2022年重慶高考數(shù)學(xué)英語語文試題解析

2022年重慶高考數(shù)學(xué)試題解析

1.已知集合4={-1,1,2,4},8=卜肛—1區(qū)1},則AC|8=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】求出集合8后可求AAB.

【詳解】3={x|0WxW2},故AnB={l,2},

故選：B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】(2+2i)(l-2i)=2+4—4i+2i=6-2i,

故選：D.

3.中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖

面圖，是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為票=05景=勺，景=&,￡?=%，若%1,%,%是公差為0」的等差數(shù)列，且直線

OD]￡?C]CJD]DA]

Q4的斜率為0.725,則%=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設(shè)OR=0G=CB】=BA=1,則可得關(guān)于%的方程，求出其解后可得正確的選

項(xiàng).

【詳解】設(shè)。。=DJ=CB[=BA]-1,則CC]=kx,BB}=k2,AAx=%,

DD,+CC,+BB,+蝴

依題意，有匕一0.2=人,左3-0.1=右，且=0.725,

OD,+DC,+CB}+5A,

所以05+3j-03=0725,故匕=0.9,

故選：D

4.已知a=(3,4),可=(l,0),c=a+而，若<a,c>=<瓦c>,貝也=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

,、9+3/+163+/

【詳解】解：d=（3+f,4）,cosM]=cos"以即一泄一=百，解得f=5,

故選：C

5.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有多少種O

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫趇起，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,

有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)

位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5

名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

6.角滿足sin(a+/7)+cos(a+/7)=20cos(a+?)sin/7,^J()

A.tan(?+/?)=1B.tan(a+/?)=-l

C.tan(a-￡)=lD.tan(a-4)=-l

【答案】D

【分析】由兩角和差正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】由已知得：

sinacosf3+cosasin6+cosacos￡-sinasin/3=2(cosa-sina)sin尸，

即：sinacos13—cosasin/3+cosacos/?+sintzsin/?=0,

即：sin(a-p)+cos(a-p)=0,

所以tan(a-p)=-l,

故選：D

7.正三棱臺(tái)高為1,上下底邊長分別為3g和46，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面

積是()

A.10071B.128TIC.144KD.19271

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面半徑4，與，再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑4,與，所以2/；=總一,2%=小目一，即

sin60,~sin60

彳=3,4=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,為，球的半徑為A，所以4=J/?2—9,

4=奴_16,故|4一4=1或4+4=1，即收一9一，/?2一］6=1或

,火2_9+&2_16=1，解得代=25符合題意，所以球的表面積為S=4兀火2=100兀.

故選：A.

22

8.若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/\l)=l,則工/(%)=

*=1

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(X)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的

/⑴,/(2),…,〃6)的值，即可解出.

【詳解】因?yàn)椤皒+y)+/(x—y)=/(x)/(y)，令x=i,y=?？傻茫?/p>

2/⑴=”1)/(0)，所以"0)=2,令％=0可得，/(y)+/(-y)=2〃y),即

〃>)=/(一y)，所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，令y=l得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知

/(x+2)=—/(x—l),/(x—l)=_/(%—4),故/(x+2)=/(x—4),即

〃%)=/(%+6),所以函數(shù)“X)的一個(gè)周期為6.

因?yàn)椤?)=〃1)一/(。)=1一2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的〃1)+/(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,

22

所以￡/㈤=〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=1—1—2—1=—3.

k=l

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(0<e<7t)的圖象以中心對(duì)稱，貝ij()

y=/?在(0,葛)單調(diào)遞減

A.

尸所)在(卜立兀，五1171

B.有2個(gè)極值點(diǎn)

771

C.直線x=L是一條對(duì)稱軸

6

直線y=且一X是一條切線

D.

-2

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

2兀=sin(與+夕)=0,所以4當(dāng)兀+夕=%兀，keZ,

【詳解】由題意得：f

3

4兀

即9=--—+hr,A:GZ,

又。<(p<it,所以k=2時(shí)，夕=笄2無，故/(x)=sin12x+當(dāng)).

