




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
數(shù)值分析——第二章方程求根第2章方程求根解數(shù)值問(wèn)題直接法逐次逼近法——規(guī)則:A1
A2…An…精確解其中Ai可以是數(shù)、向量、矩陣或其他兩種形式:迭代法——利用遞推公式搜索法——利用法則(如二分法)直接法——小型問(wèn)題及特殊問(wèn)題逐次逼近法——大型問(wèn)題及非線性問(wèn)題。2.1非線性方程的迭代法設(shè)非線性方程f(x)=0(2.1)若有
,使f(
)=0,則稱
為方程(2.1)的根,或稱
為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。注:(1)代數(shù)方程——5次以上不能用解析公式求根超越方程——求解更難(2)若f(x)=0在區(qū)間[a,b]上僅有一根,則稱[a,b]為方程(2.1)的單根區(qū)間;若f(x)=0在區(qū)間[a,b]上有多個(gè)根,則稱[a,b]為方程(2.1)的多根區(qū)間,統(tǒng)稱為有根區(qū)間。2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索1.逐步搜索法為明確起見(jiàn),不妨假定f(a)<0,f(b)>0。我們從有根區(qū)間[a,b]的左端x0=a出發(fā),某個(gè)預(yù)定的步長(zhǎng)h(譬如取h=(b–a)/N,N為正整數(shù))一步一步地向右跨,每跨一步進(jìn)行一次根的“搜索”,即檢查節(jié)點(diǎn)xk=a+kh上的函數(shù)值f(xk)的符號(hào),一旦發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)xk與端點(diǎn)a的函數(shù)值異號(hào),即f(xk)>0,則可以確定一個(gè)縮小了的有根區(qū)間[xk-1,xk],其寬度等于預(yù)定的步長(zhǎng)h.2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索1.逐步搜索法【例2-1】考察方程f(x)=x3–x–1=0.注意到f(0)<0,f(2)>0,知f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.
設(shè)從x=0出發(fā),取h=0.5為步長(zhǎng)向右進(jìn)行根的搜索,列表記錄各個(gè)節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的符號(hào)(表6-1),我們發(fā)現(xiàn)區(qū)間[1.0,1.5]內(nèi)必有一根.x00.51.01.5f(x)的符號(hào)---+2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索1.逐步搜索法在具體運(yùn)用上述方法時(shí),步長(zhǎng)h的選擇是個(gè)關(guān)鍵.很明顯,只要步長(zhǎng)h取得足夠小,利用這種方法可以得到具有任意精度的近似根.不過(guò)當(dāng)h縮小時(shí),所要搜索的步數(shù)相應(yīng)增多,從而使計(jì)算量增大。因此,如果精度要求比較高,單用這種逐步搜索方法是不合算的。下述二分法可以看作是逐步搜索方法的一種改進(jìn)。2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法考察有根區(qū)間[a,b],取中點(diǎn)x0=(a+b)/2將它分為兩半,然后進(jìn)行根的搜索,即檢查f(x0)與f(a)是否同號(hào)。如果確系同號(hào),說(shuō)明所求的根
在x0的右側(cè),這時(shí)令a1=x0,b1=b;否則
必在x0的左側(cè),這時(shí)令a1=a,b1=x0.不管出現(xiàn)哪一種情況,新的有根區(qū)間[a1,b1]的長(zhǎng)度僅為[a,b]的一半.2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法對(duì)壓縮了的有根區(qū)間[a1,b1]又可施行同樣的手續(xù),即用中點(diǎn)x1=(a1+b1)/2將區(qū)間[a1,b1]再分為兩半,然后通過(guò)根的搜索判定所求的根在x1的哪一側(cè),從而又確定一個(gè)新的有根區(qū)間[a2,b2],其長(zhǎng)度是[a1,b1]的一半。2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法如此反復(fù)二分下去,即可得出一系列有根區(qū)間[a,b][a1,b1][a2,b2]…[ak,bk]…其中每個(gè)區(qū)間都是前一個(gè)區(qū)間的一半,因此[ak,bk]的長(zhǎng)度bk–ak=(b–a)/2k+1當(dāng)時(shí)趨于零,就是說(shuō),如果二分過(guò)程無(wú)限地繼續(xù)下去,這些區(qū)間最終必收縮于一點(diǎn)
,該點(diǎn)顯然就是所求的根.2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法每次二分后,設(shè)取區(qū)間[ak,bk]的中點(diǎn)xk=(bk+ak)/2作為根的近似值,則在二分過(guò)程中可以獲得一個(gè)近似根的序列x0,x1,x2,…,xk…該序列必以根為極根。由于|–xk|≤(bk–ak)/2=(b–a)/2k+1
只要二分足夠多次(即k充分大),便有|–xk|<,這里為預(yù)定的精度.2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法【例2-2】求方程f(x)=x3–x–1=0在區(qū)間[1.0,1.5]內(nèi)的一個(gè)實(shí)根,要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后的第2位.
