2023年四川省遂寧市射洪縣高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）

2023年四川省遂寧市射洪縣高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合4={x|x-lW1},集合B={制xN-l],則AU8=（）

A.（-00,-1]U[2,+00）B.[-1,2]

C.RD.0

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z2=2i,則|z|=（）

A.1B.V-2C.2D.2y/~2

3.“關(guān)于%的不等式/-2以+。>0的解集為夕’的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.0<a<|B.0<a<1C.0<a<1D,0<a<0.9

4.函數(shù)〃吟=鬻的大致圖象為（）

5.已知一組正數(shù)X1，%2>X3的方差S2=：（婢+蟾+蟾一12）,則數(shù)據(jù)3X1-1,3X2-1,

3%3-1的平均數(shù)為（）

A.1B.3C.5D.7

6.已知函數(shù)/（X）=cos（x—3）+cos（x+3）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A./（x）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減

B./（x）的最大值為—2cos3

C.x=W是/。）圖像的一條對(duì)稱軸

D.f（x）到的圖像可由函數(shù)y=2cos3sinx的圖像向右平移]個(gè)單位得到

7.凈水機(jī)通過分級(jí)過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中的核心零件是多層式

結(jié)構(gòu)的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯），主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì).假

設(shè)每一層PP棉濾芯可以過濾掉|的大顆粒雜質(zhì)，過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為607ng/3若要

滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L,貝IJPP棉濾芯層數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù)：lg2。

0.30,lg3?0.48)()

A.5B.6C.7D.8

8.設(shè)數(shù)列｛斯｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

貝燈+%+…+%。=()

A.1033B,1034C.2057D.2058

9.將甲、乙等5名志愿者分配到4個(gè)社區(qū)做新冠肺炎疫情防控宣傳，要求每名志愿者去一個(gè)

社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少去一名志愿者，則甲、乙二人去不同社區(qū)的概率為()

A.得B.|C.卷D.；

10.已知E,尸分別是長方體4BCD-41B1GD1的棱4B,的中點(diǎn)，若4B=2。，AD=

44=2,則四面體G-DEF的外接球的表面積為()

A.13TTB.167rC.187rD.207r

11.已知雙曲線C：會(huì)《=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi(-c,0),F2CO),點(diǎn)M是

雙曲線C上一點(diǎn)，點(diǎn)N(；c,0),且4FIMN=30。，麗?麗=0，則雙曲線C的離心率為()

A.@B*C.CD.會(huì)

333

12.已知函數(shù)/■(%)及其導(dǎo)函數(shù)尸(X)的定義域均為R,記g(x)=［(乃，若/'(1-x),g［x+2)

均為偶函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)“X)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱

B.9(2023)=2

C.g<2)=0

D.若函數(shù)g(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，則g(x)在區(qū)間［0,2024］上有1012個(gè)零點(diǎn)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知(x+$)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20,則實(shí)數(shù)小的值為.

14.已知向量a=(2,1),b=(1,0).C=(1,2),若^，(往+加至)，則m=_.

15.已知數(shù)列｛an+2n｝為等比數(shù)列，ai-a2=l,a3=-2,則數(shù)列｛an｝的第10項(xiàng)由。為

16.己知橢圓C：y+=1，過C的右焦點(diǎn)F的直線L交C于M,N兩點(diǎn)(M,N在y軸右側(cè))，則

\MF\+2|NF|的取值范圍為

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

記△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a,b,c成等差數(shù)列，且7si幾4=3sinC.

(1)求cosB；

(2)若A4BC的面積為V，求民

18.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ZBCD是梯形，AB//CD,AB1AD,AB=AD=2CD=2,

△4PD為等邊三角形，E為棱PB的中點(diǎn).

(1)證明：CE//平面PAO；

(2)當(dāng)PB的長為多少時(shí)，平面PAD_L平面2BCD?請(qǐng)說明理由，并求出此時(shí)直線CE與平面PCD

所成角的大小.

