新北師大版八年級數(shù)學下冊全冊教案

第一章三角形的證明【單元分析】本章是八年級上冊第七章《平行線的證明》的繼續(xù)，在“平等線的證明”一章中，我們給出了8條基本事實，并從其中的幾條基本事實出發(fā)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論。運用這些基本事實和已經(jīng)學習過的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論。在這之前，學生已經(jīng)對圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系進行了大量的探索，探索的同時也經(jīng)歷過一些簡單的推理過程，已經(jīng)具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，從而為本章進一步嚴格證明三角形有關(guān)定理打下了基礎(chǔ)?！締卧繕恕?.知識與技能

（1）等腰三角形的性質(zhì)和判定定理；

（2）直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

2.過程與方法

（1）會運用等腰三角形的性質(zhì)和判定定理解決相關(guān)問題；

（2）直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單的實際問題；

3.情感態(tài)度與價值觀

（1）經(jīng)歷由情景引出問題，探索掌握有關(guān)數(shù)學知識，再運用于實踐的過程，培養(yǎng)學數(shù)學、用數(shù)學的意識與能力；

（2）感受數(shù)學文化的價值和中國傳統(tǒng)數(shù)學的成就，激發(fā)學生熱愛祖國與熱愛祖國悠久文化的思想感情。【單元重點】在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù)學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理。【單元難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學語言正確表達等?！窘虒W思路】1.對于已有命題的證明，教學過程中要注意引導學生回憶過去的探索、說理過程，從中獲取嚴格證明的思路；對于新增命題，教學過程中要重視學生的探索、證明過程，關(guān)注該命題與其他已有命題之間的關(guān)系；對于整章的命題，注意關(guān)注將這些命題納入一個命題系統(tǒng)，關(guān)注命題之間的關(guān)系，從而形成對相關(guān)圖形整體的認識。2.對于證明的方法，除了注重啟發(fā)和回憶，還應(yīng)注意關(guān)注證明方法的多樣性，力圖通過學生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適當?shù)姆椒ā?.證明過程中注意揭示蘊含其中的數(shù)學思想方法，如轉(zhuǎn)化、歸納、類比等。4.作為初中階段幾何證明的最后階段，教學中應(yīng)要求學生掌握綜合法和分析法證明命題的基本要求，掌握規(guī)范的證明表述過程，達成課程標準對證明表述的要求。【單元課時安排】課題課時1.1等腰三角形4課時1.2直角三角形2課時1.3線段的垂直平分線2課時1.4角平分線2課時回顧與思考2課時1.1等腰三角形【教學目標】

1．知識與技能

理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理。

2．過程與方法

經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。

3．情感態(tài)度與價值觀

啟發(fā)引導學生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關(guān)系?！窘虒W重點】經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)一一猜想——證明”的過程。【教學難點】用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論?！窘虒W方法】講授法【課時安排】4課時第一課時【教學目標】1．知識與技能

能夠借助數(shù)學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理。2．過程與方法

經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。3．情感態(tài)度與價值觀

啟發(fā)引導學生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關(guān)系。【教學重點】探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法?！窘虒W難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學語言正確表達等。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：回顧舊知導出公理提請學生回憶并整理已經(jīng)學過的8條基本事實中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；5.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SSS）；在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AAS），并要求學生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三角形的性質(zhì)。已知：如圖，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代換）。又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。第二環(huán)節(jié)：折紙活動探索新知在提問：“等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎(chǔ)上，讓學生經(jīng)歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進行交流，互相彌補不足?！谌h(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過程在學生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明,其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合第四環(huán)節(jié)：隨堂練習鞏固新知學生自主完成P4第2題：如圖（圖略）,在△ABD中,C是BD上的一點，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BAD的度數(shù)。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)讓學生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課本第4頁習題1.1第2、3題【板書設(shè)計】1.1等腰三角形（一）證明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代換）。又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）?！窘虒W反思】第二課時【教學目標】1．知識與技能

進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性。2．過程與方法讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。3．情感態(tài)度與價值觀