3

LC2兀2兀3兀

時(shí),2x+—￡，由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=f(x)在

對(duì)A,當(dāng)T'T

5兀1

0,而上是單調(diào)遞減;

兀1171L小2兀715兀

對(duì)B,當(dāng)XG口寸，2工+G,由正弦函數(shù)y=sin“圖象知y=/(x)只

2'T

57r5

有1個(gè)極值點(diǎn)，由2》+2胃7r=3兀/，解得x—,即％=上為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);

1212

7兀2兀7兀771

對(duì)C,當(dāng)尤=」時(shí)-，2X+—=3TI,/(—)=0,直線光=」不是對(duì)稱軸;

6366

對(duì)D,由y'=2cos12x+g-U2兀

=-1得：cosI2x4——

2

…,rC2兀2兀--2714兀c,,~

解得2xH-F2kli或2xH-F2ATT,keZ,

3333

兀

從而得：X=E或x=—+&7t,ZwZ,

3

所以函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)(o,*)處的切線斜率為女=y'Lo=2cos笄=—1，

切線方程為：y-*=—(X—0)即y=^—X.

故選：AD.

10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),

點(diǎn)4在第一象限，點(diǎn)M(p,0),若IAFRAMI,則()

A.直線A8的斜率為26B.\OB\=\OF\

C.\AB|>4|(?F|D.ZOAM+ZOBM<1SQ°

【答案】ACD

【分析】由|A目=|40］及拋物線方程求得&子,冬)，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng);

表示出直線A8的方程，聯(lián)立拋物線求得即可求出|。目判斷B選項(xiàng)；由拋

物線的定義求出|AB|=答即可判斷C選項(xiàng)；由礪.礪<0，M4.碗<0求得NAQB,

為鈍角即可判斷D選項(xiàng).

對(duì)于A,易得F（事,0）,由|4尸|=|40|可得點(diǎn)A在用心的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)

為萬+

2-T

代入拋物線可得丁=2/?=g/,則&軍警），則直線AB的斜率為

瓜P

—_-=2\/6,A正確;

3￡_￡

42

L1P

對(duì)于B,由斜率為2娓可得直線AB的方程為尤=南＞+5,聯(lián)立拋物線方程得

212八

>~mpy~p=o.

p,則必=一也，代入拋物線得

=2p?再，

乎=B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由拋物線定義知：四=學(xué)+與+〃=答＞2，=41M,C正確;

對(duì)于D,西.麗=（,,當(dāng)）.（不一殍）=,（+殍?卜殍卜—乎＜。，則

Z4O3為鈍角,

又

麗麗=（.,冬.（_羊_爭T上第+冬卜季,率〈0,

則NAM8為鈍角，

又ZAO8+NAM8+NQ4M+NO8M=360，則NOAM+N08M<180，D正確.

故選：ACD.

11.如圖，四邊形A8CD為正方形，ED±￥?ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,記

三棱錐E-AC。，F(xiàn)-ABC,尸一ACE的體積分別為K，%,匕，貝U()

A.匕=2%B.匕=2匕

C,匕=匕+匕D.2匕=3Vl

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算X，%,連接BO交AC于點(diǎn)"，連接由

%=匕.EFM+yC-EFM計(jì)算出X,依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】

設(shè)A6=EQ=2E6=2?,因?yàn)榧?，平面A8CQ,FB\\ED,貝ij

11114

Vj=-.ED.SACD=--26Z.--（2?）-=-?\

23

^=1-Ffi-SiABC=1-?--（2a）=1a,連接80交AC于點(diǎn)M,連接易

得3O_LAC,

又平面ABC。，ACu平面ABO）,則E0J.AC,又EDC\BD=D,ED,BDu

平面BDEF，則AC,平面3。￡尸，

又BM=DM=，BD=Oa,過尸作/GJ.OE于G,易得四邊形3OGF為矩形，則

FG=BD=2y/2a,EG=a,

EM2+FM2=EF2>則EMLFM，S.EFM=GEMFM=當(dāng)。2,AC=20a，

則匕=%.EFM+%.EF”=；ACS.EFM=2a3,則2%=3匕，匕=3匕，％=■+%，故

A、B錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

12.對(duì)任意x,y,x2+y2-xy=1,則（）

A.x+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】因?yàn)橥岭姟俊大弥瓹a,blR）,由f+丁一孫=1可變形為，

\2J2

z\2

（%+?。?-1=3孫43忙上，解得一2Vx+yW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-1時(shí)，

、2J

x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

22

由f+y2一砂=1可變形為1+丫2）_]=孫4^^二，解得％2+/42,當(dāng)且僅當(dāng)

*=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以C正確；

因?yàn)?+;/一孫=1變形可得(x--+—=1>設(shè)x-2=cos6,^^y=sin。，所以

2)422-

八1?八2.