19.(本小題12.0分)

近年來，綠色環(huán)保和可持續(xù)設(shè)計(jì)受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，成為了一種日益普及的生活理念和方

式可持續(xù)和綠色能源，是我們這個(gè)時(shí)代的呼喚，也是我們每一個(gè)人的責(zé)任.某環(huán)?？沙掷m(xù)性食

用產(chǎn)品做到了真正的“零浪費(fèi)”設(shè)計(jì)，其外包裝材質(zhì)是蜂蠟.食用完之后，蜂蠟罐可回收用于

蜂房的再建造.為了研究蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類的關(guān)系，研究團(tuán)隊(duì)收集了黃、

褐兩種顏色的蜂蠟罐，對(duì)M,N兩個(gè)品種的蜜蜂各60只進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：

黃色蜂蠟罐褐色蜂蠟罐

M品種蜜蜂4020

N品種蜜蜂5010

(1)判斷是否有95%的把握認(rèn)為蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)？

(2)假設(shè)要計(jì)算某事件的概率P(B),常用的一個(gè)方法就是找一個(gè)與B事件有關(guān)的事件A,利用

公式：P(B)=P(4B)+P(4B)=P(A)P(B|4)+P(4)P(8|4)求解現(xiàn)從裝有a只“品種蜜蜂和b

只N品種蜜蜂的蜂蠟罐中不放回地任意抽取兩只，令第一次抽到M品種蜜蜂為事件4第二次

抽到M品種蜜蜂為事件艮

(i)證明：

(ii)研究發(fā)現(xiàn)，①M(fèi)品種蜜蜂飛入黃色蜂蠟罐概率為|,被抽到的概率為京M品種蜜蜂飛入褐

色蜂蠟罐概率為主被抽到的概率為專②N品種蜜蜂飛入黃色蜂蠟罐概率為|,被抽到的概率

為:：N品種蜜蜂飛入褐色蜂蠟罐概率為上，被抽到的概率為去請(qǐng)從M,N兩個(gè)品種蜜蜂中選擇

一種，求該品種蜜蜂被抽到的概率.

2

附.172_n(ad-bc)______其中幾=a+b+c+d.

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

20.(本小題12.0分)

橢圓C：各3=l(a>b>0)的離心率為?，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)直線心y=kx+

m(k>0)與橢圓C交于4、B兩點(diǎn)，且線段4B的中點(diǎn)P恰好在拋物線y2=-Lx±.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)求4048(0為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值，以及取得最大值時(shí)直線，的方程.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=a(x+1)-;妹，xeR.

(1)若/(x)是R上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

x2

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)X],x2>其中％1<不，求證：x2-i>y+-

22.(本小題10.0分)

已知直線，：匕為參數(shù)，a>0)，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐

-CLL

標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為P=8cos0+6sin0,圓C與極軸和直線[分別交于點(diǎn)4,點(diǎn)B(異于坐

標(biāo)原點(diǎn)).

(1)寫出點(diǎn)4的極坐標(biāo)及圓C的參數(shù)方程；

(2)求況.費(fèi)的最大值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=|x-1|+|x-5|.

(1)解不等式/(x)<6；

(2)若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=ab,且函數(shù)/'(x)的最小值為求證：a+b2m.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:由已知4={x\x<2},

??A\JB=R.

故選：C.

解不等式得集合4,然后由交集定義計(jì)算.

本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)2=。+6，a,beR,所以z2=(a+尻/=a?—爐+2。萬=2i,

所噫送a囑：網(wǎng)f：二;

所以復(fù)數(shù)z=1+i或z=-1-i,

所以|z|=A/-2.

故選:B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可求得z,即可求得|z|.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：關(guān)于x的不等式/-2ax+a>0的解集為R,

則A—(—2a)2-4a=4a2—4a<0,

解得0<a<1,

所以“關(guān)于x的不等式好一2ax+a>。的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是“0<aS1”.

故選：C.

根據(jù)不等式/-2ax+a>0的解集為R求得0<a<1,于是可得其成立的必要不充分條件.

本題主要考查一元二次不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：八一為=檔包=一等=一〃>),

Ix\I同

???/(%)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故8，C錯(cuò)誤；

又/(1)=0,可排除。，

故選：A.

利用奇函數(shù)的定義可判斷得/(?是奇函數(shù)，利用排除法可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象與圖象的變換，考查識(shí)圖能力與排除法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：正數(shù)X2>X3的方差S2=g(*+以+詔一12),

222

由方差的計(jì)算公式可得S?=：[(xx-%)+(x2-X)+(Xn-X)]=(%1+X2H—...+

Xn—2nx2+nx2)=-(%1+福+……+%n)—%2,

所以s2=；(好+xl+xj-12),

故3=2.

