專題08 比例線段重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）（解析版）

專題08比例線段重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）【題型目錄】題型一比例的性質(zhì)題型二線段的比題型三成比例線段題型四由平行判斷成比例的線段題型五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值題型六黃金分割【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、線段的比與成比例線段線段的比兩條線段長(zhǎng)度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)一單位）．成比例線段四條線段、、、中，如果，那么這四條線段、、、叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．知識(shí)點(diǎn)二、比例的性質(zhì)基本性質(zhì)合比的性質(zhì)等比性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)三、黃金分割黃金分割若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，這時(shí)稱點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱為黃金比，它的值為．知識(shí)點(diǎn)四、相似圖形相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等；相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比．知識(shí)點(diǎn)五、平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推論平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵DE∥BC，∴，，【經(jīng)典例題一比例的性質(zhì)】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若，則的值為（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分別表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【詳解】解：由，，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果(其中，)，那么下列式子中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則可以變形為．分別代入各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則可以變形為．A、，，該選項(xiàng)正確，故不符合題意；B、，，該選項(xiàng)正確，故不符合題意；C、，，該選項(xiàng)正確，故不符合題意；D、，，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)未知數(shù)，把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，實(shí)現(xiàn)約分求值．3．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如果，那么＝．【答案】【分析】設(shè)，然后根據(jù)比例的性質(zhì)解三元一次方程組，最后將a、b的值代入所求解答即可．【詳解】設(shè)，則，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題集中考查了比例的基本性質(zhì)、代數(shù)式求值及三元一次方程組的解法．4．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積）可設(shè)a=2t、b=3t、c=5t．然后，將其代入a：b：c求值即可．【詳解】∵a：b=2：3，b：c=3：5，∴設(shè)a=2t、b=3t、c=5t．∴a：b：c=2t：3t：5t=2：3：5．故答案為2：3：5．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．解答此題時(shí)，利用了比例的性質(zhì)設(shè)a=2t、b=3t、c=5t，然后將其代入所求的比例式，消去未知數(shù)t．5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：a：b：c＝3：4：5（1）求代數(shù)式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【答案】（1）；（2）a=3，b=4，c=5【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）先設(shè)a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后將其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值．【詳解】（1）∵a：b：c=3：4：5，∴設(shè)a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），則；（2）設(shè)a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：9k-4k+5k=10，解得k=1．則a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡(jiǎn)便．【經(jīng)典例題二線段的比】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM⊥BC，根據(jù)勾股定理求得AM的長(zhǎng)，再根據(jù)在直角三角形的面積公式即可求得MN的長(zhǎng)．【詳解】解：連接AM，∵AB=AC，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，∴AM⊥CM（三線合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根據(jù)勾股定理得：AM===4，又S△AMC=MN?AC=AM?MC，∴MN==．故選A．【點(diǎn)睛】綜合運(yùn)用等腰三角形的三線合一，勾股定理．特別注意結(jié)論：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．2．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形紙片按照以下方法裁剪：剪去矩形邊長(zhǎng)的，邊長(zhǎng)的（稱為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（陰影部分）邊長(zhǎng)的，長(zhǎng)的（稱為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形的長(zhǎng)寬比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)原矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，以此類推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【詳解】設(shè)原矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則第一次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第二次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第三次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第四次裁剪所得矩形的長(zhǎng)為，寬為，第五次裁剪所得剩下的圖形恰好是正方形，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟悉掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）已知是線段上一點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】設(shè)AP=2x，那么PB=5x，則AB＝7x,從而求得其比值.【詳解】設(shè)AP=2x，那么PB=5x，∴AB=AP+PB=7x，∴.故答案是：.【點(diǎn)睛】運(yùn)用線段的和、差、倍、分來轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022·福建寧德·一模）在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．若點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)MN=1時(shí)，PM的長(zhǎng)是．【答案】【分析】設(shè)PM=x，根據(jù)黃金分割的概念列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】設(shè)PM=x，則PN=1-x，由得，，化簡(jiǎn)得：x2+x-1=0，解得：x1＝，x2＝（負(fù)值舍去），所以PM的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割． 5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知線段是線段、的比例中項(xiàng)，如果，，求的長(zhǎng)度．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)線段比例中項(xiàng)的定義即可得；（2）根據(jù)已知比例式、平方差公式、算術(shù)平方根求解即可得．【詳解】（1）由題意得：，即，將代入得：，解得；（2）由得：，整理得：，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段、平方差公式、算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握比例線段的定義是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三成比例線段】1．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列各組中的四條線段不是成比例線段的是（）A．a(chǎn)=1，b=1，c=1，d=1 B．a(chǎn)=1，b=2，c=2，d=4C．a(chǎn)=1，b=3，c=2，d=4 D．a(chǎn)=2，b=1，c=8，d=4【答案】C【分析】如果兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，我們就說這四條線段叫做成比例線段．【詳解】∵1×1=3×2，故選項(xiàng)A中的四條線段成比例，∵1×4=2×2，故選項(xiàng)B中的四條線段成比例，∵1×4≠2×3，故選項(xiàng)C中的四條線段不成比例，∵2×4=1×8，故選項(xiàng)D中的四條線段不成比例，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是比例線段的概念，解題關(guān)鍵是注意相乘的時(shí)候，讓最大的和最小的相乘，剩下的兩條再相乘，看它們的積是否相等．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）若線段x是3和6的比例中項(xiàng)，則x的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念，可得x2=3×6=18，依此即可求解．【詳解】∵線段的長(zhǎng)x是3和6的比例中項(xiàng)，∴x2=3×6=18，∵線段是正數(shù)，∴x=3．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了比例中項(xiàng)的定義．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握比例中項(xiàng)的定義是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）書畫經(jīng)裝裱后更便于收藏．如圖，畫心為長(zhǎng)、寬的矩形，裝裱后整幅畫為矩形，兩矩形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，且與的距離、與的距離都等于當(dāng)與的距離、與距離都等于，且矩形∽矩形，整幅書畫最美觀此時(shí)，的值為【答案】【詳解】解：由題意，，，，∵矩形∽矩形，∴，∴，解得，【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．4．（2023秋·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，設(shè)．（1）若E為的中點(diǎn)，則；（2）若，則．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】過點(diǎn)D作交于M，利用平行線分線段成比例解題即可．【詳解】解：（1）過點(diǎn)D作交于M，∵，∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，，∴，∴，（2）過點(diǎn)D作交于M，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，作輔助線構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們知道：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段，的長(zhǎng)度分別是，，那么就說兩條線段的比，如果把表示成比值，那么或．請(qǐng)完成以下問題：(1)四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．(2)已知，那么成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)如果，那么成立，詳見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)成比例線段的定義即四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段，解答即可．（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，或設(shè)比值k的方法求解即可．（3）分和兩種情況求解．【詳解】（1）根據(jù)題意，得四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．故答案為：．（2）解法1：如果，那么成立．理由：，，∴，．解法2：如果，那么成立．理由：，，即，．（3）①當(dāng)時(shí)，，，，為其中任何一個(gè)比值，即；②時(shí)，．所以或．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，等比的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用解題是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四由平行判斷成比例的線段】1．（2023秋·四川成都·九年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，直線、分別與直線、、相交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，若，，，則（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，求出，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，為邊上一點(diǎn)，過作交于，為的中點(diǎn)，作交于，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、中點(diǎn)定義及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：A、，由平行線分線段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，，，，，為的中點(diǎn)，，，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，由平行線分線段成比例定理可得，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、，由平行線分線段成比例定理可得，，由平行線分線段成比例定理可得，只有當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，由于題中并未給出相關(guān)條件，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)的定義等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線，直線m與直線、、分別交于點(diǎn)A、D、F，直線n與直線、、分別交于點(diǎn)B、C、E．若，則．