體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性?！窘虒W重點】用面積法驗證勾股定理?！窘虒W難點】用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一第二環(huán)節(jié)：自主探究在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明。你可能得到哪些相等的線段？你如何驗證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學生的自主探究和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎(chǔ)上探究出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等．并對這些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．求證：BD=CE．證法1：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)．∵∠1=EQ\F(1,2)∠ABC，∠2=EQ\F(1,2)∠ABC，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)證法2：證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠3=∠4．在△ABC和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學生思考的基礎(chǔ)上，研究課本“議一議”：在課本圖1—4的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=EQEQ\F(1,3)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,4)∠ACB呢?由此，你能得到一個什么結(jié)論?(2)如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE嗎?如果AD=EQEQ\F(1,3)AC，AE=EQEQ\F(1,3)AB呢?由此你得到什么結(jié)論?第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)提請學生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°.已知：在ΔABC中，AB=BC=AC．求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．學生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫出對于“等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°”的證明過程：第五環(huán)節(jié)：隨堂練習及時鞏固在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學生獨立完成以下練習。如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD活動意圖：在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時，進一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書寫格式。第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時小結(jié)本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課本第7頁習題1.2第2、3題【板書設(shè)計】1.2等腰三角形（二）已知：在ΔABC中，AB=BC=AC．求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．【教學反思】第三課時【教學目標】1．知識與技能

探索等腰三角形判定定理。2．過程與方法理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明。3．情感態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生的逆向思維能力?！窘虒W重點】理解等腰三角形的判定定理。【教學難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：復(fù)習引入通過問題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學生獨立思考后再進交流。問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？問題2.我們是如何證明上述定理的？問題3.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立么？如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等？第二環(huán)節(jié)：逆向思考，定理證明教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學結(jié)論的一條途徑．例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?[生]如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了．[師]你是如何想到的?[生]由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個全等的三角形．[師]很好．同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后分組討論．[生]我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把△ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)龋驗槲覀兊玫降臈l件是兩個三角形對應(yīng)兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的．后兩種方法是可行的．[師]那么就請同學們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來．(教師可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)[師]我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊．我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學語言的對稱美．第三環(huán)節(jié)：鞏固練習將書中的隨堂練習提前到此，是為了及時鞏固判定定理。引導學生進行分析。已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠2=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角對等邊)．第四環(huán)節(jié)：適時提問導出反證法我們類比歸納獲得一個數(shù)學結(jié)論，“反過來”思考問題也獲得了一個數(shù)學結(jié)論．如果否定命題的條件，是否也可獲得一個數(shù)學結(jié)論嗎?我們一起來“想一想”：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學生提出：“我認為這個結(jié)論是成立的．因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn)，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等．但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的條件和結(jié)論都是否定的．”的確如此．像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?我們來看一位同學的想法：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與Ac要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角．引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法．接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，最后結(jié)合實例了解了反證法的含義．第五環(huán)節(jié)：拓展延伸活動過程與效果：在一節(jié)課結(jié)束之際，為培養(yǎng)學生思維的綜合性、靈活性特安排了2個練習。一個是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長。另一個是一個開放性的問題，考察學生多角度多維度思考問題的能力。學生在獨立思考的基礎(chǔ)上再小組交流。NMCBAD1.如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠NMCBAD2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)?第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)（1）本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？（3）結(jié)合本節(jié)課的學習，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系．（4）舉例談?wù)動梅醋C法說理的基本思路第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)【板書設(shè)計】1.1等腰三角形（三）已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(兩直線平行，同位角相等)，∠2=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角對等邊)．【教學反思】第四課時【教學目標】1．知識與技能理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。2．過程與方法經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維。3．情感態(tài)度與價值觀

