2024屆五年高考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練：專題三 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1頁(yè)專題三一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)9導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義題組一、選擇題1.[2023全國(guó)卷甲，5分]曲線y=exx+1在點(diǎn)A.y=e4x B.y=e2[解析]由題意可知y'=exx+1-exx+12=xexx+12，則曲線y=2.[2021新高考卷Ⅰ，5分]若過點(diǎn)a,b可以作曲線y=exA.eb<a B.ea<b[解析]設(shè)切點(diǎn)x0,y0，y0>0，則切線方程為y-b=ex0x-a.由y0-b=ex0x0-a,y0=ex0得ex01-x0+a=b,則由題意知關(guān)于x0的方程ex01-x0+a=b有兩個(gè)不同的解.設(shè)fx=ex1-所以函數(shù)fx=ex1-x+a的大致圖象如圖所示，因?yàn)閒x的圖象與直線【速解】過點(diǎn)a,b可以作曲線y=ex的兩條切線，則點(diǎn)a,b在曲線y=e3.[2020全國(guó)卷Ⅰ，5分]函數(shù)fx=x4-2x3的A.y=-2x-1 B.y=-2x+[解析]∵fx=x4-2x3,∴f'x=4x3-6x2【方法技巧】曲線y=fx在點(diǎn)x0,fx0處的切線方程為y-fx04.[2019全國(guó)卷Ⅲ，5分]已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)A.a=e，b=-1 B.a=e，b=1 C.a=e-1[解析]因?yàn)閥'=aex+lnx+1，所以y'|x=1=a【方法技巧】已知曲線在某點(diǎn)處的切線方程求參數(shù)的關(guān)鍵是用“方程思想”來(lái)破解，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程，通過解方程求出參數(shù)的值．二、填空題5.[2022新高考卷Ⅱ，5分]曲線y=lnx過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為y=1[解析]先求當(dāng)x>0時(shí)，曲線y=lnx過原點(diǎn)的切線方程，設(shè)切點(diǎn)為x0,y0，則由y'=1x，得切線斜率為1x0，又切線的斜率為y0x0，所以1x0=y0x0，解得y0=16.[2022新高考卷Ⅰ，5分]若曲線y=x+aex[解析]因?yàn)閥=x+aex，所以y'=x+a+1ex.設(shè)切點(diǎn)為Ax0,x0+aex0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意得，切線斜率kOA=y'|x=x7.[2021全國(guó)卷甲，5分]曲線y=2x-1x+2[解析]y'=2x-1x+2'=2x+28.[2021新高考卷Ⅱ，5分]已知函數(shù)fx=ex-1，x1<0，x2>0，函數(shù)fx的圖象在點(diǎn)Ax1,fx[解析]fx=∣ex-1∣=ex-1,x≥0,1-ex,x<0,則當(dāng)x>0時(shí)，f'x=ex，f'x2=ex2；當(dāng)x<0時(shí)，f'x=-ex，f'x1=-ex1.因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象在點(diǎn)A,B處的兩條切線互相垂直，所以-ex1ex2=-9.[2020全國(guó)卷Ⅲ，5分]設(shè)函數(shù)fx=exx+a.若[解析]由于f'x=exx+10.[2019江蘇，5分]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)-e,-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A[解析]設(shè)Ax0,lnx0，又y'=1x,則曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線方程為y-lnx0=1x0三、解答題11.[2022全國(guó)卷甲，12分]已知函數(shù)fx=x3-x，gx=x2+a（1）若x1=-1,[答案]當(dāng)x1=-1時(shí)，f-1由fx=x3-所以切線斜率k=f所以切線方程為y=2x+1將y=2x+2代入y=x2+a，得解得a=3（2）求a的取值范圍.[答案]由fx=x3-所以切線斜率k=f所以切線方程為y-x13-將y=3x12-1x由切線與曲線y=gx相切，得整理，得4a=9令hx=9x4由h'x=0，得hx,h'x隨xx-∞,-1-1-100,11,+∞h'-0+0-0+hx↘極小值↗極大值↘極小值↗由上表知，當(dāng)x=-13時(shí)，hx當(dāng)x=1時(shí)，hx取得極小值易知當(dāng)x→-∞時(shí)，hx→+∞,當(dāng)x→+∞時(shí)，hx→+∞，所以函數(shù)所以由4a∈[-4,+∞)，得故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞)12.