湖北省四地七?？荚嚶?lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題

2022年秋“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算的定義和運(yùn)算法則可直接求得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.2.已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，，圓錐的表面積為，，故圓錐的底面半徑為，故選B.考點(diǎn)：圓錐的幾何性質(zhì)及側(cè)面積公式.3.己知直線l經(jīng)過(guò)，且在x軸上的截距的取值范圍為，則直線l的斜率k的取值范圍為（）A.或 B.或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)在x軸上的截距的取值范圍先求出直線在端點(diǎn)處的斜率，再根據(jù)斜率變化趨勢(shì)得出范圍.【詳解】由直線l在x軸上的截距的取值范圍為可知直線過(guò)的斜率為，過(guò)點(diǎn)的斜率，且過(guò)點(diǎn)的斜率不存在；故線l的斜率或.故選:A4.如圖在平行六面體中，相交于，為的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則，，進(jìn)而可得答案.【詳解】由已知得，，故選：C5.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的相同骰子，則兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和為的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先確定所有可能結(jié)果種數(shù)，列舉出點(diǎn)數(shù)和為的情況，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】同時(shí)拋擲兩枚骰子，所有可能的結(jié)果有種；其中點(diǎn)數(shù)和為的有，，，，共種情況，點(diǎn)數(shù)和為的概率.故選：C.6.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】圓C的圓心為，直線l過(guò)定點(diǎn)，故直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)范圍為，結(jié)合圓的對(duì)稱性，再排除斜率不存在的直線l的情況即可求【詳解】圓的圓心為，直線l化為，則直線l過(guò)定點(diǎn)，∵，故直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)范圍為，由圓的對(duì)稱性，故整數(shù)弦長(zhǎng)的直線條數(shù)為11條.又過(guò)定點(diǎn)且垂直于x軸的直線，即，被圓截得的弦長(zhǎng)為，不合題意，故所求直線l的條數(shù)為10條.故選：A7.O是的外心，，，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解，注意討論是否在上.【詳解】當(dāng)在上，則為的中點(diǎn)，滿足，符合題意，∴，則；當(dāng)不在上，取的中點(diǎn)，連接，則，則，同理可得：∵，，聯(lián)立可得，解得，故選：D.8.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與橢圓交于AB兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，由余弦定理可得的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)邊的關(guān)系得為直角三角形，根據(jù)焦點(diǎn)三角形即可得關(guān)系.詳解】設(shè)則，所以由于，所以為銳角，故，在中，由余弦定理得，因此,故為直角三角形，所以，由的周長(zhǎng)為，所以故，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo).下圖是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（單位：）的折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)大于平均數(shù)B.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是32C.這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33D.這10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差【答案】BC【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷中位數(shù)，根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算整組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與前4天、后4天的平均數(shù)，再由方差公式計(jì)算前4天、后4天的方差.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，則中間兩個(gè)數(shù)為31，33，所以中位數(shù)為，平均數(shù)為，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；所有數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為33，所以眾數(shù)為33，C正確；前4天的平均數(shù)為，后4天的平均數(shù)為，所以前4天的方差為，后4天的方差為，因?yàn)椋郧?天的方差大于后4天的方差，D錯(cuò)誤.故選：BC10.某次智力競(jìng)賽的一道多項(xiàng)選擇題，要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得10分，部分選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分.”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會(huì)做，下列表述正確的是（）A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得5分的概率是B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得10分的概率是C.丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是D.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)各項(xiàng)中的隨機(jī)事件，計(jì)算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出相應(yīng)的概率后可得正確的選項(xiàng).【詳解】甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，共有4個(gè)基本事件，分別為，隨機(jī)事件“若能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率為，故A正確；乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，共有6個(gè)基本事件，分別：，隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率為，故B正確；丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)（丙至少選擇一項(xiàng)），由A、B中的分析可知共有基本事件種，分別為：選擇一項(xiàng)：；選擇兩項(xiàng)：；選擇三項(xiàng)或全選：，，隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率為，故C正確；丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，由C的分析可知：共有基本事件11個(gè)，隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率為，故D錯(cuò)；故選：ABC.11.已知點(diǎn)，且點(diǎn)P在圓上，C為圓心，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.以AC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為：C.當(dāng)最大時(shí)，的面積為D.的面積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】由求得最大值判斷A，求出以AC為直徑的圓的方程與圓C的方程相減得公共弦所在直線方程，判斷B，由圓心在直線上，確定當(dāng)時(shí)，直線距離最大為圓半徑，從而求得的面積的最大值判斷D，當(dāng)最大時(shí)，是圓的切線，不可能，這樣可判斷C．【詳解】由已知圓心為，半徑為，，，即在圓外，在圓內(nèi)，，當(dāng)且僅當(dāng)是的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值是，A錯(cuò)；中點(diǎn)為，圓方程為，此方程與圓方程相減得并化簡(jiǎn)得，即為兩圓公共弦所在直線方程，B正確；直線的方程為，即，圓心在直線上，到直線的距離的最大值等于圓半徑，，所以的面積的最大值為，D正確；當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，，而最大時(shí)，是圓的切線，此時(shí)，不可能有，因此C錯(cuò)誤．