新教材人教a版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．了解空間向量的概念．2．掌握空間向量的線性運(yùn)算．1．了解空間向量的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程．(邏輯推理)3．掌握空間向量線性運(yùn)算的法則和運(yùn)算律．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．掌握共線向量定理和共面向量定理，會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面．(數(shù)學(xué)抽象)必備知識(shí)·探新知知識(shí)點(diǎn)1空間向量的概念1．定義：在空間，具有__大小__和__方向__的量叫做空間向量．2．長度或模：向量的__大小__．3．表示方法：(1)幾何表示法：空間向量用__有向線段__表示；(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|．4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量__長度為0__的向量叫做零向量．記為0單位向量__模為1__的向量叫做單位向量相反向量與向量a長度__相等__而方向__相反__的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向__相同__且模__相等__的向量叫做相等向量思考1：單位向量都相等嗎？提示：不一定．單位向量的模雖然都為1，但是方向各異．知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ＞0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb思考2：怎樣作圖表示三個(gè)向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關(guān)？提示：可以利用三角形法則和平行四邊形法則作出三個(gè)向量的和．加法運(yùn)算是對(duì)有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．思考3：由數(shù)乘λa＝0，可否得出λ＝0?提示：不能．λa＝0?λ＝0或a＝0．知識(shí)點(diǎn)3共線向量1．空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得__a＝λb__．2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把__與向量a平行的非零向量__稱為直線l的方向向量．思考4：對(duì)于空間向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?提示：不能．若b＝0，則對(duì)任意向量a，c都有a∥b且b∥c．思考5：怎樣利用向量共線證明A，B，C三點(diǎn)共線？提示：只需證明向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))(不唯一)共線即可．知識(shí)點(diǎn)4共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l．如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α．平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使__p＝xa＋yb__．思考6：空間中的兩個(gè)向量是不是共面向量？提示：是．空間中的任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一空間向量及相關(guān)概念的理解典例1給出下列命題：①在同一條直線上的單位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(BC1,\s\up6(→))是相等向量；④在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，與eq\o(AA1,\s\up6(→))的模一定相等的向量一共有4個(gè)．其中正確命題的序號(hào)為__②③__．[解析]①錯(cuò)誤，在同一條直線上的單位向量，方向可能相同，也可能相反，故它們不一定相等；②正確，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正確，eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(BC1,\s\up6(→))的模相等，方向相同；④錯(cuò)誤，空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤錯(cuò)誤，在三棱柱ABC－A1B1C1中，與eq\o(AA1,\s\up6(→))的模一定相等的向量是eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，一共有5個(gè)．[規(guī)律方法]空間向量概念的辨析(1)向量的兩個(gè)要素是大小與方向，兩者缺一不可；(2)單位向量的方向雖然不一定相同，但長度一定為1；(3)兩個(gè)向量的模相等，即它們的長度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件；(4)由于方向不能比較大小，因此“大于”“小于”對(duì)向量來說是沒有意義的，但向量的模是可以比較大小的．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)均不一定相同，故①錯(cuò)；根據(jù)向量相等的定義知不僅需要模相等，而且需要方向相同，故②錯(cuò)；根據(jù)正方體ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正確；命題④顯然正確；空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)．題型二空間向量的線性運(yùn)算典例2如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：①eq\o(AC1,\s\up6(→))；②eq\o(AP,\s\up6(→))；③eq\o(A1N,\s\up6(→))．[分析]根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，平行四邊形法則求解．[解析]①eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b＋c．②eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．③eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c．[規(guī)律方法]空間向量線性運(yùn)算的技巧和思路(1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧①巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接，從而便于運(yùn)算．②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果．(2)化簡空間向量的常用思路①分組：合理分組，以便靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡．②多邊形法則：在空間向量的加法運(yùn)算中，若是多個(gè)向量求和，還可利用多邊形法則，若干個(gè)向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和．③走邊路：靈活運(yùn)用空間向量的加法、減法法則，盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(2020·山東濰坊學(xué)年高二期末)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，設(shè)eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(PD,\s\up6(→))＝(B)A．a(chǎn)＋b＋c B．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝a－b＋c．故選B．題型三空間共線向量定理及其應(yīng)用典例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，點(diǎn)F在對(duì)角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))．求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[分析]可通過證明eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))共線來證明E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c．因?yàn)閑q\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c))．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→))，又∵eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)E，∴E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[規(guī)律方法]1．判斷向量共線的策略(1)熟記共線向量充要條件：①a∥b，b≠0，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a＝λb；②若存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b．(2)判斷向量共線的關(guān)鍵是找到實(shí)數(shù)λ．2．證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P、A、B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線．(1)存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立．(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)．(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?如圖所示，ABCD－ABEF都是平行四邊形，且不共面，M、N分別是AC、BF的中點(diǎn)，判斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？[解析]M、N分別是AC、BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD、ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))．又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．題型四空間向量共面定理及其應(yīng)用典例4已知A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))．(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．[分析]要證明三個(gè)向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，只需證明存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，證明了三個(gè)向量共面，即可說明點(diǎn)M就在平面內(nèi)．[解析](1)因?yàn)閑q\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以6eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2eq\o(OM,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))．故向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三個(gè)向量又有公共點(diǎn)M，故M，A，B，C共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．[規(guī)律方法]1．證明點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，可以用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，也可以用eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，若用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則必須滿足x＋y＋z＝1．2．判定三個(gè)向量共面一般用p＝xa＋yb，證明三線共面常用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，證明四點(diǎn)共面常用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別為A1D1、D1C1、AA1、CC1的中點(diǎn)，用向量方法證明M、N、P、Q[解析]令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∵M(jìn)、N、P、Q均為棱的中點(diǎn)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\