X=cos0H—產(chǎn)sin0,y=siin。，因此

X2+y2=cos?O+gsin?。+姬=sin6cos。=l+^=sin2^--cos2^+—

5633

+—sinf2^——^G—,2,所以當(dāng)％=2^.,y=—2^.時(shí)滿足等式，但是f+ybl不

33I6八3」3-3

成立，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,CT2）,且P（2<XW2.5）=0.36,則

P（X>2.5）=.

7

【答案】0.14##—.

50

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閄~N（2,b2）,所以尸（X<2）=尸（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

14.寫出曲線y=In|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：,.

【答案】①.y=L②.y=--x

ee

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為（Xo/nxo）,求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，

即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出％,即可求出切線

方程，當(dāng)》<（）時(shí)同理可得；

【詳解】解：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為（拓,In%），由y'='，所以了'憶與=’-，所以切線方程為

y-lnxo=—（x-x0）,

xo

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-In/=」■（一/）,解得Xo=e,所以切線方程為

y-l=-（x-e）,BPy=-x；

ee

當(dāng)x<0時(shí)y=ln(-x),設(shè)切點(diǎn)為(/In(一玉))，由y'=L所以所以切線

X芭

方程為)'-ln(—xj='(x-xj,

X]

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-In(一玉)=-!■(-xj,解得占=-6,所以切線方程為

x\

y-1=—(x+e),即y=--x；

-ee

故答案為：y=-x；y=-x

ee

15.已知點(diǎn)A(—2,3),5(0,a),若直線A8關(guān)于y的對(duì)稱直線與圓

(x+3)2+(y+2)2=1存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

-

【答案】m13-

【分析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于y=a對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心到直

線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：4(-2,3)關(guān)于丁=。對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為4(一2,2。-3),B(0,a)在直線y=a

上，

所以A8所在直線即為直線/，所以直線/為y=——x+a,即(a-3)x+2y-2a=0；

一2

圓C:(x+3y+(y+2)2=l,圓心。(一3,-2),半徑「=1,

\-3(a-3]-4-2a\

依題意圓心到直線/的距離d=-~]」W1,

V(?-3)+22

.13「13一

即(5—5a)~<(a—3)9+22,解得即aw；

ri3-

故答案為：

16.已知橢圓「+?=1,直線，與橢圓在第一象限交于A,3兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于

63

M,N兩點(diǎn),且|M4|=|N3|,|MN|=2jL則直線/的方程為.

【答案】x+42y-2s/2=0

【分析】令A(yù)8的中點(diǎn)為E，設(shè)A（x,,yJ,B（x2,y2）,利用點(diǎn)差法得到&在?怎8=一；，

設(shè)直線A8：y=^+〃?，k<Q,m>0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)|MN|求出2、m,

即可得解；

【詳解】解：令A(yù)B的中點(diǎn)為E，因?yàn)樗詜阿=加同，

2229

設(shè)8（孫％），則工+』-=1，MI%1

6363

所以日一互=o,即乜二Jgq)+EtMU二M.=o

663363

所以即后設(shè)直線A3:y=fcx+m,k<0,m>0,

(%-XQ)(%+%7)22

m

令元=()得y=〃2,令y=o得x=一一,即M,0,N(0,m),所以E

k

m

即Ax上一=—1，解得上=_也或％=也（舍去），

_rn_222

~2k

又|M/V|=2jL即|"N|=.+（行前=2G，解得機(jī)=2或加=一2（舍去）,

所以直線AB:y=-半x+2,即x+0y—20=O；

故答案為：x+y/2y-2yf2=0

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

17.已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且4=4

（1）證明：q=4；

（2）求集合視優(yōu)=。,“+%,14根〈500｝中元素個(gè)數(shù).