[2021全國(guó)卷乙，12分]已知函數(shù)fx（1）討論fx[答案]由題意知fx的定義域?yàn)镽，f'x=3x2①當(dāng)a≥13時(shí)，Δ≤0,f'x≥②當(dāng)a<13時(shí)，Δ>0,令f'x=0令f'x>0，則x<x1或x所以fx在-∞,x1上單調(diào)遞增，在x1,x綜上，當(dāng)a≥13時(shí)，fx在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<13時(shí)，fx在-∞,1（2）求曲線y=fx過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y[答案]記曲線y=fx過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為l，切點(diǎn)為因?yàn)閒'x0=3x0由l過坐標(biāo)原點(diǎn)，得2x03-x02-1所以切線l的方程為y=1令x3-x2+ax+1所以曲線y=fx過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=fx的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為13.[2020新高考卷Ⅰ，12分]已知函數(shù)fx[答案]fx的定義域?yàn)?,+∞，f（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=fx[答案]當(dāng)a=e時(shí),fx=ex-lnx+1,f'1=e-1直線y=e-1x+2在x軸，因此所求三角形的面積為2e-1（2）若fx≥1,求a[答案]當(dāng)0<a<1當(dāng)a=1時(shí)，fx=ex-1-lnx,f'x=ex-1-1x.當(dāng)x∈0,當(dāng)a>1時(shí)，f綜上，a的取值范圍是[1,+∞)【方法技巧】不等式問題中，要會(huì)放縮，但不能放縮得過大或者過小，常見的放縮形式有：14.[2020北京，15分]已知函數(shù)fx（Ⅰ）求曲線y=fx的斜率等于[答案]函數(shù)fx=12-x2的定義域?yàn)镽,f'x=-2x,令f∴曲線y=fx的斜率等于-2的切線方程為y-11（Ⅱ）設(shè)曲線y=fx在點(diǎn)t,ft處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S[答案]由（Ⅰ）知f'x=-2x,則f't=-2t，又ft=12-t2，所以曲線y=f令x=0,得y=t2+12,記A0,t2+12，O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OA=t2+12∴St∵St為偶函數(shù)，∴僅考慮t>當(dāng)t>0時(shí),S則S't令S't=0,∴當(dāng)t變化時(shí)，S't與St0,22,+∞S'-0+St↘極小值↗∴St考點(diǎn)10導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值題組一一、選擇題1.[2023新高考卷Ⅱ，5分]已知函數(shù)fx=aex-lnx在區(qū)間1A.e2 B.e C.e-1[解析]因?yàn)楹瘮?shù)fx=aex-lnx，所以f'x=aex-1x.因?yàn)楹瘮?shù)fx=aex-lnx在1,2單調(diào)遞增，所以f'x≥0在1,2恒成立，即aex-1x≥0在1,2恒成立，易知2.[2022全國(guó)卷甲，5分]當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)fx=alnx+A.-1 B.-12 C.[解析]由題意知，f1=aln1+b=b=-2.因?yàn)閒'x3.[2022全國(guó)卷乙，5分]函數(shù)fx=cosx+x+1A.A.-π2,π2 B.-3π2,π2 C.-π[解析]fx=cosx+x+1sinx+1,x∈[0,2π]，則f'x=-sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx4.[2021全國(guó)卷乙，5分]設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)fxA.a<b B.a>b C.ab[解析]因?yàn)楹瘮?shù)fx=ax令f'x=0，結(jié)合a≠0（1）當(dāng)a>0時(shí)，若x=a為函數(shù)fx的極大值點(diǎn)，則a<a+2b3,（2）當(dāng)a<0時(shí)，若x=a為函數(shù)fx的極大值點(diǎn)，則a>a+2b3,綜上，a>0且b>a滿足題意，a<0且b<a也滿足題意.據(jù)此，可知必有【速解】易知a與b是fx圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因?yàn)閤=a為函數(shù)fx的極大值點(diǎn)，所以當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)題意畫出函數(shù)fx當(dāng)a<0時(shí)，根據(jù)題意畫出函數(shù)fx的大致圖象，如圖2所示，觀察可知a>綜上，可知必有ab>a2成立5.[2023新高考卷Ⅱ，5分]（多選題）若函數(shù)fx=alnA.bc>0 B.ab>0 C.b[解析]因?yàn)楹瘮?shù)fx=alnx+bx+cx2a≠0，所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，f'x=ax2-bx-二、填空題6.[2023全國(guó)卷乙，5分]設(shè)a∈0,1,若函數(shù)fx=ax+1+a[解析]由題意得當(dāng)x>0時(shí)，f'x=axlna+1+a因?yàn)閍∈0,1,所以ln1+a>0,1a+1>1，所以gx在0,+∞上單調(diào)遞增，故只需滿足g0≥0，即lna+ln7.