2023版高三一輪總復習數(shù)學新教材老高考人教版教案：第2章 第3節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

備」指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

［考試要求］

1.理解有理數(shù)指數(shù)嘉的含義，了解實數(shù)指數(shù)嘉的意義，掌握指數(shù)賽的運算性

質.

2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫指數(shù)

函數(shù)的圖象.

3.理解指數(shù)函數(shù)的單調性，特殊點等性質，并能簡單應用.

［走進教材fl蹲礎］回顧知識?激活技能

€>梳理?必備知識

1.根式

(1)如果x"=a,那么工叫做a的n次方根.

(2)式子%叫做根式，其中"叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(3)(%)"=4.

當〃為奇數(shù)時，V7=e；

Hr—fa，〃20，

當〃為偶數(shù)時，=

、一。，Q<().

2.分數(shù)指數(shù)塞

m

正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)累，。"=知用(?！?,m,〃WN*,?>1).

_m11

正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕，。—八二至二一一(a>0,m,〃>1).

0的正分數(shù)指數(shù)累等于。，0的負分數(shù)指數(shù)累沒有意義.

3.指數(shù)塞的運算性質

arce=ar+\(a'y=貯；(abY=arbr(a>Q,b>Q,r,sGR).

4.指數(shù)函數(shù)及其性質

(1)概念：函數(shù)y=〃(a>0,且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)尤是自變量，定

義域是R,。是底數(shù).

提醒：形如y=ov+A'(^eR,且ZW0；a>0且aWl)的函數(shù)叫做指數(shù)

型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質

a>\0<?<1

圖象

-of~i~?-0|-i~*

定義域R

值域(0,+8)

過定點(0,1),即x=0時，y=1

當x>0時，y>l；當尢<0時、y>l；

性質

當x<0時，0勺<1當x>0時，0<y<l

在(一8,+8)上是增函數(shù)在(一8,十8)上是減函數(shù)

［常用結論］

指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)(l)y=〃，(2)y=",(3)y=c:(4)y=/的圖象，底數(shù)a,h,

c,d與1之間的大小關系為c>d>l>a>0>0.由此我們可得到規(guī)律：在第一象

限內，指數(shù)函數(shù)y="(a>0,aHl)的圖象越高，底數(shù)越大.

€>激活?基本技能

一'易錯易誤辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(l)%?=(%)"=a.()

2￡___

⑵(-1)4=(一1尸=7二()

(3)函數(shù)y=a“是R上的增函數(shù).()

(4)若a"'<a"(a>0,且aWl),則/

()

［答案］⑴*(2)X⑶X⑷X

二'教材習題衍生

2

i.若函數(shù)次x)=〃m>o,且。wi)的圖象經(jīng)過(2,；),則.八一1)=()

A.1B.2C.小D.3

C［依題意可知/=；,解得。=坐，

所以/U)=p§［,所以4—1)=停|一|=小.］

2.某種產品的產量原來是。件，在今后機年內，計劃使每年的產量比上一

年增加〃％,則該產品的產量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為.

［答案］y=a(l+p%)x(OW_rW機，%GN)

3.計算:加<?)°+或%-41=一.

2［原式=目3乂1+24乂24一目3=2.］

4.已知。=(|『"=(|尸,c=@『,則a,b,c的大小關系是.(用

［細研考點?突破題型］重難解惑?直擊高考

□考點一指數(shù)器的運算悔組通關

33

nI(%+x-)(x-+x2)

1.右f+x=&r,則7+彳-2_2

1

y]~6「?￥+x?=&,

_1i

.\x+x~i=(x2+/)2—2=4,

x2+x-2=(x+x~1)2—2=14,

3_31_11_1

「?x'+x2=(x'+x')(%—/?X'+x"l)=3加,

3

3_3

.(%+%-1)(J+x')

幺+工—2一23

2.計算：(一百)-3+00022-10(^5-2)'+7r°=

16710(小+2)

［原式=1=§+10^5—

一丁(小一2)(小+2)

l(h/5-20+l=—

(〃>0,/?>0).

33__2

8242宓28

5一口-:引

\0ab2

至反思領悟指數(shù)鬲運算的一般原則

(1)指數(shù)得的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)黑統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)霖，以便利用法

則計算.

(2)先乘除后加減，負指數(shù)嘉化成正指數(shù)塞的倒數(shù).

(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的,

先化成假分數(shù).

(4)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù),

形式要求統(tǒng)一.

D考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應用枷生共研

［典例1］(1)函數(shù)的圖象如圖所示，其中“，人為常數(shù)，則下列結

論正確的是()

A.a>\,h<0

B.a>\,b>0

C.0<(7<l,b>0

4

D.0<?<l,h<0

(2)已知實數(shù)a,匕滿足等式2021。=20221下列式子一定不成立的是()

A.a=b=OB.a<b<Q

C.Q<a<bD.0<b<a

(1)D(2)C［(1)由人的圖象可以觀察出，函數(shù)兀X)=?L〃在定義域

上單調遞減，所以0<a<L

又式.,.一0>(),即從0.

(2)如圖，觀察易知，a</?<0或0<”<a或a=/?=0,故C選項一定不成立.

力反思領悟指數(shù)函數(shù)圖象問題的求解策略

對指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質問題(單調性、最值、大小比較、零點等)的

變換

求解往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，

作圖

然后數(shù)形結合使問題得解

數(shù)形一些指數(shù)型方程、不等式問題的求解，往往利用相應指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)

結合形結合求解

［跟進訓練］

1.(1)函數(shù)評的圖象大致是()金1都

(2)若直線y=2a與函數(shù)y=|#—l|(a〉0,且aWl)的圖象有兩個公共點，則a

的取值范圍為.

