2022年廣西貴港市中考數(shù)學試卷（含答案解析）

2022年廣西貴港市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.）每小題都給出標號為A.B.C.D.

的四個選項，其中只有一個是正確的，請考生用2B鉛筆在答題卡上將選定的答案標號涂黑.

1.（3分）-2的倒數(shù)是（）

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

【解答】解：???-2X（-1）=1,

???-2的倒數(shù)是一宗

故選：

【點評】主要考查倒數(shù)的概念及性質(zhì).倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩

個數(shù)互為倒數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（3分）一個圓錐如圖所示放置，對于它的三視圖，下列說法正確的是（）

A.主視圖與俯視圖相同B.主視圖與左視圖相同

C.左視圖與俯視圖相同D.三個視圖完全相同

【分析】根據(jù)圓錐的三視圖進行判定即可.

【解答】解：圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，

所以主視圖與左視圖相同，

故選：B.

【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，掌握各種幾何體的三視圖的形狀是正確判斷的

關(guān)鍵.

3.（3分）一組數(shù)據(jù)3,5,1,4,6,5的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.5,4.5B.4.5,4C.4,4.5D.5,5

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義直接求解即可.一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做

眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，

則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個

數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【解答】解：這組數(shù)據(jù)中5出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為5；

4+5

這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列好為：1、3、4、5、5、6,故中位數(shù)為一=4.5,

故選：A.

【點評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.

4.(3分)據(jù)報道：芯片被譽為現(xiàn)代工業(yè)的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技術(shù)，我國的

光刻技術(shù)水平已突破到28〃加.已知\nm=\09m,則28皿用科學記數(shù)法表示是()

A.28X10%B.2.8X10%c.2.8X10%D.2.8X10歸〃

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其中〃為整數(shù).確定“

的值時.，要看把原數(shù)變成。時.，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值'10時，"是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負整數(shù).

【解答】解：因為1"m=1()9根，

所以28nm=28X10-9m=2.8X10-8m.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中l(wèi)W|a|V10,”為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定。的值以及〃的值.

5.(3分)下列計算正確的是()

A.2a-a=2B.<r+b1=^b1C.(-2a)3=8a3D.(-a3)2=a6

【分析】根據(jù)合并同類項法則，可判斷A和B；根據(jù)積的乘方和幕的乘方，可判斷C和

D.

【解答】解：A、2a-a—ai故A錯誤；

B、/與房不能合并，故B錯誤；

C、(-2a)3=-8a3,故C錯誤；

D、(-a3)2=/，故。正確；

故選：D.

【點評】本題考查了合并同類項法則，積的乘方和累的乘方，根據(jù)法則計算是解題關(guān)鍵.

6.(3分)若點A(a,-1)與點8(2,6)關(guān)于y軸對稱，則a-b的值是()

A.-1B.-3C.1D.2

【分析】根據(jù)兩點關(guān)于y軸對稱的點的坐標的特點列出有關(guān)a、b的方程求解即可求得

-h的值.

【解答】解：??,點A（a,-1）與點B（2,b）關(guān)于y軸對稱，

-2,b--1,

.'.a-b—-2-（-1）=-1,

故選：A.

【點評】本題考查了關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標的知識，牢記點的坐標的變化規(guī)律是解

決此類題目的關(guān)鍵.

7.（3分）若x=-2是一元二次方程/+2x+機=0的一個根，則方程的另一個根及，”的值分

別是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【分析】設(shè)方程的另一根為。，由根與系數(shù)的關(guān)系可得到a的方程，可求得皿的值，即

可求得方程的另一根.

【解答】解：設(shè)方程的另一根為a,

-2是一元二次方程X2+2X+/M=0的一個根，

.?.4-4+m=0,

解得m=0,

則-2。=0,

解得。=0.

故選：B.