在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心?！窘虒W重點】等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明。【教學難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用?！窘虒W過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。開門見山，引入新課，同時回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊。(教師應(yīng)給學生自主探索、思考的時間)第二環(huán)節(jié)：自主探索學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結(jié)論，教師適時要求學生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結(jié)出下表：性質(zhì)判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°等邊三角形三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形經(jīng)歷定理的探究過程，即明確有關(guān)定理，同時提高學生的自主探究能力。第三環(huán)節(jié)：實際操作提出問題活動內(nèi)容：教師直接提出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由．讓學生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=EQ\F(1,2)AB．分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.延長BC至D，使CD=BC，連接AD(如圖所示)．∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC=EQ\F(1,2)BD=EQ\F(1,2)AB．第四環(huán)節(jié)：變式訓練鞏固新知直接提請學生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°嗎?如果是，請你證明它．在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=EQ\F(1,2)AB．求證：∠BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=EQ\F(1,2)BD．又∵BC=EQ\F(1,2)AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運用所學的新定理解答例題。等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一個外角，而∠DAC=×15°=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=EQ\F(1,2)AC=EQ\F(1,2)×2a=a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．第五環(huán)節(jié)：暢談收獲課時小結(jié)讓學生對課堂學習進行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識、結(jié)論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)【板書設(shè)計】1.1等腰三角形（四）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=EQ\F(1,2)AB．求證：∠BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=EQ\F(1,2)BD．又∵BC=EQ\F(1,2)AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．【教學反思】1.2直角三角形【教學目標】

1．知識與技能

（1）掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題。（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立。

2．過程與方法

（1）進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維．（2）進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力。

3．情感態(tài)度與價值觀

體驗生活中的數(shù)學的應(yīng)用價值，感受數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學生學數(shù)學、用數(shù)學的興趣?！窘虒W重點】掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法?！窘虒W難點】應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題?！窘虒W方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學目標】1．知識與技能掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法。2．過程與方法進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維。3．情感態(tài)度與價值觀

在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心?！窘虒W重點】掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法?！窘虒W難點】結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課通過問題1，讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。[問題1]一個直角三角形房梁如圖所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長是多少?B1C1呢?解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，∴BC＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)×10＝5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°又∵∠A+∠B＝90°∴∠BCB1＝∠A＝30°在Rt△ACB1中，BB1＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)×5＝EQ\F(5,2)cm＝2．5cm．∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5(cm)．∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°∴B1C1＝EQ\F(1,2)AB1＝EQ\F(1,2)×7.5＝3.75(cm)．解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30°角的直角三角形的性質(zhì)”．由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請同學們打開課本P18，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導出的定理，證明勾股定理的方法．第二環(huán)節(jié)：講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學課后閱讀．（1）．勾股定理及其逆定理的證明．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：延長CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，連接ED、AE(如圖)，則△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．∴四邊形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝EQ\F(1,2)(a+b)(a+b)＝EQ\F(1,2)(a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB＝BE．∴S△ABE＝EQ\F(1,2)c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴EQ\F(1,2)(a+b)2＝EQ\F(1,2)c2+EQ\F(1,2)ab+EQ\F(1,2)ab,即EQ\F(1,2)a2+ab+EQ\F(1,2)b2＝EQ\F(1,2)c2+ab,∴a2+b2＝c2教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強調(diào)．具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結(jié)論．你能證明此結(jié)論嗎?師生共同來完成．已知：如圖：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求證：△ABC是直角三角形．分析：要從邊的關(guān)系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC與一個直角三角形全等，而得到∠A與對應(yīng)角(構(gòu)造的三角形的直角)相等，可證．證明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如圖)，則A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對應(yīng)角相等)．因此，△ABC是直角三角形．總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．（2）．互逆命題和互逆定理．觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學習中還有類似的命題嗎?通過觀察，學生會發(fā)現(xiàn)：上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件．這樣的情況，在前面也曾遇到過．例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”．又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”．交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”。第三環(huán)節(jié)：議一議觀察下面三組命題：學生以分組討論形式進行，最后在教師的引導下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€命題寫出“如果……；那么……”的形式，以及能夠?qū)懗鲆粋€命題的逆命題?；顒又?，教師應(yīng)注意給予適度的引導，學生若出現(xiàn)語言上不嚴謹時，要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結(jié)?；顒訒r可以先讓學生觀察下面三組命題：如果兩個角是對頂角，那么它們相等．如果兩個角相等，那么它們是對頂角．如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒．如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的邊所對的角相等．三角形中相等的角所對的邊相等．上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流．不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，第二個命題的結(jié)論是第一個命題的條件．在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題．再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題．請同學們判斷每組原命題的真假．逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題．在第三組中，原命題和逆命題都是真命題．由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題．第四環(huán)節(jié)：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題．請學生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導學生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎?并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理．能舉例說出我們已學過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”．“全等三角形對應(yīng)邊相等”和“三邊對應(yīng)相等的三角形全等”、“等邊對等角”和“等角對等邊”等．第五環(huán)節(jié)：隨堂練習說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假;(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補；(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0[分析]互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應(yīng)不會有什么困難，尤其是對以“如果……那么……”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難．可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題．解：(1)多邊形是四邊形．原命題是真命題，而逆命題是假命題．(2)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．原命題與逆命題同為正．(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命題是假命題，而逆命題是真命題．第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發(fā)展了演繹推理能力．第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習題1．5第1、2、3、4題【板書設(shè)計】1.2直角三角形（一）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：延長CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，連接ED、AE(如圖)，則△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．∴四邊形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝EQ\F(1,2)(a+b)(a+b)＝EQ\F(1,2)(a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB＝BE．∴S△ABE＝EQ\F(1,2)c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴EQ\F(1,2)(a+b)2＝EQ\F(1,2)c2+EQ\F(1,2)ab+EQ\F(1,2)ab,即EQ\F(1,2)a2+ab+EQ\F(1,2)b2＝EQ\F(1,2)c2+ab,∴a2+b2＝c2【教學反思】第二課時【教學目標】1．知識與技能能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進一步理解證明的必要性。2．過程與方法進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維。3．情感態(tài)度與價值觀