(1)A(2)(0,，［⑴法一：當x=0時，y=0,排除C.又/U)為偶函數(shù)，排

除B,D,故選A.

法二：y=1一陰的圖象可由y=e閔關于x軸對稱得到y(tǒng)=一渭的圖象，再向

上平移一個單位長度得到，故選A.

5

(2?=爐一1|的圖象是由>=〃的圖象先向下平移1個單位，再將x軸下方的

圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的.當a>l時，如圖1,兩個圖象只有一個交點，

不合題意；當0<。<1時，如圖2,要使兩個圖象有兩個交點，則0<2“<1,得0<a<g.

□考點三指數(shù)函數(shù)的性質及應用修維探究

考向1比較指數(shù)式的大小

[典例2—1]⑴已知a=202,b=0.4°2,c=0.4°-6,則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

(2)(2021?江淮十校聯(lián)考)若2*+5弋2一，+5一。則有()

A.x+y?0B.x+yWO

C.x-yWOD.x—y^O

(1)A(2)B[(1)由0.2V0.6,0.4<l,并結合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.402>

O.40-6,即因為a=2°2>l,/,=0.4°-2<1,所以a>".綜上，a>b>c,故選

A.

(2)設函數(shù)於)=2、-5r,易知人龍)為增函數(shù).

又/(一曠)=2二*—5兀由已知得y),所以xW—y,所以x+yWO.]

考向2解簡單的指數(shù)方程或不等式

[典例2-2](1)已知實數(shù)aWl,函數(shù)加)=Q-xn若川―。)=知

T),則。的值為________.

冏-7,A<0,

(2)設函數(shù)/(x)=KJ若1”)<1,則實數(shù)a的取值范圍是________.

[y/x,光20,

(1)1(2)(-3,1)[⑴當時，41-a=21,解得a=g;

6

當a>\時，2L（E=4G無解，故a的值為:.

⑵當a<0時，原不等式化為（；）“一7<1,

則2”<8，解得〃>一3,所以一3<a<Q.

當時，則也<LOWa<L

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（一3,1）.］

考向3指數(shù)函數(shù)性質的綜合應用

［典例2-3］（1）（2021.新高考I卷）已知函數(shù)人工尸史。？一？-'）是偶函數(shù),

則a=.

［真題衍生］

已知函數(shù)人幻=喬［（4>0,aWl）是偶函數(shù)，則/U）的最大值為

2［函數(shù)凡外=3工+］（。>°，。豐1）的定義域為R,

若函數(shù)/U）是偶函數(shù)，可得y（—x）=/u）,

?「"a~x?3A偵fp（力a'..,3

即3-，+1=3*+1'所以（3七+1）-3x=3x+l'可仔：3、+1=3、+1'所以Z

a.因為a>0,所以。=小,

(小)x］

所以/U)=

y+\（事）葉法

因為（4）>0,所以（木）、十（布）x，2yl（小）一（?。┊a2,

當且僅當（小）\=—（J）二,即x=0時等號成立，

所以fix')="jw]

所以?￥）的最大值為:.］

⑵已知函數(shù)/U）=23-叫機為常數(shù)），若在區(qū)間［2,+8）上單調遞增，則

m的取值范圍是

7

(3)不等式4A--2A-+1+a>0對任意xGR都成立，則實數(shù)a的取值范圍是

(1)1(2)(—8,4](3)(1,+°°)[(1)法一(定義法):因為於)=、(。2，一2-

X)的定義域為R,且是偶函數(shù)，

所以火一x)=?x)對任意的xGR恒成立，

所以(一幻332-*—2、)=》332工一2-，)對任意的xGR恒成立，所以必缶一1)(2*

+2二')=0對任意的xCR恒成立，所以a=l.

法二(取特殊值檢驗法)：因為於)=/32，-2-，的定義域為R,且是偶函數(shù)，

所以1-1)=/0)，所以一住一2)=2。-3，解得。=1,經(jīng)檢驗，於)=/(2，一2力

為偶函數(shù),所以a=1.

法三(轉化法)：由題意知火幻=爐32，-2七)的定義域為R,且是偶函數(shù).設

h(x)=a-2x—2~x,因為g(x)=『為奇函數(shù)，所以//(x)=a-2*—為奇函

數(shù)，所以/?(0)=°2°—2-°=0,解得a=l,經(jīng)檢驗，人》)=丁(2，一2二)為偶函數(shù)，

所以a=l.

「加)

⑵令t=\2x—m\,則f=|2x一詞在區(qū)間+8)上單調遞增，在區(qū)間

(-8,?上單調遞減.而y=2,是增函數(shù)，所以要使函數(shù)加:)=2匹1川在[2,+8)

上單調遞增，則有,W2,即mW4,所以〃z的取值范圍是(-8,4].

(3)原不等式可化為a>-4v+2v+l對xGR恒成立，

令f=2、，則。0,.?.>=-4'+2#|=—戶+2,=—?—1)2+1釜1,當1=1時，

Nmax=l，

畬反思領悟L比較指數(shù)式的大小的方法

(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)森，再利用單調性比較大?。?2)不能化成

同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.

2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行轉化.

3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關性質，其次要明確

復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”

這一性質分析判斷.