【答案】（1）證明見解析；

（2）9.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡可得加=2-2,即可解出.

【小問1詳解】

6+d_2bl=4+2d—4/?.?/

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為"‘所以'1+。-24=幽4+31）'即可解得’i=3,

所以原命題得證.

【小問2詳解】

由（I）知，偽=q='1?，所以仇=。,”+4。4X2*T=4+（/n-l）d+G,即2"T=2m，

亦即加=2"2€11,500],解得2W&K10,所以滿足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合

｛攵也=4"+4/＜加＜500｝中的元素個(gè)數(shù)為10—2+1=9.

18.記AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,其對(duì)邊分別為a,b,c,分別以。，b,c為邊長

的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S2,S3,已知S,-5,+S.=—,sinB=-.

23

（1）求AABC的面積；

5

（2）若sinAsinC=——，求從

3

【答案】（1）—

8

⑵?

【分析】（1）先表示出S,S2,S3,再由S「S2+S3=曰求得一〃=2,結(jié)合余弦

定理及平方關(guān)系求得在，再由面積公式求解即可；

（2）由正弦定理得—^—=——即可求解.

sin-8sinAsinC

【小問1詳解】

由題意得51=S邑=@°2,則

'2242434

CC,C626t2___62如

S,-S.+S,=——abl+——c=——，

1234442

即/+/一尸=2,由余弦定理得cosB=a-",整理得accos8=1,則cosB>0,

2ac

【小問2詳解】

由正弦定理得：r”=/一=—J,則

smBsinAsinC

372

2

bacac_9riub3,3.n1

sin2BsinAsinCsinAsinC&4'sin/?22"2-

T

19.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)

據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)

總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患該種疾病的

概率.(樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到

0.0001)

【答案】(1)44.65歲；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)4={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對(duì)立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【小問1詳解】

平均年齡亍=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44.65(歲).

【小問2詳解】

設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70）｝，所以

P(A)=l-P(A)=l-(0.001+0.002+0.006+0.002)xl0=l-0.11=0.89.

【小問3詳解】

設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾?。?

則由條件概率公式可得

P(C⑶=3==0.001x0.23=00014375，0.0014.

P(B)16%0.16

20.如圖，P。是三棱錐P—ABC的高，PA=PB，ABVAC,E是尸8的中點(diǎn).

（2）若NABO=NC8O=30°,PO=3,24=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

、11

（2）——

13

【分析】（1）連接80并延長交AC于點(diǎn)。，連接04、PO,根據(jù)三角形全等得到OA=OB,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=OO,即可得到。為8。的中點(diǎn)從而得到。七〃P。，即

可得證；

（2）過點(diǎn)A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值,

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；

小問1詳解】

證明：連接B。并延長交AC于點(diǎn)Q,連接Q4、PD，

因?yàn)镻O是三棱錐。一ABC的高，所以PO_L平面ABC,AO,BOu平面A8C,

所以POLAO、POA.BO,

又PA=PB，所以△尸Q43△P08，即Q4=QB,所以NQ48=NQ84，

又即/班C=90。，所以NOW+N(MD=90°,ZOBA+ZODA^90°,

所以NQa4=NQ4Z>

所以AO=￡>O,即AO=￡)O=OB,所以。為3。的中點(diǎn)，又E為尸3的中點(diǎn)，所以

OE//PD,

又。石2平面尸AC,PDu平面PAC，

所以0E〃平面P4C

【小問2詳解】

解：過點(diǎn)A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻O=3,AP=5,所以Q4=JAP?_pc>2=4,

