’(0+)-y’(0-)

=11，y’(0+)=y’(0-)+11=

11對(duì)y’(t)從0-到0+積分得y(0+)-y(0-)

=-5，y(0+)=y(0-)-5=2-5=-3

零輸入響應(yīng)yzi(t)：系統(tǒng)的輸入為零，僅由初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，即yzi(t)=T[{x(0)},{0)}]。零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)：系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由輸入所引起的響應(yīng)。即yzs(t)=T[{0},{f(t)}]。在§1.6中講到，初始狀態(tài){x(0)}和輸入{f(t)}均可看作系統(tǒng)的激勵(lì)，即有y(t)=T[{x(0)},{f(t)}]。三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)y(t):

根據(jù)線性性質(zhì)，則有y(t)=yzi(t)+yzs(t)

此時(shí)，由于輸入為0，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)由于初始狀態(tài)響應(yīng)為零，故有yzs(j)(0-)=0y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)舉例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知(1)y(0-)=2，y’(0-)=1，f(t)=ε(t)；

(2)y(0+)=3，y’(0+)=1，f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：最好先求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t),因?yàn)榇藭r(shí)初始狀態(tài)為零，響應(yīng)僅由系統(tǒng)本身及激勵(lì)確定，不用涉及題干給出的初始條件。yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)

yzs(0-)=yzs’(0-)=0由于等號(hào)右端含有δ(t)，故設(shè)yzs”(t)=aδ(t)+ro(t)，從而有yzs’(t)=r1(t)，yzs(t)=r2(t)。將以上三式代入微分方程，有(由于δ(t)在t=0時(shí)刻加入，其影響已經(jīng)反映在0+值中)對(duì)t>0時(shí)，有yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6特征方程λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2可設(shè)齊次解yzsh(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t，據(jù)激勵(lì)形式，可設(shè)特解為yzsp(t)=P，代入微分方程，得P=3于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值確定待定系數(shù)得Czs1=-4,Czs2=1

yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0或?qū)憺?/p>

yzs(t)=(–4e-t+e-2t+3)ε(t)aδ(t)+[r0(t)+3r1(t)+2r2(t)]=2δ(t)+6ε(t)比較等號(hào)兩邊，可得a=2.對(duì)yzs”(t)及yzs’(t)等號(hào)兩端從0-到0+積分，得

yzs’(0+)–yzs’(0-)=a=2,yzs(0+)-yzs(0-)=0，得

yzs’(0+)=2,yzs(0+)=0

（1）yzi(t)滿足yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=1特征根為–1，–2，故設(shè)零輸入響應(yīng)為

yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

將初始值代入解得Czi1=5,Czi2=–3，代入得

yzi(t)=(5e

–t

–3e

–2t)ε(t)由上面的求解過程可見，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)僅