行列式的計(jì)算技巧竅門與方法情況總結(jié)(修改版)

-!行列式的若干計(jì)算技巧與方法內(nèi)容摘要行列式的性質(zhì)2.行列式計(jì)算的幾種常見技巧和方法2.1定義法2.2利用行列式的性質(zhì)2.3降階法2.4升階法（加邊法）2.5數(shù)學(xué)歸納法2.6遞推法行列式計(jì)算的幾種特殊技巧和方法3.1拆行（列）法3.2構(gòu)造法3.3特征值法幾類特殊行列式的計(jì)算技巧和方法4.1三角形行列式4.2“爪”字型行列式4.3“么”字型行列式4.4“兩線”型行列式4.5“三對(duì)角”型行列式4.6范德蒙德行列式行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用5.1降階法和遞推法5.2逐行相加減和套用范德蒙德行列式5.3構(gòu)造法和套用范德蒙德行列式1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換，行列式不變．即aaaaaa11121n1121n1aaaaaa.21222n1222n2aaaaaan1n2nn1n2nnn性質(zhì)2 一個(gè)數(shù)乘行列式的一行（或列），等于用這個(gè)數(shù)乘此行列式．即感謝閱讀aaaaaa11121n11121nkakakakaaai1i2ini1i2in.aaaaaan1n2nnn1n2nn性質(zhì)3如果行列式的某一行（或列）是兩組數(shù)的和，那么該行列式就等于兩個(gè)行列式的和，且這兩個(gè)行列式除去該行（或列）以外的各行（或列）全與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)的行（或列）一樣．即精品文檔放心下載aaKaaaKaaaKa1112M1n11121n11121nMMMMMMMMMMMbcbcKbcbbKbccKc.1122Mnn12n12nMMMMMMMMMMMaaKaaaKaaaKan1n2nnn1n2nnn1n2nn性質(zhì)4 如果行列式中有兩行（或列）對(duì)應(yīng)元素相同或成比例，那么行列式為零．即感謝閱讀aaaaaa11121n11121naaaaaai1i2ini1i2ink=0.kakakaaaai1i2ini1i2inaaaaaan1n2nnn1n2nn性質(zhì)5 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變．即aaaaaa11121n11121nacaacaacaaaai1k1i2k2inkni1i2in.aaaaaak1k2knk1k2knaaaaaan1n2nnn1n2nn性質(zhì)6 對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).即aaaaaa11121n11121naaaaaai1i2ink1k2knaaa=-aaa.k1k2kni1i2inaaaaaan1n2nnn1n2nn性質(zhì)7 行列式一行（或列）元素全為零，則行列式為零．即感謝閱讀aaaa11121,n-11n00000.aaaan1n2n,n-1nn2、行列式的幾種常見計(jì)算技巧和方法2.1定義法適用于任何類型行列式的計(jì)算，但當(dāng)階數(shù)較多、數(shù)字較大時(shí)，計(jì)算量大，有一定的局限性．感謝閱讀00010020例1計(jì)算行列式0300.4000解析：這是一個(gè)四級(jí)行列式，在展開式中應(yīng)該有4！24項(xiàng)，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不感謝閱讀等于零的項(xiàng)數(shù)就大大減少．具體的說(shuō)，展開式中的項(xiàng)的一般形式是a a a a ．顯然，如精品文檔放心下載1j1 2j2 3j3 4j4果j4，那么a1j10，從而這個(gè)項(xiàng)就等于零．因此只須考慮j4的項(xiàng)，同理只須考慮11j3,j2,j1的這些項(xiàng)，這就是說(shuō)，行列式中不為零的項(xiàng)只有aaaa，而2341423324143216，所以此項(xiàng)取正號(hào)．故00010020=14321aaaa24.03001423324140002.2利用行列式的性質(zhì)即把已知行列式通過(guò)行列式的性質(zhì)化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式．2.2.1化三角形法精品文檔放心下載上、下三角形行列式的形式及其值分別如下：aaaaa0001112131n11000aaaaa22232n21220aaa.00aaaaa，aaa333n1122nn3132331122nn000aaaaannn1n2n3nn1aaa112n例2計(jì)算行列式Dn1abaa112n1aaab12nn解析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線下方的元素與第一行元素對(duì)應(yīng)相同，故用第一行的1精品文檔放心下載倍加到下面各行便可使主對(duì)角線下方的元素全部變?yōu)榱悖矗夯癁樯先切危猓簩⒃撔辛惺降谝恍械?倍分別加到第2,3…（n1）行上去，可得感謝閱讀1aaKa12nD0b000bbKb.1Mn1MMMO12n000Kbn2.2.2連加法這類行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使該行（或列）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算．