【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程0?+嬴+。=0（4之0）

的根與系數(shù)的關(guān)系為：Xl+X2=-工，Xi*X2=

8.（3分）下列命題為真命題的是（）

A.=a

B.同位角相等

C.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等

D.正多邊形都是中心對稱圖形

【分析】根據(jù)判斷命題真假的方法即可求解.

【解答】解：A.當a<0時，原式=-〃，故原命題為假命題，此選項不符合題意；

B.當兩直線平行時，同位角才相等，故原命題為假命題，此選項不符合題意;

C.三角形的內(nèi)心為三角形內(nèi)切圓的圓心，故到三邊的距離相等，故原命題為真命題，此

選項符合題意；

D.三角形不是中心對稱圖形，故原命題為假命題，此選項不符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查了真假命題的判斷，理解三角形內(nèi)心的概念是解題的關(guān)鍵.

9.（3分）如圖，。。是aABC的外接圓，AC是。。的直徑，點P在。。上，若NACB=

40°,則N8PC的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到NABC=90°,進而求出NCAB,根據(jù)圓周

角定理解答即可.

【解答】解：：AC是。。的直徑，

...N4BC=90°,

：.ZACB+ZCAB=90°,

VZACB=40°,

AZCAB=900-40°=50°,

由圓周角定理得：NBPC=/CA8=50°,

故選：C.

【點評】本題考查的是圓周角定理，掌握直徑所對?的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹C。的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為

45°,在點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,B,￡）三點在同一直線上，若AB=16機，

則這棵樹CD的高度是（）

A.8(3—\/3)mB.8(3+V3)mC.6(3-V3)mD.6(3+V3)m

【分析】設(shè)AD=x米，則80=（16-x）米，在RtZVIOC中，利用銳角三角函數(shù)的定義

求出CO的長，然后在RtZ\CDB中，利用銳角三角函數(shù)列出關(guān)于x的方程，進行計算即

可解答.

【解答】解：設(shè)A￡?=x米，

?；AB=16米，

：.BD=AB-AD=（16-x）米，

在Rt/XAQC中，ZA=45°,

：.CD=AD'tan45Q=x（米），

在RtaCDB中，ZB=60°,

.?.tan60。=番=上=a,

Ax=24-8V3,

經(jīng)檢驗：x=24-8g是原方程的根，

二8=（24-8V3）米，

這棵樹CD的高度是（24-8百）米，

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

11.（3分）如圖，在4X4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1,頂點為格點，若△ABC

的頂點均是格點，則cos/BAC的值是（）

V52V54

A.D.

55

【分析】延長AC到。，連接BQ,由網(wǎng)格可得A￡>2+BQ2=AB2,即得NAOB=90°,可

求出答案.

【解答】解：延長AC到。，連接BD,如圖:

D

'：AD2=20,BDr=5,AB2=25,

:.AD2+BD2=AB2,

：.ZADB=90°,

.AD720275

..cosZBAC=^=^=—,

故選：C.

【點評】本題考查網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形.

12.（3分）如圖，在邊長為1的菱形ABCO中，NABC=60°,動點E在AB邊上（與點4,

B均不重合），點?在對角線AC上，CE與BF相交于點G,連接AG,DF,若AF=BE,

則下列結(jié)論錯誤的是（)

A.DF=CEB./8GC=120°

2V2

C.AF1=EG*ECD.AG的最小值為三

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS證明△A。尸絲△BCE,可得。尸=CE,故A正確;

利用菱形的軸對稱知，/XHAF^^DAF,得乙4。尸=NAB凡則N8GC=180°-（NGBC+

BEEG

NGCB)=180°-ZCBE=120°,故3正確，利用△BEGs/XCEB,得一=一,且

CEBE

AF=BE,可得C正確，利用定角對定邊可得點G在以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓上運動,

連接40，交。。于G,此時4G最小，AO是BC的垂直平分線，利用含30°角的直角

三角形的性質(zhì)可得AG的最小值，從而解決問題.

