清華大學(xué)靜力學(xué)(九)

材料力學(xué)歡送學(xué)習(xí)張毅主編董桂花徐繼忠潘立常副主編2006年6月第1章靜力學(xué)根底第2章平面匯交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面一般力系第6章材料力學(xué)根底第8章剪切第9章扭轉(zhuǎn)第5章空間力系重心第7章軸向拉伸和壓縮材料力學(xué)第10章截面的幾何性質(zhì)第11章彎曲內(nèi)力第12章彎曲應(yīng)力第13章彎曲變形第15章組合變形的強(qiáng)度計算第14章應(yīng)力狀態(tài)理論和強(qiáng)度準(zhǔn)那么第16章壓桿穩(wěn)定材料力學(xué)第9章扭轉(zhuǎn)9.1扭轉(zhuǎn)的概念9.2外力偶矩的計算和扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力9.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)9.4等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力9.5極慣性矩和抗扭截面系數(shù)9.6圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件和剛度條件9.7小結(jié)本章學(xué)習(xí)要求理解扭轉(zhuǎn)的概念。較熟練地掌握扭矩的計算及扭矩圖的繪制。了解薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力計算公式。理解剪應(yīng)力互等定理。熟悉剪切胡克定律。掌握圓形及圓環(huán)形截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算。較熟練地掌握圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計算及強(qiáng)度和剛度的計算。9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)變形是桿件的四種根本變形之一。在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)，作用一對大小相等、方向相反的外力偶時，桿件的任意兩個橫截面都將繞軸線作相對轉(zhuǎn)動，這種形式的變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。圖9.1圓軸的扭轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)角如圖9.1所示，桿件任意兩個橫截面繞軸線的相對轉(zhuǎn)角，稱為扭轉(zhuǎn)角，通常用φ表示。在圖9.1中，截面B相對于截面A的扭轉(zhuǎn)角為φBA。9.2外力偶矩的計算和扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力在對桿件進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計算之前，先要計算出作用于桿軸上的外力偶矩和橫截面上的內(nèi)力。圖9.2功率的傳遞與分配對于工程中常用的傳動軸，往往只知道它所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速。因此，為了對它進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計算，就要根據(jù)它所要傳遞的功率和轉(zhuǎn)速，求出使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)的外力偶矩。下面結(jié)合圖9.2所示傳動軸進(jìn)行分析。1.力偶矩的計算設(shè)通過某一輪所傳遞的功率為Nk，單位為千瓦(kW)。軸的轉(zhuǎn)速為n，單位每分鐘轉(zhuǎn)(r/min)。那么作用在此軸上的外力偶矩m可按以下方法求得：或式中N為公制馬力數(shù)。在這種外力偶的作用下，圓軸橫截面上的內(nèi)力是一個作用在該截面內(nèi)的力偶，其力偶矩T稱為扭矩。內(nèi)力偶矩T與外力偶矩m相互平衡，根據(jù)平衡條件，可得內(nèi)力偶矩T的大小為 T=m2.扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力——扭矩扭矩的單位為N?m(牛頓?米)或kN?m(千牛頓?米)。3.扭矩圖表示軸上各橫截面上的扭矩變化規(guī)律的圖形稱為扭矩圖。【例9.1】一傳動軸如圖9.3(a)所示，主動輪的輸入功率為Nk1=500kW，假設(shè)不計軸承摩擦所損失的功率，三個從動輪輸出的功率分別為Nk1=Nk2=150kW，Nk4=200kW；軸的轉(zhuǎn)速為n=300r/min(轉(zhuǎn)/分)。試畫出軸的扭矩圖。解：(1)計算外力偶矩(2)計算扭矩根據(jù)條件，各段橫截面上的扭矩是不相同的，現(xiàn)用截面法計算各段桿軸內(nèi)的扭矩。在BC段，用一個假想的截面n-n將桿截開，選取左邊局部為脫離體，T1表示橫截面上的扭矩，并假設(shè)為正值，如圖9.3(b)所示。由平衡方程(3)畫扭矩圖根據(jù)計算的扭矩值及其正負(fù)號，即可畫出扭矩圖(圖9.3(c))。從圖中可見，最大的扭矩發(fā)生在CA段內(nèi)，其值為9.56。結(jié)果為負(fù)值，說明扭矩的實(shí)際轉(zhuǎn)向與假設(shè)相反，也說明橫截面上的實(shí)際扭矩為負(fù)值。圖9.3圖∑Mx=0得 T1+M1=0T1=-m1=-4.17(kNgm)同理，在CA段在AD段，可選取右邊局部為研究對象壁厚σ遠(yuǎn)小于其平均半徑的圓筒，稱為薄壁圓筒。