進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力?！窘虒W重點】能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理?！窘虒W難點】進一步理解證明的必要性?！窘虒W過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：復(fù)習提問1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同學們相互交流。3、有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？請證明你的結(jié)論。我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角”。那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明“等邊對等角”．要求學生完成，一位學生的過程如下：已知：在△ABC中，AB=AC．求證：∠B=∠C．證明：過A作AD⊥BC，垂足為C，∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）在實際的教學過程中，有學生對上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點在于“在證明△ABD≌△ACD時，用了“兩邊及其中一邊的對角對相等的兩個三角形全等”．而我們在前面學習全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的．可以畫圖說明．(如圖所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD與△ABC不全等)”．也有學生認同上述的證明。教師順水推舟，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的邊即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．”，從而引入新課。第二環(huán)節(jié)：引入新課（1）．“HL”定理．由師生共析完成已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′證明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△A'B'C'中，A'C'=A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)．教師用多媒體演示：定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示．從而肯定了第一位同學通過作底邊的高證明兩個三角形全等，從而得到“等邊對等角”的證法是正確的．練習：判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；(3)兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；(4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．對于（1）、（2）、（3）一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題（4），學生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支持，教師引導學生證明．已知：R△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BD—B'D'(如圖)．求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．證明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C'(HL定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵BC=B'C'，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．通過上述師生共同活動，學生板書推理過程之后可發(fā)動學生去糾錯，教師最后再總結(jié)。第三環(huán)節(jié)：做一做問題你能用三角尺平分一個已知角嗎?請同學們用手中的三角尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語言清楚表達自己的想法．（設(shè)計做一做的目的為了讓學生體會數(shù)學結(jié)論在實際中的應(yīng)用，教學中就要求學生能用數(shù)學的語言清楚地表達自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。）第四環(huán)節(jié)：議一議如圖，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，還需要什么條件?把它們分別寫出來．這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的基礎(chǔ)上，通過同學之間的交流，獲得各種不同的答案．(教師一定要提供時間和空間，讓同學們認真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))第五環(huán)節(jié)：例題學習如圖，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分別分別是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求證：△ABC≌△A'B'C'．分析：要證△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到條件：一組邊AC=A'C'，一組角∠ACB=∠A'C'B'．如果尋求∠A=∠A'，就可用ASA證明全等；也可以尋求么∠B=∠B'，這樣就有AAS；還可尋求BC=B'C'，那么就可根據(jù)SAS．……注意到題目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．觀察圖形，這里有三對三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此證明∠A=∠A'就可行．證明：∵CD、C'D'分別是△ABC△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的對應(yīng)角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已證)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等．而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學們演繹推理的能力．同學們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚廣大．第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)習題1．6第3、4、5題【板書設(shè)計】1.2直角三角形（二）已知：R△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BD—B'D'(如圖)．求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．證明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C'(HL定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵BC=B'C'，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．【教學反思】1.3線段的垂直平分線【教學目標】1．知識與技能