[2022全國(guó)卷乙，5分]已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)fx=2ax-ex2([解析]解法一由fx=2ax-ex2，得f'x=2axlna-2ex.令f'x=0，得axlna=ex，因?yàn)閍>0且a≠1,所以顯然x≠0，所以e=axlnax.令gx=axlnax，則g'x=axlna2x-axlnax2=axlna[lnax-1]x2.令g'x=0，得x=1lna.故當(dāng)x>1lna時(shí)，g'x>0解法二由題意,f'x=2axlna-2ex,根據(jù)fx有極小值點(diǎn)x=x1和極大值點(diǎn)x=x2可知，x=x1,x由f'x=0可得ax?lna=ex.①若a>1，則當(dāng)x→+∞時(shí)，f'x→+∞，不符合題意，舍去.②若0<a<1，令gx=axlna,hx=ex,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)gx和hx的圖象，如圖所示.因?yàn)閒'x=0有兩個(gè)不同的根，所以gx與hx的圖象需要有兩個(gè)交點(diǎn)，則過原點(diǎn)且與gx的圖象相切的直線l的斜率k<e.不妨設(shè)直線8.[2021新高考卷Ⅰ，5分]函數(shù)fx=2x-[解析]函數(shù)fx=2x-1①當(dāng)x>12時(shí)，（提示：對(duì)fx=2x-1當(dāng)12<x<1時(shí)，f'x<0②當(dāng)0<x≤12時(shí)，f所以此時(shí)fxmin綜上，fxmin三、解答題9.[2022全國(guó)卷乙，12分]已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f[答案]當(dāng)a=0時(shí)，f所以f'若x∈0,1，則f若x∈1,+∞，則f'所以fxmax（2）若fx恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍[答案]由fx=ax-1x當(dāng)a=0時(shí)，由（1）可知，f當(dāng)a<0時(shí)，f若x∈0,1，f若x∈1,+∞，f'所以fxmax=f1當(dāng)a>0時(shí)，f'x=ax-1ax-1x2，若a=若a>1，fx在0,1a,1,+∞上單調(diào)遞增，在1a,1上單調(diào)遞減，因?yàn)閒1=a-1>0，所以f1a若0<a<1，fx在0,1,1a,+∞上單調(diào)遞增，在1,1a上單調(diào)遞減，因?yàn)閒1=a-1<0，所以f1a綜上，若fx恰有一個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為0,+∞10.[2021全國(guó)卷甲，12分]設(shè)函數(shù)fx=a2（1）討論fx的單調(diào)性[答案]由題意，fx的定義域?yàn)?,+∞f'則當(dāng)x>1a時(shí)，f'x>0，fx單調(diào)遞增；當(dāng)0故函數(shù)fx在0,1a上單調(diào)遞減,在（2）若y=fx的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，求a[答案]由（1）知函數(shù)fx的最小值為f1a，要使y=fx的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，只需fx的最小值恒大于0，即f1a>所以a的取值范圍為1e,+∞【方法技巧】用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：首先，確定函數(shù)的定義域；其次，求導(dǎo)函數(shù)f'x；最后，解不等式f'x>0，得函數(shù)fx11.[2021北京，15分]已知函數(shù)fx（Ⅰ）若a=0，求曲線y=fx因?yàn)閒x=3-2xx2[答案]若a=0，則f'1代入y-f1=f所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f（Ⅱ）若函數(shù)fx在x=-1處取得極值，求f[答案]由函數(shù)fx在x=-1處取得極值可知f'-1=此時(shí)fx=3-2x當(dāng)x∈-∞,-1∪4,+∞時(shí)，f'x>0當(dāng)x∈-1,4時(shí)，f'x又當(dāng)x→-∞時(shí),fx→0，當(dāng)x→+∞所以fx的最大值為f-1=1，f12.[2020全國(guó)卷Ⅱ，12分]已知函數(shù)fx（1）若fx≤2x+c[答案]設(shè)hx=fx-2x其定義域?yàn)?,+∞，h'當(dāng)0<x<1時(shí)，h'x>0；當(dāng)x>1時(shí)，h'x<0.所以hx在區(qū)間0,故當(dāng)且僅當(dāng)-1-c≤0,即c所以c的取值范圍為[-1,+∞)（2）設(shè)a>0，討論函數(shù)gx[答案]gx=fx-g'x由（1）知c=-1時(shí)hx=2lnx-故當(dāng)x∈0,a∪a,+∞所以gx在區(qū)間0,a,a13.