【解答】解：：四邊形ABC。是菱形，/ABC=60°,

：.ZBAD=120°,BC=AD,ZDAC=1zBA￡>=60°,

NDAF=NCBE,

,：BE=AF,

：.^ADF^^BCE(SAS),

；.DF=CE,NBCE=NADF,故A正確，不符合題意；

\"AB=AD,NBAF=NDAF,AF=AF,

：./^BAF^/\DAF(SAS),

ZADF=NABF,

：.ZABF=ZBCE,

：.ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°-NCBE=120°,故B正確，不符合題

忌-?V-；

VZEBG=ZECBf/BEG=/CEB,

：?ABEGS4CEB,

.BEEG

?.—,

CEBE

:.BN=CEXEG,

"：BE=AF,

:.AF2=EG?EC,故C正確，不符合題意；

以8c為底邊，在8c的下方作等腰△OBC,使NO8C=NOCB=30°,

,.?/8GC=120°,BC=1,

點G在以。為圓心，08為半徑的圓上運動，A代----------

連接AO，交OO于G,此時AG最小，AO是8c的垂直平分線，//

,：OB=OC,NBOC=120°,/

NBCO=30。，k'、、！沙胃

I?I

/.ZACO=90°,\°/

\?

???NOAC=30°,、“-----/

：.OC=等，

...AG的最小值為4。-0C=孚，故。錯誤，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，利用定邊對定角確定點G的運動路徑是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

13.（3分）若77不1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是Q-1.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：x+l》O,

.?.X\-1,

故答案為：X》-1.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大

于或等于0是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）因式分解：cP-a=〃（〃+1）（a-1）.

【分析】原式提取。，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a（a"-1）—a（a+1）（a-1）,

故答案為：Cl（67+1）（a-1）

【點評】此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題

的關(guān)鍵.

15.（3分）從-3,-2,2這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，作為點的坐標，則該點落在第三

1

象限的概率是~.

【分析】根據(jù)第三象限的點的坐標需要選兩個負數(shù)得出結(jié)論即可.

【解答】解：???第三象限的點的坐標需要選兩個負數(shù)，

該點落在第三象限的概率是;x三="

323

故答案為：

3

【點評】本題主要考查概率的知識，根據(jù)第三象限的點的坐標需要選兩個負數(shù)計算概率

是解題的關(guān)鍵.

16.（3分）如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角a（0°<a<180°）得到△ADE,點B的

對應(yīng)點。恰好落在8。邊上,若。后，47,/。。=25°,則旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)是50°

【分析】先求出/AOE的度數(shù)，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)分析求解.

【解答】解：根據(jù)題意,

'：DE±AC,ZCAD=25°,

AZADE=90°-25°=65°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NB=NAOE,AB=AD,

:.NADB=NB=65°,

：.ZBAD=180°-65°-65°=50°,

，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是50°；

故答案為：50°.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)進行計算.

17.（3分）如圖，在。ABC。中，AO=|AB,NBA/）=45°,以點A為圓心、AD為半徑畫

弧交AB于點E,連接CE,若AB=3&,則圖中陰影部分的面積是二立

【分析】過點D作DFLAB于點F,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得DF,從而求得EB,

最后由S陰2MSoABCDBiinMDEyNBC結(jié)合扇形面積公式、平行四邊形面積公式、三角形

面積公式解題即可.

【解答】解：過點。作OFL4B于點F,

'：AD=|AB,ZBAD=45a,AB=3五,

.\AD=1x3V2=2&,

二。尸=A￡>sin45°=20義斗=2,

"：AE=AD=2>/2,

:.EB=ABYE=V2,

:?S陰影=ScA8C0-S扇形

=3夜X2-.兀篇②之_lxV2X2

3602

=5^2-it,

故答案為：5V2-n.

【點評】本題考查等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、扇形的面積公式等知識，是重

要考點，準確添加輔助線是解題關(guān)鍵.