這類計(jì)算行列式的方法稱為連加法．感謝閱讀xmxx12n例3計(jì)算行列式Dxxmx.12nnxxxm12nnmxxxi1i2nnmxmx解：Dxi2nni1nmxxmxi1i2n1x2x1xxn2nn1xmxn0m0xm2nxmii1xmi100mx2nnxmmn1.ii12.2.3滾動(dòng)消去法當(dāng)行列式每?jī)尚械闹当容^接近時(shí)，可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍，這種方法叫滾動(dòng)消去法．精品文檔放心下載123n1n212n2n1例4計(jì)算行列式D321n3n2n2.nnn1n221解：從最后一行開始每行減去上一行，有123n1n123n1n1111120002D1111122002n1111111111123n1n1100001n1n12n2.2n211000111102.2.4逐行相加減對(duì)于有些行列式，雖然前n行的和全相同，但卻為零．用連加法明顯不行，這是我們可以嘗試用逐行相加減的方法．謝謝閱讀aa000110aa0022計(jì)算行列式D00a00例53.000aann11111解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得：感謝閱讀a000010a0002D00a003000a0123nn1n12n21nn1aa a1nn1aaa.精品文檔放心下載12n12n2.3降階法將高階行列式化為低階行列式再求解．2.3.1按某一行（或列）展開x10000x100解行列式D00x00.例6n000x1aaaaann1n221解：按最后一行展開，得Daxn1axn2axa.n12n1n2.3.2按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設(shè)在行列式D中任意選定了k1kn-1個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.即精品文檔放心下載M1A1M2A2MnAn，其中Ai是子式Mi對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式．精品文檔放心下載即0A?B，CBnnnnnn nnAC?B.nnnnA0Bnnnnnnaaaab例7解行列式Db.nb解：從第三行開始，每行都減去上一行；再?gòu)牡谌虚_始，每列都加到第二列，得aaaabD000n0000n1aaaabn200000000n1a00?n2n1abn2bn200.2.4升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式，再通過(guò)性質(zhì)化簡(jiǎn)算出結(jié)果，這種計(jì)算行列式的方法叫做升階法或加邊法．升階法的最大特點(diǎn)就是要找每行或每列相同的因子,那么升謝謝閱讀階之后，就可以利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0，這樣就達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果．精品文檔放心下載其中，添加行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．謝謝閱讀011111011111011例8解行列式D=.1110111110解：使行列式D變成n1階行列式，即1111100111D01011.0110101110再將第一行的1倍加到其他各行，得：111111100010100D=.1001010001從第二列開始，每列乘以1加到第一列，得：（n1)111101000D0010000010000011n1n1.2.5數(shù)學(xué)歸納法有些行列式，可通過(guò)計(jì)算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后提出假設(shè)，再利用數(shù)學(xué)歸納法精品文檔放心下載去證明．對(duì)于高階行列式的證明問(wèn)題，數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法．精品文檔放心下載cos100012cos100例9計(jì)算行列式D012cos00.n0002cos100012cos解:用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)nDcos.1時(shí)，1當(dāng)n2時(shí)，Dcos12cos21cos2.212cos猜想，Dcosn.n由上可知，當(dāng)n1，n2時(shí)，結(jié)論成立．感謝閱讀假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立．即：Dcosk.現(xiàn)證當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立．kcos100012cos100當(dāng)nk1時(shí)，D012cos00.k10002cos100012cos將D 按最后一行展開，得k1cos10012cos10D1k1k1?2cos012cos0k10002coscos10012cos101k1k012cos000012cosD D.k k1因?yàn)镈cosk，Dcosk1coskcoskcossinksin，kk1所以D2cosDDk1kk12coscoskcoskcossinksin感謝閱讀coskcossinksin謝謝閱讀cosk1.