[2019全國(guó)卷Ⅲ，12分]已知函數(shù)fx（1）討論fx的單調(diào)性[答案]f'令f'x=0，得x若a>0，則當(dāng)x∈-∞,0∪當(dāng)x∈0,a3故fx在-∞,0,a3,+∞單調(diào)遞增，在若a=0，則fx在-∞,+∞若a<0，則當(dāng)x∈-∞,a當(dāng)x∈a3,0故fx在-∞,a3,0,+∞單調(diào)遞增，在（2）是否存在a，b，使得fx在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，[答案]滿足題設(shè)條件的a,b存在.i當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知，fx在所以fx在區(qū)間[0,1]的最小值為f0此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1,2-a+b=1ii當(dāng)a≥3時(shí)，由（1）知，fx在所以fx在區(qū)間[0,1]的最大值為f0此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1iii當(dāng)0<a<3時(shí)，由（1）知，fx在[0,1]的最小值為f若-a327+b=-1,b=1若-a327+b=-1,2-a+b=1,則綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，b=-1或a=4,b=1時(shí)，fx題組二一、選擇題1.[2022新高考卷Ⅰ，5分]設(shè)a=0.1e0.1,b=19A.a<b<c B.c<b<[解析]設(shè)ux=xex0<x≤0.1,vx=x1-x0<x≤0.1,wx=-ln1-x0<x≤0.1，則當(dāng)0<x≤0.1時(shí)，ux>0，vx>0，wx>0.①設(shè)fx=ln[ux]-ln[vx]=lnx+x-[lnx-ln1-x]=x+ln1-x0<x≤0.1，則f'x=1-11-x=xx-1<0在(0,【速解】a=0.1e0.1≈0.11+0.1+【方法技巧】當(dāng)x→0時(shí)，ex≈1+2.（2021全國(guó)卷乙，5分）設(shè)a=2ln1.01,b=lnA.a<b<c B.b<c<[解析]b-c=ln1.02-則b-c=f0.02，f'x=1x+1-221+2x=1+2x-x+11a-c=2ln1.01-1.04+1,設(shè)gx=2lnx+1-1+4x+1，則a-c=g0.01，g'x=二、解答題3.[2023新高考卷Ⅱ，12分]（1）證明:當(dāng)0<x<1[答案]令hx=則h'x令px=1-2x-cos所以px即h'x單調(diào)遞減,又所以當(dāng)0<x<1時(shí)，h'x所以當(dāng)0<x<1時(shí)，hx<令gx=sin則g'x所以gx單調(diào)遞減,又g0所以當(dāng)0<x<1時(shí)，gx<綜上，當(dāng)0<x<1（2）已知函數(shù)fx=cosax-ln1-x2,若x=0[答案]解法一由fx=cos得fx=f-xf'x令tx=-則t'x令nx=-a2cos當(dāng)a=0當(dāng)0<x<1時(shí)，f'x>0,fx所以x=0是fx當(dāng)a>0時(shí)，取π2a與1中的較小者，為則當(dāng)0<x<m所以nx即t'x在0所以t'x①當(dāng)2-a2≥0,即0<所以tx在0,m所以tx>t0=0那么fx在0,m由偶函數(shù)性質(zhì)知fx在-m,故x=0是fx②當(dāng)2-a2<0當(dāng)π2a<1，即因?yàn)閠'0<0所以t'x在0,m且當(dāng)0<x<x1時(shí),t'因?yàn)閠0=0,所以當(dāng)0<x<x1所以fx在0,x因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以fx在-故可得x=0是fx當(dāng)π2a>1，即因?yàn)閠'0<0所以t'x在0,m且當(dāng)0<x<x2時(shí)，t'因?yàn)閠0=0,所以當(dāng)0<x<x2所以fx在0,x因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以fx在-故可得x=0是fx當(dāng)a<0時(shí)，由偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得a綜上所述，a的取值范圍是-∞,-2∪解法二由fx=cosax-ln1令tx=-則t'x由x=0是fx的極大值點(diǎn),易得f'0=0，t'0<0,（二級(jí)結(jié)論：已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x,令gx=f'x,若x=x0為f所以2-a解得a<-2或a所以a的取值范圍是-∞,-2∪4.[2022北京，15分]已知函數(shù)fx（Ⅰ）求曲線y=fx在點(diǎn)0[答案]f'x=ex?ln1+因此，曲線y=fx在點(diǎn)0,f（Ⅱ）設(shè)gx=f'x，討論函數(shù)[答案]gx=則g'x設(shè)hx=ln1+x則h'x故hx在[0故hx≥因此g'x>0對(duì)任意的x∈[故gx在[0,+∞)（Ⅲ）證明:對(duì)任意的s,t∈0,+∞[答案]設(shè)ms=則m's由（Ⅱ）知gx在[0故當(dāng)s>0，t>0時(shí)，m's=gs故ms>因此，對(duì)任意的s,t∈0,+∞，有5.[2019全國(guó)卷Ⅰ，12分]已知函數(shù)fx=sinx-ln1+x（1）f'x在區(qū)間[答案]設(shè)gx=f'x,則當(dāng)x∈-1,π2時(shí),g'x單調(diào)遞減,而g'0>0,g'π則當(dāng)x∈-1,α?xí)r,g'x>0所以gx在-1,α單調(diào)遞增,在α,π2單調(diào)遞減,故gx在-1,π（2）fx有且僅有2個(gè)零點(diǎn)[答案]fx的定義域?yàn)?1i當(dāng)x∈(-1,0]時(shí),由（1）知,f'x在-1,0單調(diào)遞增,而f'0=0,又f0=0,從而x=0是fxii當(dāng)x∈(0,π2]時(shí)，由（1）知,f'x在0,α單調(diào)遞增,在α,π2單調(diào)遞減,而f'0=0,f'π2<0故fx在0,β單調(diào)遞增,在β又f0=0,所以當(dāng)x∈(0,π2]時(shí),fx>0.iii當(dāng)x∈(π2,π]時(shí)，f'x<0,所以fx在π2,π單調(diào)遞減.