解:這里a=1.0,b=1.5,而f(a)<0,f(b)>0。取[a,b]的中點(diǎn)x0=1.25,將區(qū)間二等分,由于f(x0)<0,即f(x0)與f(a)同號(hào),故所求的根必在x0右側(cè),這時(shí)應(yīng)令a1=x0=1.25,b1=b=1.5,而得到新的有根區(qū)間[a1,b1].
如此反復(fù)二分下去。2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法【例2-2】求方程f(x)=x3–x–1=0在區(qū)間[1.0,1.5]內(nèi)的一個(gè)實(shí)根,要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后的第2位.
我們現(xiàn)在預(yù)估所要二分的次數(shù),按誤差估計(jì)(1.1)式,只要二分6次(k=6),便能達(dá)到預(yù)定的精度|–x6|≤0.005.二分法的計(jì)算結(jié)果如表2-2.Kakbkxkf(xk)符號(hào)01.01.51.25-11.25l.375+21.3751.3125-31.3125l.3438+41.34381.3281+51.32811.3203-61.32031.3242-2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法二分法是電子計(jì)算機(jī)上一種常用算法,下面列出計(jì)算步驟:步1準(zhǔn)備計(jì)算f(x)在有根區(qū)間[a,b]端點(diǎn)處的值,f(a),f(b).
步2二分計(jì)算f(x)在區(qū)間中點(diǎn)(a+b)/2處的值f((a+b)/2).2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法二分法是電子計(jì)算機(jī)上一種常用算法,下面列出計(jì)算步驟:步3判斷若f((a+b)/2)=0則(a+b)/2即是根,計(jì)算過(guò)程結(jié)束。否則檢驗(yàn):若f((a+b)/2)與f(a)異號(hào),則根位于區(qū)間[a,(a+b)/2]內(nèi),這時(shí)以(a+b)/2代替b;若f((a+b)/2)與f(a)同號(hào),則根位于區(qū)間[(a+b)/2,b]內(nèi),這時(shí)以(a+b)/2代替a.2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法二分法是電子計(jì)算機(jī)上一種常用算法,下面列出計(jì)算步驟:反復(fù)執(zhí)行步2和步3,直到區(qū)間[a,b]長(zhǎng)度縮小到允許誤差范圍之內(nèi),此時(shí)區(qū)間中點(diǎn)(a+b)/2即可作為所求的根.
