高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題4.7 對(duì)數(shù)函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題4.7對(duì)數(shù)函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講1．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+).(2)判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)：

①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域?yàn)?0,+).

???????例如:y=是對(duì)數(shù)函數(shù)，而y=(x+1)，y=都不是對(duì)數(shù)函數(shù).2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1,x>0)的圖象和性質(zhì)如下表所示：3．底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響(1)底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”.

當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”;

當(dāng)0<a<1時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.

(2)函數(shù)y=與y=(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

(3)底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：

無論是a>1還是0<a<1,在第一象限內(nèi),自左向右,圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.

①上下比較：在直線x=1的右側(cè),a>1時(shí),a越大,圖象越靠近x軸;0<a<1時(shí),a越小,圖象越靠近x軸;

②左右比較：比較圖象與直線y=1的交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大,對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.4．反函數(shù)比較冪值大小的方法：【題型1對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合具體條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·廣東·高一階段練習(xí)）函數(shù)y＝lgx＋lg(5－3x)的定義域是（

A．[0,53) B．[1,53)【變式1-1】（2022·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)fx=logA．?∞,0 B．2,+∞ C．0,2【變式1-2】（2022·山西運(yùn)城·高二期末）已知函數(shù)fx=lgx2A．0,+∞ B．0,1 C．lg2,1 【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=ln(x?2)+1的值域?yàn)椋ˋ．R B．(1,+∞) C．[1,+∞【題型2對(duì)數(shù)式的大小比較】【方法點(diǎn)撥】比較對(duì)數(shù)值的大小，主要依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同底時(shí)可直接利用相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)比較大小；不同底時(shí)，可借助中間量進(jìn)行比較.【例2】（2022·黑龍江·高三開學(xué)考試）已知a=log32，b=log52，c=3a?1，則A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知a=40.1，b=log32A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>c C．b>a>c D．c>a>b【變式2-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））若a=0.50.3，b=log0.53A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>a>b【變式2-3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））設(shè)a=log53，b=log0.30.2，c=0.543A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b【題型3解對(duì)數(shù)不等式】【方法點(diǎn)撥】對(duì)數(shù)不等式的三種考查類型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的單調(diào)性求解.(2)形如m>b的不等式，應(yīng)將b化成以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(b=)，再借助y=x的單調(diào)性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解.【例3】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log4(x?2)?log4(a?x)，A．72,4 B．（3，4） C．（2，5） 【變式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函數(shù)fx的圖象與gx=log14xA．0,+∞ B．0,1 C．0,12【變式3-2】（2022·四川自貢·高一期末）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間0,+∞上為增函數(shù)，則不等式flogA．?∞,1 B．1,+∞ C．0,1【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞增，且f(?2)=?2，則不等式f(lgA．0,1100 B．1100,+∞ 【題型4對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】①對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別：對(duì)于所給函數(shù)解析式，研究函數(shù)的單調(diào)性、特殊值等，利用排除法，得出正確的函數(shù)圖象.②對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用：對(duì)于與對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的作圖問題，一般宜用變換作圖法作圖，這樣有利于從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，從而利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小、解不等式、求最值等.【例4】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）函數(shù)y=lg(x+1)的圖像是（A． B．C． D．【變式4-1】（2022·浙江·高一期中）函數(shù)y=lg|x+1|的圖像的大致形狀是（A． B．C． D．【變式4-2】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdA．b>a>1>c>d B．a(chǎn)>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a(chǎn)>b>1>d>c【變式4-3】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=logax?b（a>0且a≠1，aA．a(chǎn)>0，b<?1 B．a(chǎn)>0，?1<b<0C．0<a<1，b<?1 D．0<a<1，?1<b<0【題型5對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.【例5】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=logax+2(1)當(dāng)a=2時(shí)，求fx(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得fx在?1,34【變式5-1】（2022·甘肅·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx(1)求該函數(shù)的定義域；(2)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.【變式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=log4m+2x+4，若不等式【變式5-3】（2022·江蘇·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=log(1)若m=1，求函數(shù)f(x)的定義域．(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間?∞，1?3上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m【題型6對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】從實(shí)際問題出發(fā)，建立對(duì)數(shù)（型）函數(shù)模型，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題，注意要滿足實(shí)際條件.【例6】（2021·全國·高一專題練習(xí)）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為V(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)V與log3Q100成正比，且當(dāng)Q＝900時(shí)，V（1）求出V關(guān)于Q的函數(shù)解析式；（2）計(jì)算一條鮭魚的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù)．【變式6-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式v=v0lnMm計(jì)算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中v0（單位m/s）是噴流相對(duì)速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，參考數(shù)據(jù)：ln230≈5.4，1.648<(1)當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?3，若要使火箭的最大速度增加500m/s，記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T，求不小于T【變式6-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來到美麗的昆明過冬，科學(xué)家經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v=12log3x100?lgx0(1)若x0=5，候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位.(2)若雄鳥的飛行速度為1.3km/min，雌鳥的飛行速度為0.8km/min，那么此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍.【變式6-3】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分y與當(dāng)天鍛煉時(shí)間x（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間[0,90]上的增