證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理.2．過程與方法

經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明能力．豐富對幾何圖形的認識。3．情感態(tài)度與價值觀

通過小組活動，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。【教學重點】運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題。【教學難點】垂直平分線的性質(zhì)定理在實際問題中的運用?！窘虒W方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學目標】1．知識與技能

能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點。2．過程與方法

經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出符合條件的三角形。3．情感態(tài)度與價值觀

學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果?！窘虒W重點】探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法?！窘虒W難點】明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學語言正確表達等?！窘虒W過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強調(diào)這幾個字在題中有很重要的作用．線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成．進一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎?”第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明教師鼓勵學生思考，想辦法來解決此問題。通過討論和思考，引導學生分析并寫出已知、求證的內(nèi)容。已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點．求證：PA=PB．分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等．證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)．；∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．教師用多媒體完整演示證明過程．第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?這個命題不是“如果……那么……”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果……那么……”的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵學生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”．結(jié)論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”．此時，逆命題就很容易寫出來．“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．”寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．引導學生分析證明過程，有如下四種證法：證法一：已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB．求證：P點在AB的垂直平分線上．證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P點在AB的垂直平分線上．證法二：取AB的中點C，過PC作直線．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P點在AB的垂直平分線上．證法三：過P點作∠APB的角平分線．∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P點在線段AB的垂直平分線上．證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分線上．從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用在做完性質(zhì)定理和判定定理的證明以后，引導學生進行總結(jié)：（1）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合。（2）到一條線段兩個端點的距離相等個點在這條線段的垂直平分線上．因此只需做出這樣的兩個點即可做出線段的垂直平分線。例題：已知：如圖1-18，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC。．證明：∵AB=AC，∴點A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點O在線段BC的垂直平分線上.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）.學生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導學生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習課本P23；習題1.7：第1、2題第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學習你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習題l.7第3、4題【板書設(shè)計】1.3線段的垂直平分線（一）已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB．求證：P點在AB的垂直平分線上．證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，【教學反思】第二課時【教學目標】1．知識與技能

能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點。2．過程與方法經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力．體驗解決問題的方法，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新意識。3．情感態(tài)度與價值觀