18.（3分）已知二次函數(shù)（4#0）圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點

（-2,0）,對稱軸為直線x=—對于下列結(jié)論：①abcVO；?b2-4^（?>0；③a+b+c

=0；@an^+bm<7（。-2。）（其中加H—J）；⑤若A（xi，y\）和5（必1y2）均在該函

qz

數(shù)圖象上，且xi>x2>l，則yi>”.其中正確結(jié)論的個數(shù)共有3個.

【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個交點（-2,0）以及其對稱軸，求出拋物線與x軸的

另一個交點（1，0）,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線開口朝下，可得。<0,

進而可得〃VO,c>0,再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐條判斷即可.

【解答】解：???拋物線的對稱軸為直線*=-今且拋物線與x軸的一個交點坐標為（-2,

0）,

???拋物線與X軸的另一個坐標為（1,0）,

把（-2,0）（1,0）代入（〃W0）,可得:

(4a—2b+c=0

Q+b+c=0'

解得｛;=-2a

Aa^b+c=a+a-2a=0,故③正確；

???拋物線開口方向向下，

.'.b=a<0,c=-2a>0,

abc>0,故①錯誤；

???拋物線與x軸兩個交點，

當y=0時，方程ar2+/?x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根,

：?b1-4tzc>0,故②正確；

1

221、2

*.*atn+bm—am~+am=a（次+）

46

11i

-Qa-2b）=7（a-2。）=-r,

444

1i

；?anr9+bm—4(a-2b)=a(加+訝)9,

又,?"<(),mH—,,

：.a(w+1)2<0,

即aw?+為〃<%(a-2b)(其中〃詩一4),故④正確；

???拋物線的對稱軸為直線》=-4,且拋物線開口朝下，

.?.可知二次函數(shù)，在x>時，y隨x的增大而減小，

1

W]>X2>1>-2,

''y\<yij故⑤錯誤，

正確的有②③④，共3個，

故答案為：3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系等知識,

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8小題，滿分66分.)解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.(10分)(1)計算：I1-V3I+(2022-n)°+(-1)2-tan60°；

（2x-5<0,①

（2）解不等式組：2久一45-x—

爰.（2）

【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值解答

即可；

（2）分別解出兩個不等式，再寫出不等式組的解集即可.

【解答】解：（1）原式=百一1+1+4-遍

=4；

（2）解不等式①，得：x?,

解不等式②，得：X2-1,

不等式組的解集為-1?熱

【點評】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)塞，負整數(shù)指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)

值，解一元一次不等式組，熟練掌握相關(guān)的知識是解答本題的關(guān)鍵.

20.（5分）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：

如圖，已知線段，"，〃.求作△48C,使/A=90°,AB=m,BC=n.

Im|

I_________2___________I

【分析】先在直線/上取點A,過A點作A￡>_U,再在直線/上截取然后以8

點為圓心，〃為半徑畫弧交A。于C,則AABC滿足條件.

【解答】解：如圖，△ABC為所作.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.

21.（6分）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=1（A>0,x>0）的圖象相交于點A和點C（3,

2),與x軸的正半軸相交于點B.

(1)求女的值；

(2)連接OA,0C,若點C為線段A8的中點，求△AOC的面積.

【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出質(zhì)

(2)求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進而求出08,根據(jù)三

角形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：(1)???點C(3,2)在反比例函數(shù)y=［的圖象上，

解得：k=6；

(2)???點C(3,2)是線段A8的中點,

???點A的縱坐標為4,

，點A的橫坐標為：-=

42

3

???點A的坐標為(一，4),

2

設(shè)直線AC的解析式為：y=ax+b,

則,|a+b=4,

(3a+b=2

解得：［a=F

lb=6

，直線AC的解析式為：y=一才+6,

9

-

當y—0時,A=2

9

二08=2,

???點C是線段AB的中點，

.。1。119,9

?*S&4OC=#2x2X2X4=2,

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積公式，靈活運用

待定系數(shù)法求出直線AC的解析式是解題的關(guān)鍵.