上述二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單,而且收斂性總能得到保證,但是不能用來(lái)求重根。2.1非線性方程的迭代法2.1.1根的搜索2.二分法
2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法1.定義設(shè)方程x=
(x)(2.2)與(2.1)同解,即f(x)=0x=
(x)。任取初值x0,令x1=
(x0),x2=
(x1),…,一般地xk+1=
(xk)k=0,1,2,…(2.3)稱(2.3)為迭代法(迭代過(guò)程、迭代格式),
(x)稱為迭代函數(shù),xk稱為第k步迭代值。若{xk}收斂,稱迭代法收斂,否則稱迭代法發(fā)散。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法1.定義設(shè)方程x=
(x)(2.2)與(2.1)同解,即f(x)=0x=
(x)。任取初值x0,令x1=
(x0),x2=
(x1),…,一般地xk+1=
(xk)k=0,1,2,…(2.3)
若xk
,則=
(),從而f()=0,即為方程(2.1)的根。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法【例2-3】求方程x3–x–1=0在x=1.5附近的根。解:方程化為等價(jià)方程,取初值x0=1.5,則
…取6位數(shù)字時(shí)x7與x8相同,即可認(rèn)為x7是方程的根,x7=1.32472。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法【例2-3】求方程x3–x–1=0在x=1.5附近的根。解:方程化為等價(jià)方程,取初值x0=1.5,則
取6位數(shù)字時(shí)x7與x8相同,即可認(rèn)為x7是方程的根,
x7=1.32472。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法應(yīng)當(dāng)指出,迭代法的效果并不是總能令人滿意的。譬如,方程化為另一種等價(jià)形式:x=x3–1,建立迭代公式xk+1=xk3–1。迭代初值仍取x0=1.5,則有x1=2.375,x2=12.39,x3=1904.…。繼續(xù)迭代下去已經(jīng)沒(méi)有必要,因?yàn)榻Y(jié)果顯然會(huì)越來(lái)越大,不可能趨于某個(gè)極限。這種不收斂的迭代過(guò)程稱作是發(fā)散的。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【定理2-1】假定迭代函數(shù)(x)滿足下列兩項(xiàng)條件:
1.對(duì)任意x∈[a,b]有a
(x)b;
2.存在正數(shù)L<1,使對(duì)任意x∈[a,b]有|'(x)|L<1.則迭代過(guò)程xk+1=
(xk)對(duì)于任意初值x0∈[a,b]均收斂于方程x=
(x)的根。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性證明:由微分中值定理xk+1–=
(xk)–
()='(
)(xk–)式中
是與xk之間某一點(diǎn),當(dāng)xk∈[a,b]時(shí)
∈[a,b],因此利用條件可以斷定|xk+1–|L|xk–|據(jù)此反復(fù)遞推有|xk–|Lk|x0–|,故當(dāng)k
時(shí),迭代值xk將收斂到所求的根。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【定理2-1】假定迭代函數(shù)
(x)滿足下列兩項(xiàng)條件:
1.對(duì)任意x∈[a,b]有a
(x)b;
2.存在正數(shù)L<1,使對(duì)任意x∈[a,b]有|'(x)|L<1.則迭代過(guò)程xk+1=
(xk)對(duì)于任意初值x0∈[a,b]均收斂于方程x=
(x)的根。檢驗(yàn):,[,][1,2],
,所以迭代法收斂2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性說(shuō)明:(1)條件是充分的而非必要的.如方程x3–2x=0,
取,則,在[–1,1]上不滿足|'(x)|<1,但實(shí)際上=0,取初值x0在0附近,迭代法有可能收斂。
(2)通??上扔枚ɡ砼袛?,若不滿足,則改變迭代公式使之滿足,然后迭代。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性說(shuō)明:(3)若|'(x)|1,則|xk+1–xk|=|
(xk)–
(xk–1)|=|'(
)||xk–xk-1||xk–xk-1|…|x1–x0|,故迭代法必發(fā)散。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性左圖表示收斂的序列,右圖表示發(fā)散的序列。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【推論】在定理?xiàng)l件下,有如下誤差估計(jì):
(2.4)(2.5)
證明:∵|xk+1–|=|