這就證明了當(dāng)nk1時(shí)也成立，從而由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)一切的自然數(shù)，結(jié)論都成立．即：Dcosn.謝謝閱讀n2.6遞推法技巧分析：若n階行列式D滿足關(guān)系式aDbDcD0.nn1n2則作特征方程ax2bxc0.①若0，則特征方程有兩個(gè)不等根，則DAxn1Bxn1．n12②若0，則特征方程有重根xx，則DAnBxn1．12n1在①②中，A，B均為待定系數(shù)，可令n1,n2求出．95000004950000例10計(jì)算行列式D0495000.n00004950000049解：按第一列展開，得D9D20D.n n1 n2即D9D20D0．nn1n2作特征方程x29x200.解得x4,x5.1 2則A?4n1B?5n1.nn1時(shí)，9AB；n2時(shí)，614A5B.解得A16,B25，所以5n14n1.n3、行列式的幾種特殊計(jì)算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及計(jì)算方法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個(gè)或若干個(gè)行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（列）是兩項(xiàng)之和，可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；二是所給行列式中行（列）沒(méi)有兩項(xiàng)之和，這時(shí)需保持行列式之值不變，使其化為兩項(xiàng)和．精品文檔放心下載3.1.2例題解析1aa0001211aa0023計(jì)算行列式D011a00例113.n0001aan1n00011an解：把第一列的元素看成兩項(xiàng)的和進(jìn)行拆列，得1aa00012101aa0023D0011a003n00001aan1n000011an1a000211aa0023011a0030001aan1n00011anaa0001201aa0023011a003.0001aan1n00011an上面第一個(gè)行列式的值為1，所以1aa00231a00D1a3n1001aan1n0011an1aD .n1這個(gè)式子在對(duì)于任何nn2都成立，因此有1aD1n11a1aD 1aaa1n1aaa謝謝閱讀1 2 n2 1 1 2 1 2 n1n1iia.ji1 j13.2構(gòu)造法3.2.1概念及計(jì)算方法有些行列式通過(guò)直接求解比較麻煩，這時(shí)可同時(shí)構(gòu)造一個(gè)容易求解的行列式，從而求出原行列式的值．感謝閱讀3.2.2例題解析111xxx12n求行列式Dx2x2x2.例1212nnxn2xn2xn212nxnxnxn12n解：雖然D不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式來(lái)間接求出D的精品文檔放心下載n n值．構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式，得1111xxxx12nx2x2x2x212nfx.xn2xn2xn2xn212nxn1xn1xn1xn112nxnxnxnxn12n將fx按第n1列展開，得fxAAxAxn1Axn，1,n12,n1n,n1n1,n1其中，xn1的系數(shù)為A1nn1DD.n,n1nn又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知xfxxxxxxxx.12nij1jin由上式可求得xn1的系數(shù)為xxxxx.12nij1jin故有.Dxxxxxn12nij1jin3.3特征值法3.3.1概念及計(jì)算方法設(shè)，，是n級(jí)矩陣A的全部特征值，則有公式謝謝閱讀1 2 nA.1 2 n故只要能求出矩陣A的全部特征值，那么就可以計(jì)算出A的行列式．精品文檔放心下載3.3.2例題解析例13 若，，是n級(jí)矩陣A的全部特征值，證明：A可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為謝謝閱讀1 2 n零．證明：因?yàn)锳，則1 2 nA可逆A000i1,2n.12ni即A可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零．4、幾類特殊的行列式的巧妙計(jì)算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念aaaaa1112131n11aaaaa22232n2122形如aa，aaa這樣的行列式，形狀像個(gè)三角形，333n313233aaaaannn1n2n3nn故稱為“三角形”行列式．4.1.2計(jì)算方法由行列式的定義可知，aaaaa0001112131n110aaaaa0022232n212200aaaaa,aaa0aaa.333n1122nn3132331122nn000aaaaannn1n2n3nn4.2“爪”字型行列式4.2.1概念abbbbbbaca012nn210nncaac1111形如ca，ac，ca，222222ca11caacabbbnnnn012nacnnac這樣的行列式，形狀像個(gè)“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺剑?2acb11bban2104.2.2計(jì)算方法利用對(duì)角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可歸納為：“爪”字對(duì)角消豎橫．感謝閱讀4.2.3例題解析a11111a計(jì)算行列式12，其中a0,i1,2,n.例14a3i1an分析：這是一個(gè)典型的“爪”字型行列式，計(jì)算時(shí)可將行列式的第i(i2,3,n.)列元素乘以謝謝閱讀1后都加到第一列上，原行列式可化為三角形行列式．感謝閱讀ia111an111111a1ai2ia解:120a02a331a0annn1aaaaa.23n1i2i4.3“么”字型行列式4.3.1概念caacbbbann01n210bacac11211形如ca，ba，ac，222222cac11nabbbbaac012nnnnnac