所以數(shù)據(jù)3%-1,3X2-1,3%3-1的平均數(shù)為3日一1=3*2-1=5.

故選：C.

利用方差的計(jì)算公式求出Xl，X2,%3,辦的平均數(shù)，然后再利用平均數(shù)的結(jié)論求解即可.

本題考查了平均數(shù)與方差的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平均數(shù)與方差之間的關(guān)系，考查

了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：/(%)=cos(x—3)+cos(x+3)=(cosxcos3+sinxstn3)+(cosxcos3—sinxsin3')=

2cos3cosx,

A：xe(l,2)時(shí)，2cos3<0,函數(shù)/(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

B：由于cosx6[-1,1],所以cosx=-l時(shí)，函數(shù)/(x)的最大值為一2cos3,故B正確；

C：函數(shù)cosx的對(duì)稱軸為％=上兀，(k6Z)也為/(x)的對(duì)稱軸，當(dāng)?shù)?冷時(shí)，k=；在Z,不是函數(shù)的

對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；

D-.函數(shù)y=2cos3sinx向右平移]個(gè)單位得到g。)=2cos3sin(x一今=-2cos3cosx力/(x),故

。錯(cuò)誤.

故選：B.

直接利用函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的圖像的平移變換，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)

用判定4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的圖像的平移變換，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)

的對(duì)稱性，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由題意得，經(jīng)n層濾芯過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為60(1-|)"=60x(|T，nEN,

則60x(|尸<2,得30x(|)n<1,所以，g30+lg(|)n<0,

即仞10+lg3+71ag2+lg3—IglO)<0,所以1+0.48+(0.78—l)n40,

解得n>n&N,

所以n的最小值為7.

故選：C.

根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算直接求解.

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?數(shù)列｛斯｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，｛b｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)

列，

n-1

an=2+(n-1)x1=n+1>bn=2.

n

abn=bn+l=2t+1.

a9

a/+O-b2------b10=1+24--------F2+10

=+10=210+9=1033-

Z—1

故選：A.

由于數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用

等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出即，%.再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

本題考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于基

礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：5個(gè)人去4個(gè)社區(qū)，只能是1+1+1+2的形式，分組的情況總數(shù)為量=10,

再把這些分組分配到四個(gè)不同地方，有北=24種情況，因此基本事件總數(shù)為240,

甲、乙去相同的社區(qū)的情況有：題=24種，

由對(duì)立事件可得甲、乙二人去不同社區(qū)的概率為：1-嘉=之.

24010

故選：C.

部分均勻分組問題，5個(gè)人去4個(gè)社區(qū)，只能是1+1+1+2的形式，據(jù)此先算出基本事件總數(shù),

再求出甲、乙去相同的社區(qū)的事件數(shù)，利用古典概型公式和對(duì)立事件的定義求解.

本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】解：如圖所示,

四面體6-DEF的外接球就是直三棱柱DEC-的外接球,

設(shè)棱柱DEC-C/Ci的底DEC的外接圓圓心為G,三棱柱DEC-的外接球球心為0,△DEC的

外接圓半徑r.產(chǎn)=(2-r)2+/~22，解得r=|,

外接球的半徑R=，OG2+GC2=9，

四面體G-DEF的外接球的表面積為4兀/?2=I3TT,

故選：A.

首先根據(jù)錐體的性質(zhì)，求出外接球的半徑，進(jìn)一步利用公式求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：錐體的性質(zhì)的應(yīng)用，求出外接球的表面積公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)

算能力和轉(zhuǎn)換能力.

11.【答案】A

【解析】解：如圖，過點(diǎn)Fi作FJ〃MF2，延長MN交&P于點(diǎn)P,

因?yàn)镕i(—c,0)，F(xiàn)2(，,0)，W(|c,0),所以轉(zhuǎn)界=^^=：，

設(shè)|MF2l=x，則|P&|=2x,IMFJ=x+2a,

因?yàn)辂?麗=0，所以NNMF2=9O。，所以4NPFI=90。，

在直角三角形PFIM中，4&MN=30。，所以|M&|=2|P0|,即x+2a=4x,

所以“與.