(xk)–
()|=|'(
)||xk–|L|xk–||xk+1–xk|=|
(xk)–
(xk–1)|=|'(
)||xk–xk–1|L|xk–xk–1|∴|xk–||xk–xk+1|+|xk+1–|L|xk–xk–1|+L|xk–|從而2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【推論】在定理?xiàng)l件下,有如下誤差估計(jì):
(2.4)(2.5)
證明:從而又因?yàn)閨xk–xk–1|L|xk–1–xk–2|…Lk–1|x1–x0|所以 2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性
(2.4)(2.5)說(shuō)明:(1)(2.4)用于控制迭代過(guò)程:(2.5)用于事先估計(jì)迭代次數(shù):由求出k。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性說(shuō)明:(2)定理是以[a,b]中任一點(diǎn)作初值,迭代都收斂,稱為全局收斂。此要求較難滿足,故考慮在的某一鄰域內(nèi)—局部收斂性【定理2-1'】若方程有根,|'()|<1,且
'在的某鄰域U()內(nèi)連續(xù),則存在
>0,只要x0[–
,+
],迭代法xk+1=
(xk)收斂。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【定理2-1'】若方程有根,|'()|<1,且
'在的某鄰域U()內(nèi)連續(xù),則存在
>0,只要x0[–
,+
],迭代法xk+1=
(xk)收斂。證明:∵|'()|<1,及
'(x)在U()內(nèi)連續(xù),存在
>0,使[–
,+
]U(),且x[–
,+
]有|'(x)|L<1.x[–
,+
],|
(x)–|=|
(x)–
()|=|‘(
)||x–|L|x–|<
,即
(x)[–
,+
]1.對(duì)任意x∈[a,b]有a
(x)b;2.存在正數(shù)L<1,使對(duì)任意x∈[a,b]有|'(x)|L<1.則迭代過(guò)程xk+1=
(xk)對(duì)于任意初值x0∈[a,b]均收斂于方程x=
(x)的根。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【定理2-1'】若方程有根,|'()|<1,且
'在的某鄰域U()內(nèi)連續(xù),則存在
>0,只要x0[–
,+
],迭代法xk+1=
(xk)收斂。證明:x[–
,+
]有|'(x)|L<1.
x[–
,+
],
(x)[–
,+
]由定理6-1知,任意x0[–
,+
],迭代法xk+1=
(xk)收斂。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【定理2-1'】若方程有根,|'()|<1,且
'在的某鄰域U()內(nèi)連續(xù),則存在
>0,只要x0[–
,+
],迭代法xk+1=
(xk)收斂。說(shuō)明:只要x0充分接近,且|'(x0)|明顯小于1,則{xk}收斂于
。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法2.收斂性【例2-4】求方程x=e–x在x=0.5附近的一個(gè)根,要求精度
<10–3。分析:記f(x)=x–e–x,則f(0.5)<0,f(1)>0,即根∈[0.5,1],要驗(yàn)證定理6-1的條件很麻煩,只須驗(yàn)證定理6-1'的條件,或|'(x)|<1于[0.5,1]上。解:因?yàn)?/p>
(x)=e–x,
'(x)=–e–x,|
'(x)|=e–x<1于[0.5,1]上。(當(dāng)然有|
'()|<1)。所以取x0=0.5,迭代法必收斂。計(jì)算結(jié)果如表kxkkxk00.570.56843810.60653180.56640920.54523990.5675630.579703100.56690740.560065110.56727750.571172120.56706760.564863130.5671862.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階一種迭代格式要具有實(shí)用意義,不但需要肯定是收斂的,還要求它收斂得比較快,就是說(shuō)要有一定的收斂速度,否則未必有實(shí)際意義。那么,何謂收斂速度呢?下面就來(lái)介紹這個(gè)概念.2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階【定義2-1】設(shè)由某方法確定的序列{xk}收斂于方程的根,如果存在正實(shí)數(shù)p,使得
(C為非零常數(shù))則稱序列{xk}收斂于的收斂速度是p階的,或稱該方法具有p階斂速。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階【定義6-1】設(shè)由某方法確定的序列{xk}收斂于方程的根,如果存在正實(shí)數(shù)p,使得