又NO胡=NO3C=30°,所以30=204=8,則AD=4,AB=4B

所以AC=12,所以0（2百,2,0）,8（4百,0,0）,網(wǎng)2百,2,3）,C（0,12,0）,所以

則在二36,1,2,AB=（473,0,0）,AC=（0,12,0）,

_n-AE=3^x+y+-z=0

設(shè)平面AES法向量為〃=（x,y,z）,則12，令z=2,則

n?AB=4=0

丁=-3,x=0,所以〃=（0,—3,2）；

'一r3

、一—一/、比?AE=3>/3Q+/?+—c=04l

設(shè)平面AEC的法向量為加=（a,/?,c）,則v2,令〃=百，則

m-AC=12b=0

c=-6,b=0,所以初二(6,0,-6)；

—124^/3

所以小〃/--，-加-\)n=-t而n=而礪=一千

設(shè)二面角。一AE—3為。，由圖可知二面角。一AE-3為鈍二面角,

所以cos6=—迪，所以sin￡=Jl—cos2e=U

1313

故二面角C—AE—3的正弦值為口；

13

比2v2l

21.設(shè)雙曲線C:*?-方=l(q>0,b>0)的右焦點(diǎn)為22,0),漸近線方程為y=±JL：.

(1)求C的方程；

(2)過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)(占,%),。(%,％)在C上,

且%>々>。,%>0.過P且斜率為-百的直線與過。且斜率為G的直線交于點(diǎn)M,請(qǐng)

從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立:

①M(fèi)在AB上；②PQ〃4B：③|M4|=|M6|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

【答案】(1)尤2_匕=]

3

(2)見解析

【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得C的值，利用漸近線方程求得。涉的關(guān)系，進(jìn)而利用。，"C

的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；

（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M（x0,y。），由

8左2

③=等價(jià)分析得到/+%為=2=；由直線PM和QM的斜率得到直線方程，

K-D

結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率旭=也，由②PQ//AB等價(jià)轉(zhuǎn)

%

化為60=3/，由①M(fèi)在直線上等價(jià)于⑥（）=-（%—2）,然后選擇兩個(gè)作為已知條

件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.

【小問1詳解】

右焦點(diǎn)為/（2,0）,.?.c=2「.漸近線方程為y=±石x,...2=6，.?.匕=J5a，

a

??c2=a2+b2=4/=4，；?a=1，h=V3?

2

，C的方程為：％2—21=1；

3

【小問2詳解】

由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零：

若選①③推②，則M為線段AB的中點(diǎn)，假若直線A3的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱

性可知M在x軸上，即為焦點(diǎn)F,此時(shí)由對(duì)稱性可知P、。關(guān)于x軸對(duì)稱，與從而玉=々，

己知不符；

總之，直線AB的斜率存在且不為零.

設(shè)直線AB的斜率為A,直線48方程為y=《（》一2）,

則條件①M(fèi)在上，等價(jià)于%=左（與一2）000=*（七-2）；

兩漸近線的方程合并為3爐—丁=0,

聯(lián)立消去y并化簡整理得：（左2—3卜2-4公尤+4*=o

設(shè)4（七,%）,3（彳3，乂），線段中點(diǎn)為N（4，yv），則

&+Z2k2,6k

XN--~一~Ti一~^N_k?N-2）一萬~~-）

2k-3k-3

設(shè)M（Xo,%），

則條件③I=忸叫等價(jià)于（毛_%3）2+（%_%）2=5_￡）2+（為_%）2,

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

（不—Z）[2%—（七+Z）]+（y3-%）[2%—（必+”）]=0,

[2工0-（工3+*4）]+'3_）4[2%-（%+%）]=°,即/一%N+4（為一為）=°.

X3一七

8女2

即為+機(jī)=為；

由題意知直線PM的斜率為Y,直線QM的斜率為6,

...由X—%=一6（％一毛），％一%=總（％2一X。），

?'1X一%=-V3（X|+x2-2x0）,

所以直線PQ的斜率m="&=_盧（二+工2二2一）,

直線PM:y=-V3（x-x0）+y0,即y=%+6小一gx,

代入雙曲線的方程3/一y2-3=0,即（61+），）（出彳一丫）=3中,

得：（%+6%）[2②一卜o+岳。）=3,

，條件②PQ//AB等價(jià)于機(jī)=&oky0=3x0,

綜上所述：

條件①M(fèi)在AB上，等價(jià)于配=/(%—2)；

條件②PQ//AB等價(jià)于ky°=3/；

oJL2

條件③14V7|=忸閘等價(jià)于/+kyQ=

k—3

選①②推③:

2k18小

由①②解得:%=='.."。+"。=%=口？；念成立;

選①③推②:

2k2,6k2

由①③解得:

%=正萬砥氏2-3

，60=3%,.?.②成立;

選②③推①：

,6k2.「6

由②③解得：x=——

0°r一3吼=二'八E

機(jī)=/(小一2),.?.①成立.