圖9.4薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的變形分析取一薄壁圓筒，當(dāng)在其兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)作用一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶m時，圓筒發(fā)生了扭轉(zhuǎn)變形。圓筒中任意橫截面上的扭矩，可用截面法求得：T=m。9.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)1.薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力為了求圓筒橫截面上的剪應(yīng)力，先觀察薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的變形現(xiàn)象。在兩個相互垂直的平面上，垂直于公共棱邊的剪應(yīng)力成對存在，且大小相等，方向指向(或背離)該公共棱邊。這一關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理。2.剪應(yīng)力互等定理公式：＝3.剪切胡克定律剪切胡克定律G稱為材料的剪切彈性模量，它反映了材料抵抗剪切變形的能力，單位為Pa或MPa。各種材料的G值可由實(shí)驗(yàn)測定。1.幾何變形方面圖9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形分析圖9.6楔形體的變形分析9.4等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力2.物理關(guān)系方面圖9.7剪應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律圖9.8微剪力與扭矩之間的關(guān)系3.靜力學(xué)關(guān)系方面1.受扭的桿件是等直圓軸4.公式的適用范圍2.必須在彈性范圍之內(nèi)，即橫截面上的剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限。微面積dA與它到某一點(diǎn)的距離P的平方的乘積在整個截面A上的總和，稱為平面圖形對該點(diǎn)的極慣性矩。即：對于直徑為D的實(shí)心圓截面其抗扭截面系數(shù)為9.5極慣性矩和抗扭截面系數(shù)對于空心圓截面其抗扭截面系數(shù)為【例9.2】一直徑d=50mm的圓軸，軸上的扭矩為T=1kNgn，材料的剪切彈性模量G=80GPa。試求：(1)距離圓心p=20mm處的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變。(2)最大剪應(yīng)力和單位長度的扭轉(zhuǎn)角。解：(1) 計算截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)由得由胡克定律得(2)最大剪應(yīng)力為單位長度的扭轉(zhuǎn)角為：圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用兩個橫截面繞軸線發(fā)生的相對轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn)角來度量的。為了使圓軸在工作中不因強(qiáng)度缺乏而發(fā)生破壞，應(yīng)使軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力不超過材料的許用剪應(yīng)力。因此，圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件為單位長度的扭轉(zhuǎn)角為9.6圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件和剛度條件1.強(qiáng)度條件2.圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形在工程中，為了保證圓軸的正常工作，除了要滿足強(qiáng)度條件外，還要限制它的扭轉(zhuǎn)變形。3.剛度條件通常這種變形是通過限制圓軸的最大單位長度扭轉(zhuǎn)角不超過許用的單位長度扭轉(zhuǎn)角來實(shí)現(xiàn)的，即【例9.5】一空心圓截面軸，軸的內(nèi)徑d=85mm，外徑D=90mm，材料的許用剪應(yīng)力[τ]=60MPa，剪切彈性模量G=80GPa，軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角。試求軸所能傳遞的許用扭矩。的數(shù)值，可從有關(guān)手冊中查到。4.計算舉例解：(1) 強(qiáng)度方面因此，圓軸所能傳遞的許用扭矩為T=1.47kNgm圓軸的抗扭截面系數(shù)為由強(qiáng)度條件得(2)剛度方面圓軸的極慣性矩為由剛度條件得外力偶矩與功率、轉(zhuǎn)速之間的換算關(guān)系為：9.7小結(jié)1.外力偶矩、扭矩和扭矩圖本章主要研究圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力、應(yīng)力和變形及其強(qiáng)度和剛度的計算；薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力、剪應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律。2.薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、剪應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力沿筒壁均勻分布，其計算公式為：4.圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件