(C為非零常數(shù))當(dāng)p=1時(shí),稱該方法為線性(一次)收斂;當(dāng)p>1時(shí),稱方法為超線性收斂。特別當(dāng)p=2時(shí),稱方法為平方(二次)收斂;2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階【定義6-1】設(shè)由某方法確定的序列{xk}收斂于方程的根,如果存在正實(shí)數(shù)p,使得
(C為非零常數(shù))由定義易見(jiàn),一個(gè)方法的收斂速度實(shí)際就是絕對(duì)誤差的收縮率,斂速的階p越大,絕對(duì)誤差縮減得越快,也就是該方法收斂得越快。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階在定理2-2中,若
'(x)連續(xù),且
'()0,則迭代格式xk+1=
(xk)必為線性收斂。因?yàn)橛扇绻?/p>
'()=0,則收斂速度就不止是線性的了。進(jìn)一步有2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階【定理2-2】設(shè)方程方程x=
(x),正整數(shù)p2,若
(p)在根的某鄰域內(nèi)連續(xù),且滿足
(6.6)則{xk}p階局部收斂。證明:∵
'()=0(<1),∴xk局部收斂。設(shè)
(x)在處展開(kāi)為2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階
(2.6)則{xk}p階局部收斂。證明:由(2.6)知,所以即{xk}p階局部收斂。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階
【例2-5】設(shè)fC2[a,b],
(x)=x–r1(x)f(x)–r2(x)f2(x)
為f的單重零點(diǎn)。試確定未知函數(shù)r1(x)、r2(x),使迭代法xk+1=
(xk)至少是三階局部收斂的。解:由定理2-2知,應(yīng)有
'()=
"()=0,因?yàn)?/p>
'(x)=1–r1'(x)f(x)–r1(x)f'(x)–r2'(x)f2(x)–2r2(x)f(x)f'(x)而f()=0,f
'()≠0(單重零點(diǎn)),令
'()=0有1–r1'()f
'()=0.取,則有
'()=02.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階
【例2-5】設(shè)fC2[a,b],
(x)=x–r1(x)f(x)–r2(x)f2(x)
為f的單重零點(diǎn)。試確定未知函數(shù)r1(x)、r2(x),使迭代法xk+1=
(xk)至少是三階局部收斂的。解:此時(shí)有
'(x)=–r1'(x)f(x)–r2'(x)f
2(x)–2r2(x)f(x)f'(x)
"(x)=–r1"(x)f(x)–r1'(x)f'(x)–r2"(x)f
2(x)–4r2'(x)f(x)f'(x)–2r2(x)[f'(x)]2–2r2'(x)f(x)f
"(x)其中
2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階
【例2-5】設(shè)fC2[a,b],
(x)=x–r1(x)f(x)–r2(x)f2(x)
為f的單重零點(diǎn)。試確定未知函數(shù)r1(x)、r2(x),使迭代法xk+1=
(xk)至少是三階局部收斂的。解:
"(x)=–r1"(x)f(x)–r1'(x)f'(x)–r2"(x)f
2(x)–4r2'(x)f
(x)f
'(x)–2r2(x)[f
'(x)]2–2r2'(x)f
(x)f
"(x)令
"(
)=0,有即取
,則有
"(
)=0。2.1非線性方程的迭代法2.1.2簡(jiǎn)單迭代法3.收斂階
【例2-5】設(shè)fC2[a,b],
(x)=x–r1(x)f(x)–r2(x)f2(x)
為f的單重零點(diǎn)。試確定未知函數(shù)r1(x)、r2(x),使迭代法xk+1=
(xk)至少是三階局部收斂的。解:從而只要同時(shí)取和迭代法至少具有三階局部收斂性。2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形1.Newton迭代法取
(x)=x+k(x)f(x),(k(x)0).則x=
(x)與f(x)=0同解.由
'(x)=1+k'(x)f(x)+k(x)f'(x).令
'()=0k()f'()=–1.若f'()0,則有即迭代法:稱為牛頓迭代法。如何構(gòu)造
(x)使迭代法收斂?令x=x+f(x)?不妥!2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形1.Newton迭代法幾何意義:給定非線性方程f(x)=0的解
的近似值xn用過(guò)點(diǎn)Pn(xn,f(xn))的切線:y=f(xn)+(x-xn)f'(xn)近似表示曲線y=f(x)并將該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn+1作為
的新的近似值。2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形【例2-6】用牛頓法計(jì)算方程x3–x–1=0在x=1.5附近的根.解:f(x)=x3–x–1,f'(x)=3x2–1在x=1.5附近不為零.
