2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第8章 第5節(jié) 第2課時　直線與橢圓

第2課時直線與橢圓

［細(xì)研考虛j速破題型］

□考點一直線與橢圓的位置關(guān)系枷生共研

［典例1］已知直線/：y=2x+m,橢圓C：?+:=1.試問當(dāng)機(jī)取何值時，

直線I與橢圓C：

(1)有兩個不重合的公共點；

(2)有且只有一個公共點；

(3)沒有公共點.

y=2x+m,①

［解］將直線/的方程與橢圓c的方程聯(lián)立，得方程組，尤+芷_］②

將①代入②，整理得gf+S/nx+Z"??-4=0.③

方程③根的判別式/=(8m)2-4X9X(2療-4)=-8m2+144.

(1)當(dāng)/>0,即一3啦時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知原方

程組有兩組不同的實數(shù)解.這時直線/與橢圓C有兩個不重合的公共點.

(2)當(dāng)/=0,即機(jī)=±3啦時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有

兩組相同的實數(shù)解.這時直線/與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線/與

橢圓C有且只有一個公共點.

(3)當(dāng)/V0,即〃?〈一3/或加>3也時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組

沒有實數(shù)解.這時直線/與橢圓C沒有公共點.

畬反思反信1.研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓

方程組成的方程組解的個數(shù).

2.對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢

圓有交點.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.若直線y=JU+l與橢圓1+5=1總有公共點，則機(jī)的取值范圍是()

A.m>1B.m>0

C.0<m<5且加W1D,且〃zW5

D?直線》=-+1恒過定點（0,1）,

9,2

...要使直線y=fcc+l與橢圓會+]=1總有公共點，

02I2

只需彳"+而W1,即，〃21,又，〃#5,

故機(jī)的取值范圍為加21且加工5,故選D.]

□考點二弦長及中點弦問題修維探究

考向1弦長問題

72

[典例2—1]（2021?三明模擬）已知橢圓E：，+5=1（。>。〉0）的一個焦點與短

軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點好，，在橢圓E上.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)不過原點O且斜率為3的直線/與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段

48的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明：\MA\-\MB\=\M€\-\MD\.

[解]⑴由已知，a=2b,

又橢圓j+$=1（。>b>0）過點壯市，孑），

1

故東+.=1，解得〃=1.

所以橢圓E的方程是，+y2=1.

（2）證明：設(shè)直線/的方程為y=5：+〃2（mW°），A（xi,yi）,B（X2,*）.

仔十戶1,

由方程組j

\y=^x+m,

得x2+2/77x+27n2—2=0,①

方程①的判別式為/=4加2—4（2加2—2）,

由/>0,即2—m2>0,解得一y[2<m<y[2.

由①得x\+x2=-2m,xiX2=2m2—2.

2

所以M點坐標(biāo)為[一機(jī)，yj,直線0M方程為)，=一/,

得啦，乎)，d隹-孽.

所以|MC|?|M￡)|=孚(一機(jī)+6)?半(6+m)=*2—m2).

5L\MA\-\MB\=^|AB|2=^[(xi—X2)2+(yi—y?)2]=^[(xi+x2)2-4xiX2]=^[4m2

—4(2m2—2)]=^(2—/n2).

所以IMAHMBI=IMCHMR.

考向2中點弦問題

[典例2—2](1)已知直線%—市)，+1=0與橢圓。：，+方=13＞。＞0)交于4

8兩點，且線段A8中點為M,若直線OM(O為坐標(biāo)原點)的傾斜角為150°,則

橢圓C的離心率為()

A1B2亞逅

(2)若橢圓的中心在原點，一個焦點為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所

得弦的中點的縱坐標(biāo)為1,則這個橢圓的方程為.5血

(1)D(2)}+石=1[(1)設(shè)A(xi,yi),8(X2,”)，線段AB的中點M(尤o,

yo).

=b

(X1+X2)(XI—X2)?(yi+”)(yi—y2)

兩式相減可得9=0,

Q-卜1?

y\一y2V3

1=tan

才巴尤I+X2=2XO,yi+y2=2yo,-=k=S150°代入可

XI-X23，3，

產(chǎn)小b2

付3一了

h2,當(dāng).故選D.

解得''e=

3

(2)法一：(直接法)?.?橢圓的中心在原點，一個焦點為(0,2),設(shè)橢圓方程

22廣斗￡=1

為備+》=13〉0)，由產(chǎn)+41r'消去X,

j=3x+7

得(10序+4)y一14s2+4亞-9/+13序+196=0,

設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點分別為A(x”yi),B{xi,")，由

題意知中=],

...y+)'2」4]；狂：)=2,解得〃=8.

99

所求橢圓方程為卷+1=1.

OiZ

法二：(點差法)?.?橢圓的中心在原點，一個焦點為(0,2),二設(shè)橢圓的方程

v2v2

為用+7=is>°).

設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點分別為A(xi,yi),Bg,戶)，

按+4+〃—1

力2+4左

(尹一竺)(yi+竺)(xi-X2)(?+垃)

)“+)堂廬+4

2

XI-X2X]+%2b'

又：弦A3的中點的縱坐標(biāo)為1,故橫坐標(biāo)為一2,

r\\J'119IA

Z=X二*=3,代入上式得3X-V,-解得乂=8,故所求

x\—X22X(—2)b~

的橢圓方程為"+營=1.]