而fπiv當(dāng)x∈π,+∞時(shí)，lnx+1>1,所以fx<0綜上，fx有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題的常用方法是借助導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值后，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)存在定理來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．6.[2019北京，13分]已知函數(shù)fx（Ⅰ）求曲線y=fx[答案]由fx=14x令f'x=1,即34x2-又f0=0,所以曲線y=fx的斜率為1的切線方程是y=x即y=x與y（Ⅱ）當(dāng)x∈[-2,4][答案]令gx=fx-由gx=14x令g'x=0得x=g'x,gx-2-200,83834g'+0-0+gx-6↗0↘-64↗0所以gx的最小值為-6,故-6≤gx≤0（Ⅲ）設(shè)Fx=fx-x+aa∈R，記Fx在區(qū)間[-[答案]由（Ⅱ）知，當(dāng)a<-3時(shí)，M當(dāng)a>-3時(shí)，M當(dāng)a=-3時(shí)，M綜上，當(dāng)Ma最小時(shí)，a=-7.[2019江蘇，16分]設(shè)函數(shù)fx=x-ax-bx-c,a,b（1）若a=b=c，f4[答案]因?yàn)閍=b所以fx=因?yàn)閒4=所以4-a3=8（2）若a≠b，b=c，且fx和f'x[答案]因?yàn)閎=c所以fx=從而f'令f'x=0，得x因?yàn)閍,b,2a+b3都在集合{-3,所以2a+b3=1,a此時(shí)，fx=x-3令f'x=0,得x列表如下：x-∞,-3-3-311,+∞f+0-0+fx↗極大值↘極小值↗所以fx的極小值為f1（3）若a=0,0<b≤1,c=1,且[答案]因?yàn)閍=0，c=1f'Δ=4則f'x有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為x1由f'x=0,得x列表如下：x-∞,xx1x1x2x2f+0-0+fx↗極大值↘極小值↗所以fx的極大值M=因?yàn)?<b≤1,當(dāng)x∈0,1令gx=xx-12,令g'x=0，得x0,1313g'+0-gx↗極大值↘所以當(dāng)x=13時(shí)，故gxmax所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx≤考點(diǎn)11導(dǎo)數(shù)與不等式題組解答題1.[2023新高考卷Ⅰ，12分]已知函數(shù)fx（1）討論fx的單調(diào)性[答案]f'當(dāng)a≤0時(shí)，f所以函數(shù)fx在-∞,+∞當(dāng)a>0時(shí)，令f'x>0，得x>-ln所以函數(shù)fx在-∞,-lna上單調(diào)遞減，在-ln綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)fx在當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx在-∞,-lna（2）證明:當(dāng)a>0時(shí)，[答案]解法一（最值法）由（1）得當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx=a令ga=1+a所以g'a=2a-1a，令g'a>0所以函數(shù)ga在0,22所以函數(shù)ga的最小值為g2所以當(dāng)a>0時(shí)，fx解法二（分析法）當(dāng)a>0時(shí)，由（1）得，f故欲證fx>只需證1+a即證a2-構(gòu)造函數(shù)ua=ln則u'a=1a-1=1-aa，所以當(dāng)所以函數(shù)ua在0,1上單調(diào)遞增，在所以u(píng)a≤u1=故只需證a2-12>因?yàn)閍2-所以當(dāng)a>0時(shí)，fx2.[2023全國(guó)卷甲，12分]已知函數(shù)fx=ax-sin（1）當(dāng)a=8時(shí)，討論f[答案]當(dāng)a=8時(shí)，fx=8xf'令1cos2x=t令ht=-當(dāng)t∈1,2時(shí)，ht>0故當(dāng)x∈0,π4時(shí),當(dāng)x∈π4,π2時(shí),∴fx在區(qū)間0,π4（2）若fx<sin2x[答案]令gx=則g'x令u=cos2x，則u∈則k'u當(dāng)u∈0,1時(shí)，k'u<0∵k1=3，∴當(dāng)u∈0,1時(shí),k①當(dāng)a≤3時(shí)，g'x<0，又g0=0，∴當(dāng)x∈0,π2②當(dāng)a>3時(shí)，?x0∈∴gx在0,x0∴gx0>g0綜上所述，a的取值范圍為(-∞,3]3.