k=0,1,2,…從x(0)=1.5出發(fā),迭代3次即有6位有效數(shù)字.2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形【例2-7】用Newton法求非線性方程f(x)=xex–1=0在(0,1)內(nèi)的根,取x(0)=0.5。解:因?yàn)閒
'(x)=(1+x)ex,故其Newton迭代公式為k=0,1,2,…從x(0)=0.5出發(fā),計(jì)算結(jié)果2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性(1)若是f(x)的單重根:f()=0,f'()≠0因?yàn)橐话悴粸?所以,在f'()0,f"(x)連續(xù)的條件下,牛頓迭代法至少是平方收斂的.<'()=0>.2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性(2)若是f(x)的重根,即有f(x)=(x–)mg(x)其中g(shù)()≠0,m2因?yàn)閒'(x)=m(x–)m-1g(x)+(x–)mg'(x),記x=+h,則
2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性(2)若是f(x)的重根,即有f(x)=(x–)mg(x)其中g(shù)()≠0,m2,記x=+h,則
2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性(2)若是f(x)的重根,即有f(x)=(x–)mg(x)當(dāng)m2時(shí),
'(
)≠0,由|
'(
)|<1,知Newton迭代法一階收斂。2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性(3)若是f(x)的重根,即有f(x)=(x–)mg(x)(2)的改進(jìn):
取
,易知有
'(
)=0,所以,若事先知道的重?cái)?shù),則可改迭代公式為此時(shí),迭代序列{xk}是二階收斂的。2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性(3)若是f(x)的重根,即有f(x)=(x–)mg(x)或令則是u(x)的單重零點(diǎn)。2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性(3)若是f(x)的重根,即有f(x)=(x–)mg(x)或令,則是u(x)的單重零點(diǎn)。應(yīng)用Newton法于u(x),有此時(shí),迭代序列也是二階收斂的
2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性【例2-8】是方程x4–4x2+4=0的二重根(1)采用Newdon法即
2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性【例6-8】是方程x4–4x2+4=0的二重根(2)采用(3.15)2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性【例2-8】是方程x4–4x2+4=0的二重根(3)采用,即2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性【例2-8】是方程x4–4x2+4=0的二重根分別采用2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形2.收斂性【例2-9】計(jì)算的近似值分析:是方程x3–7=0的根Newton迭代公式:2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形3.弦截法牛頓迭代計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)不方便,代入(2.10)中有2.1非線性方程的迭代法2.1.3Newton迭代法及其變形3.弦截法牛頓迭代計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)不方便,即
(2.11)稱(2.11)為弦截法.2.1非線性
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 育嬰師對(duì)兒童發(fā)展的影響因素考題試題及答案
- 疑病癥測(cè)試題及答案
- 文化產(chǎn)業(yè)管理考試形式試題及答案
- 系統(tǒng)規(guī)劃與管理師考試重要理念與方法試題及答案
- 職場(chǎng)面試試題及答案
- 基因工程考研試題及答案
- 藥物臨床使用指導(dǎo)書撰寫技巧試題及答案
- 激光技術(shù)證書考試復(fù)習(xí)亮點(diǎn)試題及答案
- 護(hù)士資格證學(xué)習(xí)小組經(jīng)驗(yàn)試題及答案
- 白描書法試題圖片及答案
- 2020年度臨床護(hù)理技術(shù)操作規(guī)程及質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)
- 期中句型轉(zhuǎn)換練習(xí)專項(xiàng)過(guò)關(guān)卷(試題)-2023-2024學(xué)年譯林版(三起)英語(yǔ)四年級(jí)下冊(cè)
- 事業(yè)單位工作人員調(diào)動(dòng)申報(bào)表
- 2023年壓瘡相關(guān)知識(shí)考核試題及答案
- 《安全教育騎車安全》
- 申請(qǐng)判決書紙質(zhì)版
- 在英語(yǔ)教學(xué)中如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)英語(yǔ)興趣
- 主題活動(dòng)12:小班語(yǔ)言活動(dòng)《狼和七只小羊》
- 眼科護(hù)理中的安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與控制策略
- 【氣流粉碎機(jī)的設(shè)計(jì)及計(jì)算8800字】
- 智能汽車行業(yè)產(chǎn)業(yè)研究系列(三):智能汽車軟硬件產(chǎn)品齊發(fā)力CES展示汽車酷炫新亮點(diǎn)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論