22.已知函數(shù)/(》)=比3-61

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論A*)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<-1,求a的取值范圍;

111

(3)設(shè)〃eN*，證明:IH—/一?H1—/>ln(n+l).

JF+16+2J/+L

【答案】(1)/(X)的減區(qū)間為(7,0),增區(qū)間為(0,+8).

1

(2)a<-

2

(3)見解析

【分析】(1)求出，討論其符號(hào)后可得/(x)的單調(diào)性.

(2)設(shè)〃(x)=xe'"-e'+l,求出〃"(x),先討論a〉Q時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就

結(jié)合放縮法討論"(X)符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論〃(x)的范圍后可得參數(shù)

的取值范圍.

(3)由⑵可得小<一；對(duì)任意的石恒成立，從而可得ln(〃+l)—In”<1事=對(duì)

\ln~+n

任意的〃GN*恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x—l)e，，則/(x)=xe*,

當(dāng)x<0時(shí)，/<x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，用工)>0,

故“X)的減區(qū)間為(—8,0),增區(qū)間為(0,+8).

【小問2詳解】

設(shè)/z(x)=Ae"—ev+l,則〃(0)=0,

又/z'(x)=(l+or)e"r_e*,設(shè)g(x)=(l+(zx)e""—e',

貝|Jg'(x)=(2a+?2x)eav-ev,

若a>；,則g'(())=2a—1>0,

因?yàn)間'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在與e(0,+8),使得Vxe(O,x(J,總有g(shù)4x)>0,

故g(x)在(0,x。)為增函數(shù)，故g(x)>g(O)=。，

故/z(x)在(0,%)為增函數(shù)，故〃(力>力(。)=一1,與題設(shè)矛盾.

若0<a色，則〃'(x)=(1+辦)產(chǎn)—e'=,

下證：對(duì)任意x〉0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立，

證明：設(shè)S(x)=ln(l+x)-x,故S(x)=f--1=/<0,

故S(x)在(0,M)上為減函數(shù)，故5(x)<S(())=0即ln(l+x)<x成立.

ttr+ln(,+<u)vav+<Hrtttv

由上述不等式有e-e<e'-e=e2-e<0，

故〃'(x)WO總成立，即/z(x)在(O,+8)上為減函數(shù)，

所以/i(x)</z(O)=-1.

當(dāng)時(shí)，，有〃'(x)=em-ex+caem<1—1+0=(),

所以/z(x)在(0,+。。)上為減函數(shù),所以及(%)<力(0)=-1.

綜上，aS—.

2

【小問3詳解】

取。=g,則Vx>0,總有底；"_/+]<0成立，

令則f>1,』=e\x=21nr,

故24nf<產(chǎn)一1即對(duì)任意的f>1恒成立.

t

所以對(duì)任意的〃GN*，有21n

整理得到：ln(n+l)-ln?<1,

7n+n

故/1++…+>In2-In1+In3-In2+?

VfTT歷I77金

=ln(〃+l),

故不等式成立.

2022年重慶高考物理試題解析

1.如圖所示，吸附在豎直玻璃上質(zhì)量為m的擦窗工具，在豎直平面內(nèi)受重力、拉力和摩擦

力（圖中未畫出摩擦力）的共同作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若拉力大小與重力大小相等，方向水