體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性?！窘虒W重點】能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論?！窘虒W難點】證明三線共點?！窘虒W過程】教學過程教學隨筆一、情景引入教師提問：“[利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，當作完此題時你發(fā)現(xiàn)了什么?(教師可用多媒體演示作圖過程)”“三角形三邊的垂直平分線交于一點．”、“這一點到三角形三個頂點的距離相等．”等都是學生可以發(fā)現(xiàn)的直觀性質(zhì)。下面請同學們剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流．教師質(zhì)疑：“這只是用我們的眼睛觀察到的，看到的一定是真的嗎？我們還需運用公理和已學過的定理進行推理證明，這樣的發(fā)現(xiàn)才更有意義．”這節(jié)課我們來學習探索和線段垂直平分線有關(guān)的結(jié)論．上述活動中，教師要注意多畫幾種特殊的三角形讓學生親自體驗和觀察結(jié)論的正確性。二、例題解析（1）教師引導學生分析，尋找證明方法。我們要從理論上證明這個結(jié)論，也就是證明“三線共點”，但這是我們沒有遇到過的．不妨我們再來看一下演示過程，或許你能從中受到啟示．通過演示和啟發(fā)，引導學生認同：“兩直線必交于一點，那么要想證明‘“三線共點’，只要證第三條直線過這個交點或者說這個點在第三條直線上即可．”雖然我們已找到證明“三線共點”的突破口，詢問學生如何知道這個交點在第三邊的垂直平分線上呢?師生共析，完成證明（2）討論結(jié)束后，學生書寫證明過程。教師點評，注意幾何符號語言的規(guī)范性。已知：在△ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點P，連接AP，BP，CP．求證：P點在AC的垂直平分線上．證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)．同理PB=PC．∴PA=PC．∴P點在AC的垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點.在這條線段的垂直平分線上)．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點P．進一步設(shè)問：“從證明三角形三邊的垂直平分線交于一點，你還能得出什么結(jié)論?”（交點P到三角形三個頂點的距離相等．）（3）多媒體演示我們得出的結(jié)論：定理三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?(2)已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?(3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個?學生通過小組討論，并嘗試作出草圖，驗證自己的結(jié)論。由學生思考可得：(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，能作出三角形，并且能作出無數(shù)多個，如下圖：已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h_()__()_1_A_D_C_B_A_a_h從上圖我們會發(fā)現(xiàn)，先作已知線段BC=a；然后再作BC邊上的高h，但垂足不確定,我們可將垂足取在線段BC上或其所在直線上的任意一點D，過此點作BC邊的垂線，最后以D為端點在垂線上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，連接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都滿足條件，所以這樣的三角形有無數(shù)多個．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．（見幾何畫板課件）(2)如果已知等腰三角形的底邊，用尺規(guī)作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因為只要作已知等腰三角形底邊的垂直平分線，取它上面的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形．另外有學生補充：“不是底邊垂直平分線上的任意一點都滿足條件，如底邊的中點在底邊上，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)將這一點從底邊的垂直平分線上挖去．”（3）如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形應(yīng)該只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．（5）例題學習已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形．已知：線段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作線段Bc的垂直平分線MN交BC于D點；3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點；4．連接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如圖所示)．（6）做一做：課本第25頁：教師引導學生分析作出草圖，注意對學生作法敘述的準確性加以更正。四、動手操作（1）例題：已知直線l和l上一點P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P.學生先獨立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由。（2）拓展：如果點P是直線l外一點，那么怎樣用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P呢？說說你的作法，并與同伴交流.五、隨堂練習:：習題1.8第1、2題。六、課時小結(jié)本節(jié)課通過推理證明了“到三角形三個頂點距離的點是三角形三條邊的垂直平分線的交點，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點”的結(jié)論，并能根據(jù)此結(jié)論“已知等腰三角形的底和底邊的高，求作等腰三角形”．七、課后作業(yè)習題1．8第3、4題【板書設(shè)計】1.3線段的垂直平分線（二）定理三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因為只要作已知等腰三角形底邊的垂直平分線，取它上面的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形．【教學反思】1.4角平分線【教學目標】1．知識與技能

會證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。2．過程與方法

經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明能力．豐富對幾何圖形的認識。3．情感態(tài)度與價值觀

通過小組活動，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果?！窘虒W重點】運用幾何符號語言證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆命題?！窘虒W難點】角平分線的性質(zhì)定理在實際問題中的運用?！窘虒W方法】講授法【課時安排】2課時第一課時【教學目標】1．知識與技能

會證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。2．過程與方法

進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力，培養(yǎng)學生將文字語言．轉(zhuǎn)化為符號語言、圖形語言的能力。3．情感態(tài)度與價值觀

經(jīng)歷探索，猜想，證明使學生掌握研究解決問題的方法?！窘虒W重點】正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明?！窘虒W難點】正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明?！窘虒W過程】教學過程教學隨筆一、情境引入我們曾用折紙的方法探索過角平分線上的點的性質(zhì)，步驟如下：從折紙過程中，我們可以得出CD=CE，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等．你能證明它嗎?二、探究新知（1）引導學生證明性質(zhì)定理請同學們自己嘗試著證明上述結(jié)論，然后在全班進行交流．已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．求證：PD=PE．證明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．(教師在教學過程中對有困難的學生要給以指導)我們用公理和已學過的定理證明了我們折紙過程中得出的結(jié)論．我們把它叫做角平分線的性質(zhì)定理。(用多媒體演示)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．（2）你能寫出這個定理的逆命題嗎?我們在前面學習線段的垂直平分線時，已經(jīng)歷過構(gòu)造其逆命題的過程，我們可以類比著構(gòu)造角平分線性質(zhì)定理的逆命題．引導學生分析結(jié)論后完整地敘述出角平分線性質(zhì)定理的逆命題：在一個角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上．它是真命題嗎?你能證明它嗎?沒有加“在角的內(nèi)部”時，是假命題．(由學生自己獨立思考完成，在全班討論交流，對困難學生可個別輔導)證明如下：已知：在么AOB內(nèi)部有一點P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點P在么AOB的角平分線上．證明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．逆命題利用公理和我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個逆命題叫做原定理的逆定理．我們就把它叫做角平分線的判定定理。（3）用直尺和圓規(guī)畫已知角的平方線及作圖的依據(jù)討論。三、鞏固練習綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解決問題。進一步發(fā)展學生的推論證明能力。在學生獨立完成推理過程的基礎(chǔ)上，教師要給出書寫示范例題：在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.（4）課本例題學習四、隨堂練習課本第29頁1、2題。五、課堂小結(jié)這節(jié)課證明了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，在有角的平分線（或證明是角的平分線）時，過角平分線上的點向兩邊作垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)則使問題迅速得到解決。六、布置作業(yè)習題1．9第1，2，3,4題．【板書設(shè)計】1.4角平分線（一）已知：在么AOB內(nèi)部有一點P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點P在么AOB的角平分線上．證明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．【教學反思】第二課時【教學目標】1．知識與技能