22.（8分）在貫徹落實“五育并舉”的工作中，某校開設(shè)了五個社團活動：傳統(tǒng)國學（A）、

科技興趣（B）、民族體育（C）、藝術(shù)鑒賞（。）、勞技實踐（E）,每個學生每個學期只參

加一個社團活動.為了了解本學期學生參加社團活動的情況，學校隨機抽取了若干名學

生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信

息，解答下列問題：

條形統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖

（1）本次調(diào)查的學生共有90人:

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，傳統(tǒng)國學（A）對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是120。；

（4）若該校有2700名學生，請估算本學期參加藝術(shù)鑒賞（。）活動的學生人數(shù).

【分析】（1）用E社團人數(shù)除以20%即可得出樣本容量；

（2）用樣本容量分別減去其它社團人數(shù)，即可得出C社團人數(shù)，進而補全條形統(tǒng)計圖;

（3）用360°乘A社團人數(shù)所占比例即可得出傳統(tǒng)國學（A）對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)；

（4）利用樣本估計總體即可.

【解答】解：（1）本次調(diào)查的學生共有：18+20%=90（人），

故答案為：90；

（2）C社團人數(shù)為：90-30-10-10-18=22（人），

補全條形統(tǒng)計圖如下：

條形統(tǒng)計圖

故答案為：120。；

（4）2700X=300（名），

答：該校本學期參加藝術(shù)鑒賞（。）活動的學生人數(shù)大約有300人.

【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖的意義和制作方法，掌握兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量

關(guān)系是正確解答的前提.

23.（8分）為了加強學生的體育鍛煉，某班計劃購買部分繩子和實心球.已知每條繩子的

價格比每個實心球的價格少23元，且84元購買繩子的數(shù)量與360元購買實心球的數(shù)量

相同.

（1）繩子和實心球的單價各是多少元？

（2）如果本次購買的總費用為510元，且購買繩子的數(shù)量是實心球數(shù)量的3倍，那么購

買繩子和實心球的數(shù)量各是多少？

【分析】（1）設(shè)繩子的單價為x元，則實心球的單價為（x+23）元，根據(jù)數(shù)量=總價:

單價且84元購買繩子的數(shù)量與360元購買實心球的數(shù)量相同,列出分式方程并解答即可;

（2）設(shè)購買實心球的數(shù)量為機個，則購買繩子的數(shù)量為3加條，根據(jù)費用等于單價X數(shù)

量列出方程解答即可.

【解答】解：（1）設(shè)繩子的單價為x元，則實心球的單價為（x+23）元，

84360

根據(jù)題意，得一=一百，

xx+23

解得x=7,

經(jīng)檢驗可知x=7是所列分式方程的解，且滿足實際意義，

Ax+23=30,

答：繩子的單價為7元，實心球的單價為30元.

（2）設(shè)購買實心球的數(shù)量為俄個，則購買繩子的數(shù)量為3〃?條，

根據(jù)題意，得7X3，〃+30，"=510,

解得m—10,

=30,

答：購買繩子的數(shù)量為30條，購買實心球的數(shù)量為10個.

【點評】本題考查了分式方程和一元一次方程.，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出

分式方程和一元一次方程.

24.（8分）如圖，在△ABC中，/4CB=90°，點。是A8邊的中點，點O在AC邊上，

QO經(jīng)過點C且與AB邊相切于點E,ZFAC=

（1）求證：AF是。。的切線；

（2）若BC=6,sinB=求的半徑及OD的長.

【分析】（1）作以，垂足為，，連接OE,利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得

=CD,再通過導角得出AC是/用B的平分線，再利用角平分線的性質(zhì)可得O”=OE,

從而證明結(jié)論；

（2）根據(jù)BC=6,sinB=45,可得AC=8,AB=\0,設(shè)。。的半徑為r,則OC=OE=r,

利用RtAAOE^RtAABC,可得r的值，再利用勾股定理求出0D的長.

