湖南省衡陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)答案

2024屆高三11月質(zhì)量檢測?數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則1.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，?個(gè)元素，故選C.2.【答案】A【解析】，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選A.3.【答案】B【解析】當(dāng)a與b無公共點(diǎn)時(shí)，a與b可能平行或異面，反之，當(dāng)a與b是異面直線時(shí)，a與b無公共點(diǎn)，故選B.4.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，又，函?shù)為偶函數(shù).故選B.5.【答案】A【解析】由，得.又，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故選A.6.【答案】D【解析】以為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖.則從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑為線段，，.過S作，則公路距山頂?shù)淖罱嚯x為，因?yàn)椋?，故選D.7.【答案】D【解析】因?yàn)榍?，令，得，則，所以，即，所以，所以，故函數(shù)是周期為6的周期函數(shù).令，，得，則；令，，得，則.由，得，，，，所以，又，故由函數(shù)的周期性知，，故選D.8.【答案】C【解析】設(shè).因?yàn)樵谏献疃嘤袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故，所以.由得.（1）由得；（2）由得；（3）由得；（4）由得；（5）由得此時(shí)不等式組無實(shí)數(shù)解.綜上可得，故選C.9.【答案】BD【解析】對選項(xiàng)A，取，，滿足且，則，錯誤；對選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，正確；對選項(xiàng)C，，要使，即，即，錯誤；對選項(xiàng)D，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，則，正確.故選BD.10.【答案】ACD【解析】在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，由，知，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，則，當(dāng)時(shí)，，故B不正確；由，得，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選ACD.11.【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)?，，，所以，故A正確；對于B，由于，故B錯誤；對于C，因?yàn)樾∮诘乃姓鏀?shù)與均互質(zhì)，且小于的所有正奇數(shù)有個(gè)，所以，因此數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；對于D，同理，所以，令，則，故D正確，故選ACD.12.【答案】ACD【解析】是正方體的棱的中垂面與四個(gè)側(cè)面的交線，它是一個(gè)邊長為2的正方形，它的周長是8，且，，，所以A，C正確；在正方體兩側(cè)面、和上底面都是一段圓弧，它與其它三個(gè)面無公共點(diǎn).將正方體兩側(cè)面和沿展開為平面圖，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)動點(diǎn)，因?yàn)椋?，化簡得，故動點(diǎn)P在兩側(cè)面內(nèi)軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，因?yàn)椋?，所以，所以在兩?cè)面內(nèi)點(diǎn)軌跡長度為.在上底面內(nèi)，動點(diǎn)P軌跡為以為圓心的一段圓弧，如上圖，由，可知，故，又，所以，即圓弧所在圓的半徑為，所以圓弧的長為，所以動點(diǎn)P形成的軌跡的長度為，且不存在這樣的點(diǎn)P，Q，使，所以D正確，B錯誤.故選ACD.13.【答案】0【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，由已知有，，所以，，所以.14.【答案】或或（答案不唯一）【解析】由題設(shè)知，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，即兩圓外離，故共有4條公切線.又M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱，且兩圓半徑相等，則有過原點(diǎn)的兩條公切線和與平行的兩條公切線.設(shè)過原點(diǎn)的公切線為，則，可得或，所以公切線為或；設(shè)與平行的公切線為，且M，N與公切線距離都為1，則，即，所以公切線為.15.【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，，則過定點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象.由題意得得，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16.【答案】4【解析】依題意可得，，當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得.綜上可得，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根.17.【解析】（1）由題設(shè)知，.因?yàn)?，所以，?又，，故，得.……5分（2）由題意得，，，.于是，所以，，故的值是.……10分18.【解析】（1）連接交于，連接.在平行四邊形中，由于，分別是、的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）法一：由于平面，所以，.又，故可以直線，，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由于斜四棱柱的棱長均為1，所以，，，.所以，.……8分設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得令得.又由（1）知，，，所以平面.即是平面的一個(gè)法向量.……10分設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，.所以.故所求二面角的余弦值為.……12分法二：由（1）知，，又，所以平面.過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則.所以是二面角的平面角.……9分因?yàn)樵撍睦庵睦忾L為1，所以.在中，，，所以.在中，，則.故所求二面角的余弦值為.……12分19.【解析】（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動性很大，說明擬合關(guān)系較差；模型②的殘差波動性很小，基本分布在0的附近，說明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.……3分（2）（i）設(shè)，所以，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.……8分（ii）由題設(shè)可得，當(dāng)，即時(shí)，年利潤L有最大值，故該公司2028年的年利潤最大.……12分20.【解析】（1）由可得，因?yàn)?，所以，從而是?為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，所以，.……4分（2）因?yàn)?，所?……8分（3）因?yàn)?所以.即.……12分21.【解析】設(shè)a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，則.（1）在中，由余弦定理得.由，得，所以.因?yàn)?，所以，于是，?……6分（2）法一：由（1）知，.如圖，在中，過B作的垂線，且使，則，則，即，所以.于是，即.……10分令函數(shù)，，則在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí).故所求的最小值為，此時(shí)k的值為.……12分法二：由，得，即，化簡得，即，因?yàn)?，，所以，于?……10分以下同解法一……12分22.【解析】（1）由題意可知對恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.……5分（2）法一：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)x趨于0時(shí)，趨于負(fù)無窮大，且，故只有一個(gè)零點(diǎn).……7分當(dāng)時(shí)，.令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..當(dāng)x趨于0時(shí)，因?yàn)橼呌?，所以趨于正無窮大.又，所以存在，使得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，在只有一個(gè)零點(diǎn).……9分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，且x趨于正無窮大時(shí)，.所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)x趨于0時(shí)，趨于負(fù)無窮大，.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，無論k為何值，取，總能有.所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).……11分綜上所述，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).……12分法二