22

在三角形F1MF2中，由余弦定理得|&尸2『=\MF2\+\MFr\-2\MF2\\MF1\COS^F1MF2,

即4c2=(知+(第2_2x造x瑞)(-?

整理得4c2=華，

所以e=￡=學(xué).

a3

故選:A.

過點(diǎn)Fi作F$〃MFz，延長MN交FiP于點(diǎn)P,利用平行關(guān)系得出對(duì)應(yīng)線段成比例，在直角三角形PF】“

中，結(jié)合雙曲線定義得出各邊之間的關(guān)系，在三角形中，利用余弦定理求得結(jié)果.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?'(1一x)是偶函數(shù)，所以/(1一%)=/(l+x),

所以函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，因此選項(xiàng)A正確；

因?yàn)間(x+2)為偶函數(shù)，所以有g(shù)(x+2)=g(-x+2),

因此函數(shù)g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

由/(I-x)=/(I+x)=-f'(l-x)-尸(1+x)=-g(l-x)=g(l+x),

因此函數(shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，

由g(l+x)=-g(l-x)ng(2+x)=-g(-x)ng(2-x)=-g(-x)=g(2+無)=-g(x),

即g(4+x)=-g(2+x)=g(x),所以函數(shù)g(x)的周期為4,

在g(x+2)=g(—x+2)中，令x=l,得g(3)=g(l),

在一g(l-x)=g(l+x)中，令x=0,得g(l)=0,

所以g(2023)=5(505x4+3)=8(3)=g(l)=0,因此選項(xiàng)B不正確；

由+2)=g(-x+2)=g'{x+2)=-g'(-x+2),

令x=0,得g'(2)=0,因此選項(xiàng)C正確；

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且在口,2］上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)在［0,1)也單調(diào)遞減，

而函數(shù)g(x)關(guān)于直線尤=2對(duì)稱，所以函數(shù)g(x)在(2,4］上單調(diào)遞增，且。(3)=0,

所以當(dāng)％G［0,4］時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)xe［0,2024］時(shí)，由函數(shù)gO)的周期為4,

可知函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為竽x2=1012,因此選項(xiàng)。說法正確.

故選：B.

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：展開式的通項(xiàng)為星公一吏6y=Crmrx6-2r(令6-2r=0解得r=3,

Clm3=20.

Am=1.

故答案為：1

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征可得或根3=20,進(jìn)而可求解.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一4

【解析】解:a=(2,1),b=(1,0)?

a4-mb=(2+1)，

vc1(a+mb)fc=(1,2),

???1x(2+m)+2=0,解得m=-4.

故答案為：-4.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】492

【解析】解:令bn=an+2n,

設(shè)數(shù)列｛九｝的公比為q,

???即一02=1，

Abt—2—(b2—4)=1,即歷=瓦+1，

???瓦q=瓦+1,

va3=—2,

?*,=4,

二臚2=之+1,解得憶J，

MqZ-4(.<?=2

nn1

bn=2t,an=bn-2n=2~—2n,

9

.??a10=2-2X10=492.

故答案為:492.

令勾=即+2、結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，求出％的通項(xiàng)公式，即可求出廝，即可求解.

本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】［C+殍，與當(dāng)

【解析】解：由橢圓C：9+9=1，可得右焦點(diǎn)為（1,0），

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過右焦點(diǎn)F的直線方程為y=k（x—l）,M（Xi，yi）,A/（x2,y2）（

與橢圓聯(lián)立方程組消去y得，（2+3k2次2-6k2x+3/c2-6=0,

,6一3/-6

..?與+犯=痂'=2+3k2'

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1I1;1I1一C-%(Xl+X2).C-fXR

|MF|INF|a-e%iu—ex?3—(%i+%2)+目1*23.6k，卜1乂"2-6

22+3/c2W2+3k2

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得意+意=二

由M,N在y軸右側(cè)，可得|NF|＜C，則MF|＞?，所以盟＞最

同理可得需＞2,故齊霜＜2，

|MF|+2|NF|.（|MF|+2|NF|）x（矗+高）』+睛+髀,

令”黑2）,故t+先［3+2/1,當(dāng)，

|/Vr|z.CL

??.|MF|+2|NF|的取值范圍為［「+號(hào),亨）.

故答案為：［C+亨,亨）.

