第二十四章 相似三角形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（解析版）

第二十四章相似三角形單元重點(diǎn)綜合測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題3分，共18分）1．（2023秋·上海閔行·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如果和都不為零，且，那么下列比例中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)逆用比例的基本性質(zhì)，將乘積式化成比例式，逐個(gè)判定即可．【詳解】解：A、∵，∴，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵，∴，故此選項(xiàng)正確，符合題意；C、∵，∴，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、∵，∴，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)比例的基本性質(zhì)，將乘積式化成比例式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知，添加下列條件后，仍無(wú)法判定的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解∵，∴，若，，∴，故A不符合題意；若，，∴，故B不符合題意；若，，∴，故C不符合題意；∵，，∴無(wú)法判斷與相似，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定方法，熟記知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2023春·上海徐匯·八年級(jí)上海市西南模范中學(xué)校考期末）在矩形中，，則向量的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在矩形中，，，，則，，由勾股定理求得，由即可得到答案.【詳解】解：如圖，在矩形中，，，，，，，，向量的長(zhǎng)度為，故選：A【點(diǎn)睛】考查了平面向量的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角形法則.4．（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測(cè)）已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段的長(zhǎng)度如圖所示，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行截線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，即可求解.【詳解】解：∵兩條直線被三條平行線所截，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值，解題的關(guān)鍵熟記平行截線對(duì)應(yīng)成比例．5．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與相似且有一個(gè)公共角的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證明，，，再根據(jù)，，，，可得，結(jié)合，有，即可獲得答案．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，再取網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接格點(diǎn)，

則，且，∴，，∴．同理可證：，．∵，，，，∴，∴，，∴，綜上，滿足條件的三角形有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，直角梯形中，，，，，．是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得與相似，這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由于，故要使與相似，分兩種情況討論：①，②，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求出的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】∵，，，．設(shè)的長(zhǎng)為，則．若邊上存在點(diǎn)，使與相似，那么分兩種情況：①若，則，即，解得：②若，則，即，整理得：，，（舍去）滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．二、填空題（12小題，每小題3分，共36分）7．（2023春·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀┮阎狿點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，，且，則【答案】/【分析】如圖，點(diǎn)P是線段上的黃金分割點(diǎn)，，則，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P是線段上的黃金分割點(diǎn)，且，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的黃金分割點(diǎn)，掌握“線段的黃金分割點(diǎn)的定義”是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·上海普陀·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，那么用表示．【答案】【分析】由點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，可得，根據(jù)，從而可得答案.【詳解】解：如圖，

∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，注意：平行向量既有大小又有方向．9．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知直線、、分別交直線于點(diǎn)A、B、C，交直線于點(diǎn)D、E、F，且，，，，則．【答案】8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，解得：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．掌握平行線分線段成比例是解題關(guān)鍵．10．（2023秋·上海黃浦·九年級(jí)上海市民辦明珠中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)分別在上，如果，那么的長(zhǎng)為．【答案】6．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例、比例的基本性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例、比例的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是由平行線分線段成比例定理得出比例式求出DF．11．（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谀┰谥?，，點(diǎn)是的重心，連接．若，則長(zhǎng)為．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)是的重心，得到為的中點(diǎn)，以及，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度，根據(jù)是直角三角形斜邊上的中線，從而求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵點(diǎn)是的重心，，∴為的中點(diǎn)，且，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查重心的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上海·一模）如圖，G是的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，P、Q分別是和的重心，長(zhǎng)為6，則的長(zhǎng)為．【答案】1【分析】連接，延長(zhǎng)交于F點(diǎn)，連接，由G是的重心，可證是的中位線，從而可求出的長(zhǎng)．利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到，，再證明得到即可．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于F點(diǎn)，連接，如圖，