b bn n n n a b ，b a2 2 2c a b b a c2 1 1 1 1c a a c1 0 0 1

aabbbn012nccan11，ca，2222cannaccann10cab211ac，ab這樣的行列式，形狀像個(gè)“么”字，因此常2222accb11n1bbbaabn210nn稱它們?yōu)椤懊础弊中托辛惺剑?.3.2計(jì)算方法利用“么”字的一個(gè)撇消去另一個(gè)撇，就可以把行列式化為三角形行列式．此方法可以歸納為：“么”字兩撇相互消．謝謝閱讀注意：消第一撇的方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用a 消去c，然后再用a 消精品文檔放心下載n n n1去c ，依次類推．14.3.3例題解析1111b1計(jì)算n1階行列式D例15.n111b1n1bn解：從最后一行開始后一行加到前一行（即消去第一撇），得謝謝閱讀n1bii11nbDii1n11bb1n1nbnn1b12i.i14.4“兩線”型行列式4.4.1概念

nn1n1n2ii1ab00110ab0形如22這樣的行列式叫做“兩線型”行列式．000b00n1bann4.4.2計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可通過(guò)直接展開法求解．4.4.3例題解析ab00110ab0求行列式D22例16.n000b00n1bann解：按第一列展開，得ab0b002210Dabab00b1n122n11n00n100abnn1aaa1n1bbb.精品文檔放心下載12n12n4.5“三對(duì)角”型行列式4.5.1概念abab000001abab000001abab000形如這樣的行列式，叫做“三對(duì)角型”行00000abab000001ab列式．4.5.2計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可直接展開得到兩項(xiàng)遞推關(guān)系式，然后變形進(jìn)行兩次遞推或利用數(shù)學(xué)歸納法證明．精品文檔放心下載4.5.3例題解析abab000001abab0000例17求行列式D01abab000.n00000abab000001ab解：按第一列展開，得ab000001abab000DabD01abab00abDabD.abnn1n1n20000abab00001ab變形，得DaDbDaD.n n1 n1 n2由于Dab,D a2abb2，精品文檔放心下載1 2從而利用上述遞推公式得DaDbDaDb2DaDbn2DaDbn.nn1n1n2n2n321故DaDabn1bnbnaaDbn1bnan1Dan2b2nn1n21anan1babn1bn.感謝閱讀4.6Vandermonde行列式4.6.1概念1111aaaa123n形如a2a2a2a2這樣的行列式，成為n級(jí)的范德蒙德行列式．123nan1an1an1an1123n4.6.2計(jì)算方法1111aaaaa123n通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明，可得a2a2a2a2a123nij.1ji1an1an1an1an1123n4.6.3例題解析111xxx12n例18求行列式Dx2x2x2.12nnxn2xn2xn212nxnxnxn12n解：雖然D不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式來(lái)間接求出D的感謝閱讀n n值．構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式，得1111xxxx12nx2x2x2x212nfx.xn2xn2xn2xn212nxn1xn1xn1xn112nxnxnxnxn12n將fx按第n1列展開，得fxAAxAxn1Axn，1,n12,n1n,n1n1,n1其中，xn1的系數(shù)為A1nn1DD.n,n1nn又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知fxxxxxxxxx.12nij1jin由上式可求得xn1的系數(shù)為xxxxx,12nij1jin故有Dxxxxx.n12nij1jin5、行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用有些行列式如果只使用一種計(jì)算方法不易計(jì)算，這時(shí)就需要結(jié)合多種計(jì)算方法，使計(jì)算簡(jiǎn)便易行．下面就列舉幾種行列式計(jì)算方法的綜合應(yīng)用．感謝閱讀5.1降階法和遞推法2100012100計(jì)算行列式D01200例19.n0002100012分析：乍一看該行列式，并沒(méi)有什么規(guī)律．但仔細(xì)觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn)，按第一行展開便可得到n1謝謝閱讀階的