先求得高+矗=，3,利用|MF|+2|NF|=擊（|“?|+2|/7尸|）*（矗+高），可求|MF|+

2|NF|的取值范圍.

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

17.【答案】解：（1）因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c,

又7sinA=3s譏C,結(jié)合正弦定理7^7=可得7a=3c,

b=“

聯(lián)立境黑+c,解得7

至

Q=

7

V

3C71I

+C2%-T

所以cosB')1

⑵由⑴可得sinB=V1—cos2B=J1—端產(chǎn)=巧廣,

所以△ABC的面積為"csinB=|xxcx與了=竺了，

227144

解得c=7,所以b=^=5.

【解析】(1)利用正弦定理和余弦定理結(jié)合a，b，c成等差數(shù)列可解決；

(2)利用三角形面積公式即可解決.

本題考查解三角形問題，余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：取線段PA的中點(diǎn)F,連接EF、FD,

則EF為的中位線，

?1.EF//\AB

由題知CD空48,

???EF-CD>

四邊形CEFD為平行四邊形，

???CE//DF,

???DFcz^-^PAD,CE0平面PAD,

CE〃平面PAD.

(2)當(dāng)PB=2，2時(shí)，平面24。1平面2BCD.理由如下：

在AP/IB中，???AB=PA=2.PB=AB1PA.

XvAB1AD,ADC\PA=A,二AB_L平面P4。，

又ABu平面ABC。，???平面PAD_L平面/1BCD.

分別取線段4D,BC的中點(diǎn)0,M,連接P。，0M,

因?yàn)椤鰽P。為等邊三角形，。為4。的中點(diǎn)，

所以尸。1.40,即P01平面ABC。，P0=<3.

因?yàn)?。，M分別為AD,BC的中點(diǎn)，

所以0M〃/18,

又AB14D,所以。MJ.4D.

分別以。4、0M、0P所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則8(120),P(O,O,q),C(-1,1,0),D(-l,0,0),%,1,三)，PC=(一1,1,一/3)，DC=(0,1,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為記=(x,y,z),

則［匹,云=°,即卜"+y-Cz=o,

be-n=o(y=o

令z=l,n=(-<3,0,1)，可得cos(國元>==卓=_/

所以直線CE與平面PCO所成角的正弦值為;，所成的角為?

【解析】(1)取線段P4的中點(diǎn)尸，連接EF、FD,利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形

CEFC為平行四邊形，則CE〃DF,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，

(2)當(dāng)PB=2「時(shí)，由已知條件可證得ZBJ?平面PAD,從而可得平面PAD_L平面ZBCD,分別取

線段4D,BC的中點(diǎn)。，M,連接PO,OM,則可證得04、OM、0P兩兩垂直，所以分別以。4、0M、

OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,利用空間向量即可求解.

本題考查了三角形中位線定理,線面平行的判定定理以及空間向量的運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合思想，

屬于中檔題.

2

19.【答案】解：(1)根據(jù)列聯(lián)表得K2=120X(40X10-20X50)=竺y4,444>3,841-

60x60x90x309

所以有95%的把握認(rèn)為蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián).

(2)由已知公式可得，P(4)=捻，P⑻4)=品，P(Z)=磊，P(B|2)=缶，

則P(8)=PQ48)+P(AB)

=P(A)P(BIA)+PQ4)P(8|4)

a+ba+b—1

Q(Q—l)+ab

(a+8)(a+匕-1)'

Q(Q+b—1)

(Q+b)(a+b-l)'

(團(tuán))①選M品利3設(shè)選M品種蜜蜂被抽到為事件C,

由題意得P（C）=|xg+*|=9

故選M品種，被抽到的概率為某

②選N品種，令選N品種蜜蜂被抽到為事件D,

由題意P⑼=）月+，；=當(dāng)

''646224

故選N品種，被抽到的概率為芬

【解析】⑴根據(jù)題意求出K2,與3.841比較即可得出結(jié)論;

（2）（團(tuán)）分別求出P（4）,P（8⑷，p（1）,P（B|［），代入公式計(jì)算即可證明；3）根據(jù)題意代入公式

計(jì)算即可.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和條件概率相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）橢圓C：攝+5=l（a>b>0）的離心率為?，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P,

rc_>T3

a222

222(a=4???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

a4-h=c=>U2=1'CW+y2=1;