O1Z

畬反思領(lǐng)信1.弦長問題

常用“根與系數(shù)的關(guān)系”設(shè)而不求，利用弦長公式\AB\=

弋1+A2?q(xi+x2)2-4xi光(yi+*)2—4州”],

(A(xi,yi),B(X2,y2),攵為直線的斜率)計算弦長，切記不要忽略判別式.

4

2.解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路

；根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程

思

路，得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與

：系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求解

點差法：設(shè)直線與圓錐曲城的交點（弦的端點）坐標(biāo)

思為AG“力），/，（物力），將這兩點坐標(biāo)代入圓錐曲線

路的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦A8的

中點和直線A8斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計

算量

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.過橢圓得+?=1內(nèi)一點P（3,1）,且被點P平分的弦所在直線的方程是

)

A.4x+3y—13=0B.3x+4y—13=0

C.4x—3y+5=0D.3九一外+5=0

B［設(shè)所求直線與橢圓交于A（*i,yi）,B（X2,竺）兩點,

(Xl+X2)(XI-X2)(yi+)'2)(y1-y2)

①一②得—0,

164

又P（3,1）是AB的中點.

，XI+X2=6,yi+>2=2,

.?.癡=0=]

X2~X\4

3

故直線AB的方程為y—1=-a（x—3）,

即3九+4）:一13=0,故選B.］

3.已知橢圓CY+與=1的左、右焦點分別為R,Fi,若斜率為一1的直

線/與以線段B尸2為直徑的圓相交于A,B兩點，與橢圓相交于C,D,且靄=

|A由

半,求出直線/的方程.

［解］設(shè)直線/的方程為y=-x+〃2,由題意知尸2的坐標(biāo)分別為（一1,

0),(1,0),

5

所以以線段尸1/2為直徑的圓的方程為W+y2=i,由題意知圓心(0,0)到直

線/的距離得以|V啦.

、2—病,

=1,

聯(lián)立消去y,得7f—8處+4機(jī)2—12=0,

y=-x+m,

由題意得』=（一8m）2-4X7X（4加2—⑵=336—48m2=48（7一m2）＞0,解得

加2V7,

設(shè)C(xi,yi),0(x2,y2),

2

nl.8m4m—12

則xi十X2=7",x\X2=---z---,

r-/岱吟24〃及一12/336-48m24乖

理|=伽一刈=r&*7(司-4X---=r—而一=十

X-^7—m2=XyflX-\/2—m2,解得機(jī)2=；＜2,得加=±^.

即存在符合條件的直線/,其方程為〉=一普.

考點三直線與橢圓的綜合問題枷生共訐

［典例3］(2021.濟(jì)南模擬)如圖，已知橢圓C：5+A1(。＞4°)的右焦點

為F,點(一1,坐)在橢圓。上，過原點O的直線與橢圓C相交于M,N兩點，

且IMR+IN同=4.

圖①圖②

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)P(l,0),0(4,0),過點。且斜率不為零的直線與橢圓C相交于A,B

兩點，證明：ZAPO=Z.BPQ.

［解］(1)如圖，取橢圓C的左焦點廣，連接M尸，NF',由橢圓的幾何性

6

質(zhì)知|NF]=|M尸|,則尸|+|MF]=2a=4,得a=2.將點(一1,浮)代入橢圓C

13

的方程得了+赤=1,解得8=1.

r2

故橢圓。的方程為亍+)2=1.

(2)證明：設(shè)點A的坐標(biāo)為(xi,yi),點8的坐標(biāo)為(及，”).

由題圖可知直線A3的斜率存在，設(shè)直線45的方程為>=用X-4)伙W0).聯(lián)立

?+戶1,

方程，4-消去y得，(4R+l)f—32七+64爐-4=0,J=(-32^2)2

、y=k(x—4),

f.32M

Xi+x2=

1^+\'V,

一4(43+1)(643—4)>0,廬V=,<i,直線AP的斜率為一、=

1264A2—4x\—\

嚴(yán)=4廬+]，

k（xi-4）k(X")4)Z（xi—4）k（X2-4）

.?由

XL1..同理直線族的斜率為FTX2-1

k（%i-4）（冗2-1）+k（X2-4）（冗]-1）

（XI-1）（X2-1）

Z[2XIX2-5（xi+x2）+8]

X1X2—（XI+%2）+1

/128%2—81603,

飛4F+1-4d+l+8J

64s一432k2

4-+A-4—+1+1

_k（128上一8—160%2+32必+8）

=64—-4-32必+4F+1

k（160^-8-160^+8）

=---------------------------------=n

36^-3

由上得直線AP與8P的斜率互為相反數(shù)，可得NAPO=NBPQ.

至反思領(lǐng)悟1.求解直線與橢圓的綜合問題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題

意，列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計算量，在代數(shù)運算中，經(jīng)

7

常運用設(shè)而不求的方法.

2.涉及直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存

在等特殊情形.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

4.已知P點坐標(biāo)為(0,—2),點A,8分別為橢圓E：的

左、右頂點，直線交￡于點Q,是等腰直角三角形，且殮=|曲.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過點P的動直線/與E相交于M,N兩點，當(dāng)坐標(biāo)