【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，解答即可．【詳解】解：直線，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)定理得出比例式，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的線段對(duì)應(yīng)成比例．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是．

【答案】6【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，結(jié)合即可得出答案．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，理解并掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵． 5．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)G在對(duì)角線上，不與點(diǎn)B，D重合，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)P，交于N，垂足為F．

(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．（用含a的式子表示）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，得出即可；（2）先證明，，得出，即可得出，根據(jù)，得出，，即可證明結(jié)論；（3）證明，得出，得出，根據(jù)，得出，即，求出，得出，根據(jù)，得出．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴；（2）證明：∵四邊形為正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練三角形全等的判定，得出，．【經(jīng)典例題五由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】1．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，三條直線，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可得，從而得到，再由，可得，最后再由可得，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,可證．同理，可得，，；由,得，于是；設(shè)，則，，，從而得．【詳解】解：過點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．設(shè)，則，∴∴．∴．∴．∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖南衡陽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖中，、為的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，則．

【答案】【分析】首先過點(diǎn)M作，交分別于K，N，由M是的中點(diǎn)與、為的三等分點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得，，，然后根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)M作，交分別于K，N，

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∵、為的三等分點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，，設(shè)，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理與比例的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2021秋·山西太原·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，，求的值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作交于，由平行線分線段成比例得到，，則，，得到，即可得到的值．【詳解】解：過點(diǎn)作交于，

∵，，∴，，∴，，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，作是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·河南南陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線、、分別截直線于點(diǎn)A、、，截直線于點(diǎn)、、，且．

(1)如果，，，求的長(zhǎng)；(2)如果，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得到，代入已知線段長(zhǎng)度即可得到的長(zhǎng)；（2）由平行線分線段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，