(2)由卜V=1得(4必+1)公+8kmx+47n2—4=0,

y=kx-^-m

/=(8/cm)2—4(4/c2+l)(4m2-4)=16(4/c2+1—m2),

設(shè)做卬為），8（必必），則X】+'2=舍，》62=黑

?.?線段4B的中點(diǎn)為P,%0=3/=茂y0=kx0+m=/不

又???點(diǎn)P在拋物線y2=上，.??（忠）2.哉,

m=0或2m=-(4fc2+1),當(dāng)m=0時(shí)，。48三點(diǎn)共線(舍去),

64k27n2167n2-16

又MB|=V1+/c2?JQi+冷)2—4久1%2=V1+/c2-

(4fc2+l)24必+1

d=^L=

點(diǎn)。到直線，的距離J1+k2'

J16(4/c2+l-m2)

???S^OAB=I??d=：?V14-fc2?|加

4k2+l

_21m卜J4k2+l-m2_21m|-7—m2—2m

4k2+1一~2m

=V—m2—2m=y/—(m+l)2+1<1,

當(dāng)巾=-1時(shí)，△OAB的面積取得最大值，此時(shí)k=5

此時(shí)直線I的方程為y=：x-l.

【解析】(1)將點(diǎn)N(-l-?)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合離心率和關(guān)系式即可求解；

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，得出關(guān)于x的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)在丫2=白工上求

oK

出k與in關(guān)系式，再由弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式表示出SA。.，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求最值.

本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中

等題.

21.【答案】解：(1)由題意知((x)=a+華W0在R上恒成立,

???一a2詈恒成立，令90)=簽，xER,則-aNg(x)max，

令g'(x)=一季=0，得光=-1,

當(dāng)x€(—8,-1),gXx')>0；xG(—1,+oo),g'(x)<0,

???g(x)max=g(T)=e即一a>e,aE(-00,-e].

(2)證明：方法一：(割線夾證零點(diǎn)差)

由f(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，X2'-/'CO=。有兩個(gè)不

等的實(shí)數(shù)根巧,X2,

於)

由(1)可知，當(dāng)x趨近于+8時(shí)，g(x)趨近于0,且

5(-2)=0,

???—e<a<0且一2<Xi<—1<s

又過點(diǎn)(—2,0)和(—l,e)的直線方程為y=e(x+2),

構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)-e(x+2),

=譽(yù)Y-1-2-e(%+2)=(%+21)?—e)>0,x￡(-2,-1),

???g(x)>e(x+2).

設(shè)方程e(x4-2)=—Q的根為%3，則%=-2,

過點(diǎn)(—l,e)和(0,0)直線方程為y=-ex,

設(shè)zn(x)=g(x)+e%,x6(—1,4-oo),

...m，(x)="*1]>0,m(x)在(—1,+8)單調(diào)遞增，

:.m(x)>m(-1)=0則g(x)>—ex,

又設(shè)方程—ex=—a的根為M，則M=p

???x2->x4-x3=-2)=y+2.

方法二：(借助極值點(diǎn)偏移進(jìn)行放縮+參數(shù)替換)

由f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)修，&，，「(乃二。有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根與，不，

由(1)可知一e<a<0且-2</<-1<刀2，

構(gòu)造G(x)=g(x)-5(-2-x)(x>-1),

則G'(x)=g'(x)+g'(_2-x)=-9+(x+l)(ex+2-e-x),

vx>—1,??.(x+2)—(—x)=2%+2>0,%4-1>0,

/.e%+2>e-"???G'(x)>0,

，6(%)是(-1,+8)上的增函數(shù)，??.6(%)>6(-1)=0,???9(%)>9(-2-％),

，g(%2)>g(—2—&)，

.?.g(%i)=g(&)，???g(%Q>g(-2-歷)，

???31V-1,-2-x2<-1,g(x)是(-8,-1)上的增函數(shù)，

/>-2-%29+%2>—2,

要證：％2—工1>B+2(利用％2>—2—放縮)，

只需證：—2—2%i>引+2,

只需證：/V—2—子(參數(shù)—a=爵替換)，

只需證：%1V-2+，醬'

只需證：(%i+2)(1-JTT)V0,

,:€(—2,—1),?，?/+