平向右，重力加速度為g,則擦窗工具所受摩擦力（）

C.方向豎直向上D.方向水平向左

【答案】B

【詳解】對(duì)擦窗工具進(jìn)行正視圖的受力分析如圖所示

水平方向上拉力F與擦窗工具所受滑動(dòng)摩擦力森等大反向，豎直方向上重力mS與擦窗工

具所受靜摩擦力益等大反向，所以擦窗工具所受摩擦力方向如圖中,所示，大小為

f=J儲(chǔ)+篇=圓g

故選Bo

2.如圖為某同學(xué)采用平行板電容器測(cè)量材料豎直方向尺度隨溫度變化的裝置示意圖，電容

器上極板固定，下極板可隨材料尺度的變化上下移動(dòng)，兩極板間電壓不變。若材料溫度降低

時(shí)，極板上所帶電荷量變少，則（）

1=■~d

接外電路

I]?_I——9

—被測(cè)材料

J____L

：加熱器：

II

/）/〃〃/〃〃/，//

A.材料豎直方向尺度減小B.極板間電場(chǎng)強(qiáng)度不變

C.極板間電場(chǎng)強(qiáng)度變大D.電容器電容變大

【答案】A

【詳解】D.根據(jù)題意可知極板之間電壓U不變，極板上所帶電荷量。變少，根據(jù)電容定義

式。=尚可知電容器得電容C減小，D錯(cuò)誤；

BC.根據(jù)電容的決定式。=萬一可知極板間距d增大，極板之間形成勻強(qiáng)電場(chǎng)，根據(jù)

4ikd

E=4可知極板間電場(chǎng)強(qiáng)度E減小，BC錯(cuò)誤；

a

A.極板間距d增大，材料豎直方向尺度減小，A正確。

故選A。

3.低壓鹵素?zé)粼诩彝ル娐分惺褂脮r(shí)需要變壓器降壓。若將“12V50W”的交流鹵素?zé)糁?/p>

接通過變壓器（視為理想變壓器）接入電壓為220V的交流電后能正常工作，則（）

A.鹵素?zé)魞啥说碾妷河行е禐?&VB.變壓器原、副線圈的匝數(shù)比為

55:3

C.流過鹵素?zé)舻碾娏鳛?.24AD.鹵素?zé)舻碾娮铻?68Q

【答案】B

【詳解】A.鹵素?zé)羯蠘?biāo)記的額定電壓12V即為鹵素?zé)魞啥说碾妷河行е担珹錯(cuò)誤；

B.根據(jù)理想變壓器的原理可知

.._22055

4U、123

B正確；

C.流過鹵素?zé)舻碾娏鳛?/p>

,P50W25

I=—==—AA

U12V6

C錯(cuò)誤；

D.鹵素?zé)羰欠蔷€性元件，電阻隨著電壓不同而改變，D錯(cuò)誤。

故選Bo

4.在測(cè)試汽車的安全氣囊對(duì)駕乘人員頭部防護(hù)作用的實(shí)驗(yàn)中，某小組得到了假人頭部所受

安全氣囊的作用力隨時(shí)間變化的曲線（如圖）。從碰撞開始到碰撞結(jié)束過程中，若假人頭部

只受到安全氣囊的作用，則由曲線可知，假人頭部（）

F/N

Or/ms

A.速度的變化量等于曲線與橫軸圍成的面積B.動(dòng)量大小先增大后減小

C.動(dòng)能變化正比于曲線與橫軸圍成的面積D.加速度大小先增大后減小

【答案】D

【詳解】AB.由題知假人的頭部只受到安全氣囊的作用，則F—t圖像的面積即合外力的沖

量，再根據(jù)動(dòng)量定理可知F—t圖像的面積也是動(dòng)量的變化量，且圖線一直在t軸的上方，

則動(dòng)量的大小一直增大，AB錯(cuò)誤；

C.根據(jù)動(dòng)量與動(dòng)能的關(guān)系有紇="，而F—t圖像的面積是動(dòng)量的變化量，則動(dòng)能的變

2m

化量與曲線與橫軸圍成的面積不成正比，C錯(cuò)誤；

D.由題知假人的頭部只受到安全氣囊的作用，則根據(jù)牛頓定律可知。^尸，即假人頭部的加

速度先增大后減小，D正確。

故選D。

5.2021年中國全超導(dǎo)托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的紀(jì)錄。為粗略了解等離子體在托

卡馬克環(huán)形真空室內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀況，某同學(xué)將一小段真空室內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)理想化為方向均水

平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)(如圖)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8。若某電荷

量為q的正離子在此電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其速度平行于磁場(chǎng)方向的分量大小為V1,垂直于

磁場(chǎng)方向的分量大小為火，不計(jì)離子重力，則()

A.電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率為qEyjv；+v；B.該離子受到的洛倫茲力大小為qviB

C.V2與vi