河南省商丘名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考試卷 數(shù)學(xué)

2022-2023學(xué)年上期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若直線的方向向量，則直線的斜率是（）A. B. C.3 D.2.橢圓的離心率是（）A. B. C. D.3.若曲線表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4.如圖，在平行六面體中，（）A. B. C. D.5.已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（）A.2 B. C.2或 D.2或6.設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則（）A.3 B. C.3或 D.或17.直三棱柱中，為等邊三角形，，是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.“直線與直線相互垂直”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知直線過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（）A. B. C. D.10.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.11.過圓內(nèi)一點(diǎn)作直線交圓于，兩點(diǎn)，過，分別作圓的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（）A. B.C. D.12.如圖，四棱雉中，底面為平行四邊形，且，，，若二面角為60°，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且圓上存在一點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的值為______.14.若，，，則的外接圓面積為______.15.已知點(diǎn)，，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是______.16.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是______.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本題滿分10分）已知直線經(jīng)過點(diǎn).（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若的方程是，直線與相切，求直線的方程.18.（本題滿分12分）如圖，在四棱雉中，底面，底面為梯形，，，且，.（1）若點(diǎn)F為上一點(diǎn)，且，證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.（本題滿分12分）一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后，恰好穿過點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.20.（本題滿分12分）圓.（1）若圓與軸相切，求圓的方程；（2）已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)A，B.問：是否存在實(shí)數(shù)，使得.若存在，求出實(shí)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由.21.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，.（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值.22.（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，如圖，過點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線和的斜率為，，證明：為定值，并求出該定值.2022-2023學(xué)年上期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.D【解析】因?yàn)?，所?故選D.2.B【解析】，故選B.3.B【解析】由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選B.4.B【解析】連接、，可得，又，所以.故選B.5.D【解析】因?yàn)?，，兩點(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選D.6.C.【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線的一般方程為，則由已知得，解得或，故選C.7.B【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)D，以D為原點(diǎn)，，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則,,,所以，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面.所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為.故選B.8.B【解析】因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，所以.當(dāng)時(shí)，直線與直線相互垂直，而當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“直線與直線相互垂直”是“”的必要而不充分條件，故選B.9.【解析】因?yàn)?，，所以，則,，由點(diǎn)到直線的距離公式得，故選A.10.D【解析】如下圖所示，設(shè)，則，，所以，，所以，由橢圓定義可得，∴，∴，所以，，所以，為等腰直角三角形，可得，∴，所以，該橢圓的離心率為.故選D.11.A【解析】設(shè)，則以為直徑的圓，即①，因?yàn)?，是圓O的切線，所以，，所以A，B在圓M上，所以AB是圓O與圓M的公共弦，又因?yàn)閳A②，所以由①②得直線的方程為：，又點(diǎn)滿足直線方程，所以，即.故選A.12.B【解析】取中點(diǎn)，連接，，如圖，則由已知得，，所以為二面角的平面角，所以，又，，中，，，所以，由，，平面，得平面，又平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以，，所以，以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，平面的一個(gè)法向量是，，所以與平面所成角的正弦值為.故選B.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 14. 15. 16.213.【解析】∵點(diǎn)M在圓上，且，∴直線過圓心，∴，解得.14.【解析】如圖，計(jì)算斜率得，即，所以是直角三角形.又，故面積：.15.【解析】橢圓，所以A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)M在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，若在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)，有.顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為.16.【解析】當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；由圖可知，曲線C是四個(gè)半徑為的半圓圍成的圖形，因?yàn)榈街本€的距離為，所以，當(dāng)d最小時(shí)，易知在曲線C的第一象限內(nèi)的圖象上，因?yàn)榍€C的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而.即.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.【解析】（1）因?yàn)橹本€l與直線垂直，設(shè)直線l的方程為，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，解得.所以直線l的方程為.……4分（2）的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，圓心，半徑，……5分當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l的方程為，圓心C到直線l的距離為2，所以直線l與相切，符合題意；……6分當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程是，即，由直線l與相切，得，解得，……8分所以直線l的方程是，即.……9分綜上所述，直線l的方程是或.……10分18.【解析】（1）作交于，連接.∵，∴，又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面……6分（2）∵平面，平面，∴又，，∴則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，∴，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，∴設(shè)直線與平面所成角為∴.……12分19.【解析】（1）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，（由反射的性質(zhì)，可知點(diǎn)F，P，三點(diǎn)共線）則且，解得，，即，易得直線方程為，由，解得.……6分（2）因?yàn)?，根?jù)橢圓定義，得，所以.又，所以.所以橢圓C的方程為.……12分20.【解析】（1）由得，……2分因?yàn)閳A與y軸相切，所以，解得或4，……3分故所求圓C的方程為或.……4分（2）令得，解得或，而，即，.……5分假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，設(shè)，，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，由得，……6分根據(jù)韋達(dá)定理有，……7分又，即、的斜率互為相反數(shù)，……8分∴，即，即，所以，解得.……10分當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，仍然滿足，即NA、NB的斜率互為相反數(shù).……11分綜上所述，存在，使得.……12分21.【解析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖1所示.在長(zhǎng)方體中，，，所以四邊形為平行四邊形，則，，而，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，∴，∴，因此點(diǎn)在平面內(nèi).……6分（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則、、、，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，