【解答】（1）證明：如圖，作?！贝棺銥椤ǎB接OE,

EDB

VZACB=90",。是AB的中點,

1

：.CD=AD=^AB,

：.ZCAD=ZACD,

"：ZBDC=ZCAD+ZACD=2ZCAD,

1

XVZMC=*乙BDC,

J.ZFAC^ZCAB,

即AC是/E48的平分線，

；點。在AC上，。。與48相切于點E,

：.OE±AB,且OE是。。的半徑，

：.OH=OE,04是OO的半徑，

二4尸是。。的切線；

(2)解：如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=6,sinfi=

，可設(shè)AC=4JGAB=5X9

/.(5x)2-(4x)2=62,

?\x=2,

則AC=8,48=10,

設(shè)OO的半徑為r,則OC=OE=r,

,?Rt/\AOE^Rt/^,ABC,

?OEBC

??—,

AOAB

r6

即一=—,

8-r10

?」=3,

AAE=4,

又?.?AD=5,

：.DE=\f

在RtZXODE中，由勾股定理得：OD="U.

【點評】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似

三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

79

-

25.(11分)如圖，已知拋物線y=-/+fer+c經(jīng)過A(0,3)和B(-,4

2

AB與x軸相交于點C,P是直線AB上方的拋物線上的一個動點,軸交AB于點D.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)若PE〃、軸交AB于點E,求PQ+PE的最大值；

(3)若以A,P,。為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點尸,

(2)先求出點C的坐標，然后證明RtZ^CPEsRt/viOC,再由二次函數(shù)的最值性質(zhì)，求

出答案；

(3)根據(jù)題意，可分為兩種情況進行分析：當△AOCs/XAP。時；當△AOCsa/MP

時；分別求出兩種情況的點的坐標，即可得到答案.

79

--9

【解答】解：(1)將A(0,3)和B24-x^+hx+cf

?,?該拋物線的解析式為y=-/+2/3；

7Q

(2)設(shè)直線AB的解析式為丫=履+小把A(0,3)和3(-,一會代入,

儼=3

gk+7i=一日，

解得k=4

(71=3

，直線AB的解析式為y=-|x+3,

2

當y=0時，-亍-+3=0,

解得：x=2,

；.C點坐標為(2,0),

：PO_Lx軸，PE〃x軸，

???ZACO=ZDEPf

：.Rt/\DPE^Rt/^AOC,

.PDOA3

"PE~OC~2

2

：.PE=^PDt

：.PD+PE=^PD,

設(shè)點P的坐標為（m-。2+2。+3）,則。點坐標為（a,一|a+3）,

349

---

\PD=（-，廣+2a+3）216

：.PD+PE=-f（a—62+需，

V-IR

7245

，當a=夕寸，PD+PE有最大值為不；

448

（3）①當△AOCS/\APO時，

?.?P￡>_Lx軸，ZDPA=90°,

二點P縱坐標是3,橫坐標x>0,

即-7+2x+3=3,解得x=2,

.?.點。的坐標為（2,0）；

；PO_Lx軸，

...點P的橫坐標為2,

...點P的縱坐標為：y=-22+2X2+3=3,

.?.點P的坐標為（2,3）,點。的坐標為（2,0）；

②當△AOCs/VMP時，

此時乙4PG=NAC。，

過點A作AGLPO于點G,

???MAPGsXkCO,

.PGOC

?.~,

AGAO

設(shè)點P的坐標為（/n,-m2+2m+3）,則。點坐標為（如-f/n+3）,

-7712+2T?I+3—32

則--------------=

m3

4

解得：m=W，

4435

???￡）點坐標為（一，1）,P點坐標為（一，—）,

339

435

綜上，點P的坐標為（2,3）,點。的坐標為（2,0）或夕點坐標為（-，—）,