[2022新高考卷Ⅱ，12分]已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f[答案]當(dāng)a=1時(shí)，fx=x當(dāng)x>0時(shí)，f'x=xex當(dāng)x<0時(shí)，f'x=xex（2）當(dāng)x>0時(shí)，fx<-1[答案]f'①當(dāng)a≥1時(shí)，f∴fx在0,+∞上單調(diào)遞增，∴②當(dāng)a≤0時(shí)，f∴fx在0,+∞上單調(diào)遞減，∴③當(dāng)0<a≤12設(shè)Gx=1+x2∴Gx在0∴Gx<0,∴f'x∴fx<-④當(dāng)12<a<1令Hx=1+ax-e1-ax，則f'x=eaxHx∴?x0∈0,+∞,使H'x0=0,且當(dāng)x∈0,x∴當(dāng)x∈0,x0fx在0,x0上單調(diào)遞增，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,12（3）設(shè)n∈N*[答案]先證不等式ab<a-當(dāng)a>b>0時(shí)，不等式ab<a-bln構(gòu)造函數(shù)hx=則h'當(dāng)x>1時(shí)，h所以函數(shù)hx在1,+∞上單調(diào)遞減，hx令a=1+1n,b整理可得，ln1+1n即112+4.[2021全國(guó)卷乙，12分]設(shè)函數(shù)fx=lna-x，已知x=（1）求a；[答案]由題意得y=xf則y'=lna因?yàn)閤=0是函數(shù)y所以y'|x=0（2）設(shè)函數(shù)gx=x+[答案]由（1）可知，fx=ln1-x當(dāng)0<x<1時(shí)，ln1當(dāng)x<0時(shí)，ln1-x易知gx的定義域?yàn)閧x|x<故要證gx=x+fxxfx<令1-x=t，則t>0且t≠1令ht=1-t所以ht在0,1上單調(diào)遞減，在所以ht>即gx<15.[2021新高考卷Ⅰ，12分]已知函數(shù)fx（1）討論fx的單調(diào)性[答案]因?yàn)閒x=x1-lnx，所以fx當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x>所以函數(shù)fx在0,1上單調(diào)遞增，在1（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-a[答案]由題意，a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-即f1a令x1=1a由（1）知fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，（一般地，解決此類問題時(shí)，第（2）問需利用第（1）問所得的函數(shù)的性質(zhì)，本題中對(duì)b且當(dāng)0<x<e時(shí)，fx>0，當(dāng)不妨設(shè)x1<x2要證2<1a+1先證x1+要證x1+x2>因?yàn)?<x所以x2>又fx在1,+∞上單調(diào)遞減，所以即證f又fx1=fx2，所以即證fx1構(gòu)造函數(shù)Fx=則F'x當(dāng)0<x<1時(shí)，x2即當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)'x>0所以當(dāng)0<x<1所以當(dāng)0<x<1時(shí)，fx-再證x1+由（1）知，fx的極大值點(diǎn)為x=1，fx過點(diǎn)0,0,1,1設(shè)fx1=fx2=m直線y=x與直線y=m的交點(diǎn)坐標(biāo)為m,欲證x1+x2<e即證當(dāng)1<x<e時(shí)，構(gòu)造函數(shù)hx=fx+當(dāng)1<x<e時(shí)，h'x>0所以當(dāng)1<x<e時(shí)，hx<所以x1+x綜上可知，2<1a【一題多解】第（2）問也可用如下思路求解.思路一：同解析先判斷出x1<m，再求出fx在e,0處的切線方程y=-x+e,及y=-x+e與y=思路二：同證明x1+x2>2的方法，要證x1+x2<e,即證1<x2<e-x16.[2020全國(guó)卷Ⅰ，12分]已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f[答案]當(dāng)a=1時(shí)，fx=e故當(dāng)x∈-∞,0時(shí),f'x<0;所以fx在-∞,0單調(diào)遞減，在0,+∞（2）當(dāng)x≥0時(shí)，fx≥12[答案]fx≥12x設(shè)函數(shù)gx=1g'=-1=-12i若2a+1≤0,即a≤-12,則當(dāng)所以gx在0,2單調(diào)遞增，而g0=1,故當(dāng)xii若0<2a+1<2,即-12<a<12,則當(dāng)x∈所以gx在0,2a+1,2,+∞單調(diào)遞減，在2a+1,2單調(diào)遞增.由于g0=1所以當(dāng)7-e24≤iii若2a+1≥2,即a≥1由于0∈[7-e24,1故當(dāng)a≥12時(shí)，綜上，a的取值范圍是[7-【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的兩種常用方法：①分離參數(shù)法，第一步，將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步，根據(jù)要求求解即可.②函數(shù)思想法,第一步，將不等式轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值（最值）；第三步，構(gòu)建不等式求解．7.[2020全國(guó)卷Ⅱ，12分]已知函數(shù)fx（1）討論fx在區(qū)間0,π[答案]f=2=2sin當(dāng)x∈0,π3當(dāng)x∈π3,2所以fx在區(qū)間0,π3，2π3（2）證明：∣f[答案]由已知知f0=fπ=0,由（1）知，fx在區(qū)間[0,π]因?yàn)閒x+π所以fx是周期為π的周期函數(shù)，故fx（3）設(shè)n∈N*[答案]由（2）得sin2xsin2x≤338,sin22xsin4x≤338,所以sin2x考點(diǎn)12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)題組解答題1.