證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論。2．過程與方法經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力．體驗解決問題的方法，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新意識。3．情感態(tài)度與價值觀

在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心?！窘虒W重點】三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)。【教學難點】角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用。【教學過程】教學過程教學隨筆第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問題，搭建探究平臺問題l習題1．8的第1題作三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么?能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定正確嗎？于是，首先證明“三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點”．教師要引導學生進行邏輯上的證明。第二環(huán)節(jié)：展示思維過程，構(gòu)建探究平臺已知：如圖，設(shè)△ABC的角平分線．BM、CN相交于點P，證明：P點在∠BAC的角平分線上．證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)．∴△ABC的三條角平分線相交于點P．在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點外，還有什么“附帶”的成果呢?（PD=PE=PF，即這個交點到三角形三邊的距離相等．）于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等．通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理（板書）問題2如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的?要求學生思考、交流。實況如下：[生]有一處．在三條公路的交點A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點處．因為三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三邊的距離相等．而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等．這一點剛好符合．[生]我找到四處．(同學們很吃驚)除了剛才同學找到的三角形ABC內(nèi)部的一點外，我認為在三角形外部還有三點．作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點P1在∠CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等．同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點P3；因此滿足條件共4個，分別是P、P1、P2、P3第三環(huán)節(jié)：例題講解[例1]如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．(1)已知CD=4cm，求AC的長；(2)求證：AB=AC+CD．分析：本例需要運用前面所學的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學生進一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運用它們解決問題．第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長．第(2)問中，求證AB=AC+CD．這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE．(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，∠C=90°，DE⊥AB．∴DE=CD=4cm(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等)．∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC(等邊對等角)．∵∠C=90°，∴∠B=EQ\F(1,2)×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角對等邊)．在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=42cm(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．(2)證明：由(1)的求解過程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．[例2]已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D．求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線．證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．∴OC=OD(全等三角形對應(yīng)邊相等)．(2)又OP是∠AOB的角平分線，∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)．思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢?第四環(huán)節(jié)：課時小結(jié)本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三角形各邊的距離相等．并綜合運用我們前面學過的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計算和證明問題．第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習題1．10第1、2題【板書設(shè)計】1.4角平分線（二）三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點交于三角形內(nèi)一點鈍角三角形交于三角形外一點直角三角形交于斜邊的中點交點性質(zhì)到三角形三個頂點的距離相等到三角形三邊的距離相等【教學反思】回顧與思考【教學目標】1．知識與技能

在回顧與思考中建立本章的知識框架圖，復(fù)習有關(guān)定理的探索與證明，證明的思路和方法，尺規(guī)作圖等。2．過程與方法

進一步體會證明的必要性，發(fā)展學生的初步的演繹推理能力；進一步掌握綜合法的證明方法，結(jié)合實例體會反證法的含義；提高學生用規(guī)范的數(shù)學語言表達論證過程的能力。3．情感態(tài)度與價值觀

通過積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學的證明產(chǎn)生好奇心和求知欲，培養(yǎng)學生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學習習慣?！窘虒W重點】通過例題的講解和課堂練習對所學知識進行復(fù)習鞏固是重點?！窘虒W難點】本章知識