∵，∴，∵，，，∴，即的長(zhǎng)為；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理并找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六黃金分割】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即；如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好，若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入沿直線行走，設(shè)他至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義列式判斷即可．【詳解】解：∵滿足，則稱點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，即，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的意義，正確理解黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，線段，在線段AB上找一點(diǎn)C，C把分為和兩段，其中，若，則點(diǎn)C就叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中（或）的值叫做黃金分割數(shù)．則黃金分割數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，代入并整理得：，求出x的值，再舍去不合題意的值，最后計(jì)算比值即可．【詳解】設(shè)，則，∵，∴，整理，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．∵，∴，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割，解可化為一元二次方程的分式方程．理解黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）“黃金分割”被視為最美麗的幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見．主持人站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)的位置會(huì)更自然得體，如圖，舞臺(tái)長(zhǎng)米，C，D是線段的黃金分割點(diǎn)（即，），若主持人從舞臺(tái)黃金分割點(diǎn)C走到另一個(gè)黃金分割點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為米．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)C，D是線段的黃金分割點(diǎn)列式求解即可得到答案；【詳解】解：設(shè)，，∵C，D是線段的黃金分割點(diǎn)，，∴，，解得：，（不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割比例的運(yùn)用，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)黃金分割比例列式．4．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長(zhǎng)為10cm，則的長(zhǎng)為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義，得，構(gòu)建方程計(jì)算求解．【詳解】解：根據(jù)題意，；∴∴故舍去；∴故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割的定義，一元二次方程的求解；掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)【操作判斷】操作一：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處，折痕為，把紙片展平，連接；操作二：如圖2，將矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，得到折痕為，把紙片展平；操作三：如圖3，連接，并把折到上的處，得到折痕，把紙片展平，連接．

根據(jù)以上操作，直接寫出圖3中的值：______；(2)【問題解決】請(qǐng)判斷圖3中四邊形的形狀，并說明理由．(3)【拓展應(yīng)用】我們知道：將一條線段分割成長(zhǎng)、短兩條線段，，若，則點(diǎn)P叫做線段的黃金分割點(diǎn)．在以上探究過程中，已知矩形紙片的寬為，當(dāng)點(diǎn)M是線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)四邊形是菱形，理由見解析(3)或．【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可；（2）由折疊可知，由平行線的性質(zhì)可知，等量代換得到，則可得，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論；（3）首先求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的意義分情況列式求出，再分別求出對(duì)應(yīng)的的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知，∴，∵在矩形中，，∴，∴，故答案為：；（2）四邊形是菱形，理由：如圖3，由折疊可知：，，∵在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；（3）解：∵，∴由（1）可知，，，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)M是線段的黃金分割點(diǎn)，∴或，即或，∴或，∴或，即的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，黃金分割等知識(shí)，靈活運(yùn)用各性質(zhì)定理進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若直線，且，，則（

）

A．5 B．6C．9 D．10【答案】C【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得．【詳解】解：直線，且，，又，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，若，則長(zhǎng)為（

）

A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.5【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，又∵，∴∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列四條線段中，不能成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、，能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，不能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，E在上，且，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】取的中點(diǎn)M，連接，根據(jù)三角形中位線定理得，再根據(jù)平行線分線段成比例得，即可得出答案．【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)M，連接，∵D是邊上的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，正方形頂點(diǎn)E、F在邊上，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在內(nèi)部，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，若，，則長(zhǎng)為（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得．在和中，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論分別列出方程，即可求解．【詳解】解：正方形頂點(diǎn)E、F在邊上，點(diǎn)M在邊上，，又，．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在中，，，即，解得，，在中，，，即，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理的推論，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．6．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可用表示，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：由，得．，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為．【答案】2【分析】以為對(duì)稱軸作的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，連，依據(jù)，可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取等于號(hào)，再求得，即可得出，，再根據(jù)為等腰直角三角形，即可得到．【詳解】解：如圖所示，以為對(duì)稱軸作的對(duì)稱點(diǎn)，連，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，正方形邊長(zhǎng)為，，為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，即的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．8．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】作交于點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理可證，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：作交于點(diǎn)，

，．是的中點(diǎn)，，，．，．平分，．，在與中，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023·四川成都·?？既＃┮阎c(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】利用黃金比例列出方程解答即可．【詳解】解：點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，正確應(yīng)用黃金比是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則．

【答案】//【分析】設(shè)、交于點(diǎn)，結(jié)合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進(jìn)一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設(shè)、交于點(diǎn)，

∵，平分線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識(shí)，熟練運(yùn)用平行線分線段定理是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，求的值．【答案】【分析】根據(jù)，設(shè)每份為k，則，，．再代入分式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，設(shè)每份為k，則，，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，分式化簡(jiǎn)求值，設(shè)每份為k，得出，，是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，；，，．求的長(zhǎng)．

【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀﹫D①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)