[2022全國(guó)卷乙，12分]已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx[答案]當(dāng)a=1時(shí)，f∴f∴f∵f0=0，∴所求切線方程為y-（2）若fx在區(qū)間-1,0，0,+∞[答案]∵fx∴當(dāng)a≥0時(shí)，若x>0,則lnx+1>∴fx在0,+∞當(dāng)a<0時(shí)，f令gx=ex+a1-x2,則g'x=ea若g'-1≥0，則-12e≤a<0∴gx在-∵g-1=e-1>0∴f'x>0∴fx在-1,+∞∴fx在-1,0b若g'-1<0,則a<-12e,∴a<-12∴gx在-1,x0g-1=e-1>0i當(dāng)g0≥0,即-1≤a<-12e時(shí)，gx>0∴fx在0,+∞∵f0=0,∴當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，fx>ii當(dāng)g0<0，即存在x1∈-1,x0∴fx在-1,x1，x∵f0=0,∴fx1>f∴fx在-即fx在-1∵f0=0,當(dāng)x→+∞∴fx在x2,+∞上存在一個(gè)零點(diǎn)，即fx綜上，a的取值范圍是-∞,-12.[2021全國(guó)卷甲，12分]已知a>0且a≠1（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f[答案]當(dāng)a=2時(shí)，fx=x令f'x>0，則0令f'x<0，則x所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,2ln（2）若曲線y=fx與直線y=1[答案]曲線y=fx與直線可轉(zhuǎn)化為方程xaax=1，即xa設(shè)gx=lnx令g'x=1-ln當(dāng)0<x<e時(shí)，g'x>當(dāng)x>e時(shí)，g'x<0故gxmax=ge=1e又g1=0，方程lnxx=lnaa有兩個(gè)不同的解，所以0<lna即a的取值范圍為1,e∪3.[2021新高考卷Ⅱ，12分]已知函數(shù)fx（1）討論fx[答案]由題意，得f'①當(dāng)a≤0時(shí)，由f'x所以當(dāng)x>0時(shí)，f'x>0所以函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞增，在-∞,②當(dāng)0<2a<1，即0<a<12時(shí)，由所以當(dāng)x>0和x<ln2a時(shí)，f'x>所以函數(shù)fx在0,+∞，-∞,ln2a上單調(diào)遞增，在③當(dāng)2a=1，即a=12時(shí)，f'x④當(dāng)2a>1，即a>12時(shí)，由f'x所以當(dāng)x<0和x>ln2a時(shí)，f'x>所以函數(shù)fx在ln2a,+∞，-∞,0綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞增，在-∞,0上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<12時(shí)，函數(shù)fx在0,+∞，-∞,ln2a上單調(diào)遞增，在ln2a,0上單調(diào)遞減；當(dāng)a=12時(shí)，函數(shù)fx（2）從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，證明：fx有一個(gè)零點(diǎn)①12<a≤e22,[答案]選擇條件①，12<a≤e由（1）知，當(dāng)a>12時(shí),函數(shù)fx在ln2a,+∞，因?yàn)閒0=-fln2a所以當(dāng)x>0時(shí)，f又f-b所以函數(shù)fx在-b綜上所述，函數(shù)fx選擇條件②，0<a<12由（1）知，當(dāng)0<a<12時(shí)，函數(shù)fx在0,+∞因?yàn)閒ln2a所以f0<所以當(dāng)x<0時(shí)，f當(dāng)x→+∞時(shí)，易知ex的變化率遠(yuǎn)大于ax2的變化率，所以x→+∞時(shí)，x-1ex-ax綜上所述，函數(shù)fx4.[2020全國(guó)卷Ⅰ，12分]已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論fx[答案]當(dāng)a=1時(shí)，fx=ex當(dāng)x<0時(shí)，f'x<0;所以fx在-∞,0單調(diào)遞減，在0,+∞（2）若fx有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍[答案]f'當(dāng)a≤0時(shí)，f'x>0，所以fx在-∞,+∞當(dāng)a>0時(shí)，由f'x=0可得x=lna.當(dāng)x∈-∞,lna時(shí)，f'x<0;當(dāng)x∈lna,+∞時(shí)，fi若0<a≤1e,則flna≥0ii若a>1e，則由于f-2=e-2>0由（1）知，當(dāng)x>2時(shí)，ex-x-2>fx>e=2a>0故fx在lna,+∞存在唯一零點(diǎn).從而fx綜上，a的取值范圍是1e,+∞5.