∵G是的重心，∴D、E分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．∵P點(diǎn)是的重心，∴F點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∵Q點(diǎn)是的重心，∴點(diǎn)Q在中線上，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為．13．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，中線、交于點(diǎn)，設(shè)，，那么向量用向量，表示為．【答案】【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可得，利用三角形法則求出，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：∵中線、交于點(diǎn)，∴，∴，∵，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形法則等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．14．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）規(guī)定：如果經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的直線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形是等腰三角形，另一個(gè)小三角形和原三角形相似，那么符合這樣條件的三角形稱為“和諧三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“和諧分割線”．例如，如圖所示，在中，，是斜邊上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和諧三角形”，直線為的“和諧分割線”．請(qǐng)依據(jù)規(guī)定求解問題：已知是“和諧三角形”，，當(dāng)直線是的“和諧分割線”時(shí)，的度數(shù)是（寫出所有符合條件的情況）【答案】【分析】分類討論，①，是等腰三角形，；②，是等腰三角形，；③，是等腰三角形，；④，是等腰三角形，；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：是“和諧三角形”，，是的“和諧分割線”，①根據(jù)題意，如圖所示，，是等腰三角形，，∴，∴在中，，∵是的外角，∴；②如圖所示，，是等腰三角形，，∴，設(shè)，則，，∵是的外角，∴，即，解得，，∴；③如圖所示，，是等腰三角形，，∴，，，設(shè)，則，，∵是的外角，∴，即，解得，∴；④如圖所示，，是等腰三角形，，∴，，∵是的外角，∴，即，∴；綜上所述，是“和諧三角形”，，當(dāng)直線是的“和諧分割線”時(shí)，的度數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形，相似三角形的綜合，掌握等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上，，，如果，那么的值是．【答案】【分析】根據(jù)得到，根據(jù)比例的性質(zhì)可得，再根據(jù)，即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線截線段對(duì)應(yīng)成比例，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例性質(zhì)求得．16．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地面底部B的距離是468米，第二球體點(diǎn)P處恰好是整個(gè)塔高的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（點(diǎn)A、B、P在一直線），且，那么底部B到球體P之間的距離是米（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且米，，∴米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·上海普陀·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，且，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如果，那么的面積為．【答案】【分析】由題意得到三角形與三角形相似，由相似三角形面積之比等于相似比的平方求得兩三角形面積之比，進(jìn)而求出四邊形與三角形面積之比，求出四邊形面積，即可確定出三角形面積．【詳解】解：，，，，，，，，，即，∴，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，，點(diǎn)E在邊AB上，，連接DE，將沿著DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，連接EP、DP，分別交邊BC于點(diǎn)F、G，如果，那么CG的長(zhǎng)是．

【答案】/【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)已知得出，證明，求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，在中，，進(jìn)而得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，

∴，∴，∵折疊，∴，，，則，又∵，∴∴，∴∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，

又∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（9小題，共96分）19．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，，求的值．【答案】【分析】先證明，可得，再證明，再證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，又，∴，∴，同理可得：，∴．【點(diǎn)睛】考查相似三角形中“”字型的綜合應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．20．（2023春·上海奉賢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn)．

(1)寫出圖中所有與相等的向量：______；(2)用圖中的向量表示：______；(3)求作：（不要求寫作法，但要寫出結(jié)論）．【答案】(1)(2)或或(3)見解析【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，，即可求解；（2）根據(jù)三角形法則求向量的和，進(jìn)而即可求解；（3）連接，則即為所求，【詳解】（1）解：∵在中，點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn)∴，∴與相等的向量是：，故答案為：．（2）解：∵∴，又點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn)，則∴故答案為：或或（3）解：如圖所示，即為所求，

∵∴即為所求，【點(diǎn)睛】本題考查了向量的頂用，三角形法則求向量，熟練掌握向量的定義以及線性運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知，在等腰中，，以的中點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)E、F，，，求底邊的長(zhǎng)．

【答案】【分析】先證明，，即可證明，得出，根據(jù)，即可求出．【詳解】解：，而，，又，，，，，，，，又，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．22．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在梯形ABCD中，，DF分別交對(duì)角線AC、底邊BC于點(diǎn)E、F，且．(1)求證：；(2)點(diǎn)G在底邊BC上，，，連接，如果與的面積相等，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意及平行線的性質(zhì)可證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及平行線的判定即可得證；（2）根據(jù)三角形的面積公式及相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：（2）根據(jù)題意得，和面積相等解得：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，三角形面積公式等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意表達(dá)三角形的面積比，得出方程是解題的關(guān)鍵．23．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，已知與都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)D不與B、C重合），DE與AC相交于點(diǎn)F．(1)求證：∽；(2)若BC＝1，設(shè)BD＝x，CF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，？【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）利用兩角相等，兩三角形相似證明即可；（2）根據(jù)∽，得到，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；（3）易證，,得到，結(jié)合，，求得，,代入即可得解；【詳解】（1）、是等邊三角形

；（2）由（1）得，

；（3）,又，

是等邊三角形

，

解得

當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，熟練運(yùn)用“一線三等角”模型及相似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．24．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）把兩塊全等的直角三角板和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)D與三角板的斜邊中點(diǎn)O重合，其中，，，把三角板固定不動(dòng)，讓三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)P，射線與線段相交于點(diǎn)Q．

(1)如圖1，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證，則此時(shí)______；(2)將三角板由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中，問的值是否改變？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)8(2)不變【分析】（1）證明，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，再代入求值即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，從而證明，