故選：BD．12.在中，所對(duì)的邊為，，邊上的高為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B. C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)邊上的高為，利用面積橋可知A正確；利用余弦定理和可整理得到，則，知B正確；將轉(zhuǎn)化為，利用三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)整理得，由正弦函數(shù)值域可知CD正誤.【詳解】設(shè)邊上的高為，則，，，即，A正確；由余弦定理得：，又，，，B正確；，，，，；，，，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.樣本數(shù)據(jù)8，7，6，5，4，3，2，1的分位數(shù)是______.【答案】6.5##【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橐还灿袀€(gè)數(shù)據(jù)，所以有，這個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為：，所以這組數(shù)據(jù)的的分位數(shù)是，故答案為：14.向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影的定義,應(yīng)用在方向上的投影公式求解可得出答案．【詳解】根據(jù)投影的定義可得：在方向上的投影向量為：．故答案為：15.己知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，該橢圓被直線所截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】利用待定系數(shù)法，結(jié)合點(diǎn)差法、橢圓中關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以該橢圓的焦點(diǎn)在縱軸上，因此可設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，且，設(shè)該橢圓被直線所截得弦為，設(shè)，把代入直線方程中，得，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此有，由，因?yàn)樵跈E圓上，所以有，，得由，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：16.已知在菱形中，，，平面外一點(diǎn)滿足：，，設(shè)，過(guò)作交于，平面與線段交于點(diǎn)，則四棱錐體積的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用、可構(gòu)造方程組求得，由此可得為中點(diǎn)，由線面平行的性質(zhì)定理可知，得到為中點(diǎn)，利用體積橋可知，則當(dāng)平面時(shí)，體積最大，結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】四邊形為菱形，，，，，，，又，，整理得：；，，整理可得：；，解得：，，，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，為中點(diǎn)；，，，當(dāng)平面時(shí)，取得最大值；，，，又，，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（1）設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，，，，若三點(diǎn)共線，求的值.（2）己知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求直線的方程；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，可構(gòu)造方程組求得的值；（2）設(shè)，由此可得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入中線方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)；由可求得方程，與方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)可求得直線方程.【詳解】（1）若三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，，又，，解得：；（2）由題意知：在直線上，則可設(shè)，中點(diǎn)為，，解得：，；，，直線方程為：，即；由得：，即；，則直線方程為：，即.18.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（1）求角B的大??；（2）若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且BD是的平分線，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系，結(jié)合兩角和的正弦公式、正弦定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】，又，則，即，又，則；【小問(wèn)2詳解】由BD平分得：則有，即在中，由余弦定理可得：又，則聯(lián)立可得解得：（舍去）故.19.某廠為了提高產(chǎn)品的生產(chǎn)效率，對(duì)該廠的所有員工進(jìn)行了一次業(yè)務(wù)考核，從參加考核的員工中，選取50名員工將其考核成績(jī)分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，（1）利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)本次考核成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；（2）己知考核結(jié)果有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中考核成績(jī)不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，不少于80且低于90分時(shí)為良好等級(jí)，其余成績(jī)?yōu)橐话愕燃?jí).若從獲得優(yōu)秀和良好等級(jí)的兩組員工中，隨機(jī)抽取5人進(jìn)行操作演練，其中考核獲得良好等級(jí)的員工每人每小時(shí)大約能加工80件產(chǎn)品，優(yōu)秀員工每人每小時(shí)大約能加工90件產(chǎn)品，求本次操作演練中，產(chǎn)品的人均生產(chǎn)量不少于84件的概率.【答案】（1）眾數(shù)為75，中位數(shù)為67，平均數(shù)為66.8（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖即可求解；(2)先根據(jù)頻率分布直方圖分別求出考核良好和優(yōu)秀的人數(shù)，根據(jù)條件抽取對(duì)應(yīng)的人，然后根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)為75中位數(shù)設(shè)為m，則，平均【小問(wèn)2詳解】考核良好的人數(shù)為：人，可記為A，B，C，D；考核優(yōu)秀的人數(shù)為：人，可記為a，b，c；設(shè)考核優(yōu)秀的人數(shù)為n，，考核優(yōu)秀的3人中最多1人不參加操作演練.則從7人中任取2人不參加演練，有，,，共21種情況；考核優(yōu)秀的3人中最多1人不參加演練的情況有：，，共18種情況；∴本次操作演練中，產(chǎn)品的人均生產(chǎn)量不少于84件的概率.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與直線：，設(shè)圓的半徑為1，圓心在直線上．（1）若點(diǎn)在圓上，求圓的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件設(shè)出圓的方程，然后將代入圓的方程即可求解；(2)結(jié)合已知條件求出為圓：與圓的公共點(diǎn)，然后利用兩圓的位置關(guān)系求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A心在直線：上，不妨設(shè)圓心的坐標(biāo)，因?yàn)閳A的半徑為1，所以圓的方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以或，故圓的方程為：或.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，則，又由，，故，化簡(jiǎn)得，從而在以圓心，半徑為的圓上，故為圓：與圓：的公共點(diǎn)，即圓與圓：相交或相切，從而，即或，故圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.21.如圖，在四棱錐中，平面平面，是的平分線，且.（1）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，證明：平面；（2）已知二面角的大小為，求平面和平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解析】【分析】(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接,證明即可；(2)以的中點(diǎn)為為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解決問(wèn)題.【小問(wèn)1