[2020全國(guó)卷Ⅲ，12分]設(shè)函數(shù)fx=x3+bx+c,曲線y=（1）求b；[答案]f'依題意得f'12=0,即3（2）若fx有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：fx[答案]由（1）知fx=x3-令f'x=0,解得xf'x與x-∞,-1-1-11212f+0-0+fx↗c+↘c-↗因?yàn)閒1=f-12=c+14因?yàn)閒-1=f12=c-14,由題設(shè)可知-14當(dāng)c=-14時(shí),fx只有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)c=14時(shí),fx只有兩個(gè)零點(diǎn)-1當(dāng)-14<c<14時(shí)，fx有三個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3綜上，若fx有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則fx6.[2019全國(guó)卷Ⅱ，12分]已知函數(shù)fx（1）討論fx的單調(diào)性，并證明fx[答案]fx的定義域?yàn)?,因?yàn)閒'所以fx在0,1，1因?yàn)閒e=1-e+所以fx在1,+∞有唯一零點(diǎn)x1,即又0<1x1<故fx在0,1有唯一零點(diǎn)綜上，fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)（2）設(shè)x0是fx的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)Ax[答案]因?yàn)?x0=e-lnx0由題設(shè)知fx0=0,即lnx0=xk=1曲線y=ex在點(diǎn)B-lnx0,1x0處切線的斜率是1x0,曲線y=lnx在點(diǎn)考點(diǎn)13導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題組一、選擇題1.[2022新高考卷Ⅰ，5分]（多選題）已知函數(shù)fx=x3-A.fx有兩個(gè)極值點(diǎn) B.fxC.點(diǎn)0,1是曲線y=fx的對(duì)稱中心 D.直線y[解析]因?yàn)閒x=x3-x+1，所以f'x=3x2-1，令f'x=3x2-1=0，得x=±33.由f'因?yàn)閒x的極小值f33=333-33+1=1-2因?yàn)楹瘮?shù)gx=x3-x的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)fx=x3-x+1的圖象，函數(shù)gx=x3-x假設(shè)直線y=2x是曲線y=fx的切線，切點(diǎn)為x0,y0，則f'x0=3x02-1=2，解得x0=±1.若x0=1二、解答題2.[2023全國(guó)卷乙，12分]已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=fx[答案]當(dāng)a=-1時(shí)，f則f'所以f'又f1=0，所以所求切線方程為y-0（2）是否存在a,b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對(duì)稱？若存在，求[答案]假設(shè)存在a,b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線令gx=因?yàn)榍€y=gx關(guān)于直線所以gx=g2b-于是a=-2b-a當(dāng)a=12，b=-12時(shí)，所以曲線y=gx關(guān)于直線x故存在a,b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對(duì)稱，且（3）若fx在0,+∞上存在極值，求a[答案]解法一f'設(shè)hx=ax2①當(dāng)a≤0時(shí)，2a-1<0，當(dāng)x>0時(shí)，h所以當(dāng)x>0時(shí)，hx<h所以fx在0,+∞②當(dāng)a≥12時(shí)，2a-1≥0，當(dāng)x>0時(shí)，所以當(dāng)x>0時(shí)，hx>h所以fx在0,+∞③當(dāng)0<a<12時(shí)，令h'x=0，得x=1-2aa所以hx在0,1-2a所以h1-又當(dāng)x→+∞時(shí)，hx→+∞，所以存在x0∈即當(dāng)0<x<x0時(shí)，hx<0，fx單調(diào)遞減，當(dāng)此時(shí)y=fx有極小值點(diǎn)綜上所述，a的取值范圍為0,1解法二由題意，得f'x在0,+∞上有變號(hào)零點(diǎn)，令f'x=-即a=1所以原問題等價(jià)于直線y=a與曲線y=1+設(shè)hx=1+x設(shè)φx=ln1+x所以當(dāng)x>0時(shí)，φx在故當(dāng)x>0時(shí)，φ又當(dāng)x>0時(shí)，-x+2<0，所以h'由洛必達(dá)法則可得limx→0hx=limx→0ln1+所以當(dāng)0<a<12時(shí)，直線y=a故a的取值范圍為0,13.[2023天津，16分]已知函數(shù)fx（1）求曲線y=fx在[答案]f'所以f'故曲線y=fx在x=2（2）當(dāng)x>0時(shí)，證明：[答案]構(gòu)造gt=lnt-所以函數(shù)gt在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以所以lnt>令x+1=tx>所以當(dāng)x>0時(shí)，1x+1（3）證明：56<lnn![答案]先證lnn!令hn=lnn!-則hn+由（2）可知1x+12ln故hn單調(diào)遞減，則hn≤h再證56<ln解法一構(gòu)造sx=lnx-則s'x當(dāng)0<x<1