專題1.3 線段的垂直平分線（教師版）

專題1.3線段的垂直平分線1.理解線段垂直平分線的概念；2.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；3.能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算；4.理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)，能夠運(yùn)用其解決實(shí)際問(wèn)題；5.能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.應(yīng)用：常用來(lái)證明兩條線段相等線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.應(yīng)用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上【知識(shí)拓展1】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度例1．（2022春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．若的周長(zhǎng)是，，則的周長(zhǎng)是___________．【答案】12【分析】先據(jù)垂直平分線的定義得出，再根據(jù)的周長(zhǎng)是，即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∵，∴，∵的周長(zhǎng)是，∴，∴的周長(zhǎng)=．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到兩端的距離相等．【即學(xué)即練】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）如圖，在中，垂直平分，交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為14，則的周長(zhǎng)為______．【答案】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)的周長(zhǎng)即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∵的周長(zhǎng)為14，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度例2．（2022春·山西臨汾·八年級(jí)期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，從而可得，，然后利用等量代換可得，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】用線段垂直平分線的性質(zhì)得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】∵點(diǎn)P為三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】垂直平分線的判定例3．32．（2022春·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┬≤娮隽艘粋€(gè)如圖所示的風(fēng)箏，其中，，則是的______線．【答案】垂直平分線【分析】根據(jù)垂直平分線的判定即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴是的垂直平分線，故答案為：垂直平分線．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的判定，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【即學(xué)即練3】3．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，與交于O，．求證：(1)；(2)點(diǎn)O在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)可證明，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由等角對(duì)等邊可得，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴在和中，，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∴，∴點(diǎn)O在線段的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊以及線段垂直平分線的判定，解答時(shí)證明是關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】復(fù)雜的尺規(guī)作圖例4．（北京市門頭溝區(qū)2022—2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）我們規(guī)定：在同一平面內(nèi)的點(diǎn)A以直線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折后得到點(diǎn)，稱作點(diǎn)A的“一次對(duì)稱點(diǎn)”，將一次對(duì)稱點(diǎn)再以直線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折后得到點(diǎn)，稱作點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”．(1)如圖1，依題意畫出點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，并說(shuō)出以為頂點(diǎn)的三角形的形狀；(2)如圖2，已知直線與直線的夾角是，點(diǎn)A在直線上，依題意畫出點(diǎn)A的“二次對(duì)稱點(diǎn)”，并說(shuō)出以為頂點(diǎn)的三角形的形狀；(3)如圖3，如果“二次對(duì)稱點(diǎn)”落在上，且點(diǎn)A在直線上，請(qǐng)依題意畫出直線，保留作圖痕跡．【答案】(1)圖見(jiàn)詳解，是直角三角形(2)圖見(jiàn)詳解，為等腰直角三角形(3)圖見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，然后問(wèn)題可求解；（2）根據(jù)（1）中的作法可進(jìn)行作圖，然后問(wèn)題可求解；（3）根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】（1）解：以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)B，然后連接，交于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，同理可作，如圖示，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)E，由題意得：，∴，∴，∴是直角三角形；（2）解：按（1）的作法進(jìn)行作圖，如圖所示：由題意得：，∴，∵直線與直線的夾角是，∴，∴，∴是等腰直角三角形，同理可得也為等腰直角三角形；（3）解：以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)B，連接，交直線于點(diǎn)C，然后以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，再以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)，進(jìn)而以點(diǎn)、為圓心，大于長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)D，連接，則直線即可求；如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)雜的尺規(guī)作圖，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（北京市燕山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷）下面是小青設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線，使得．作法：如圖，①在直線l上取點(diǎn)A，連接；②作線段的垂直平分線，分別交直線l，直線于點(diǎn)B，O；③以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線于另一點(diǎn)Q；④作直線．所以直線就是所求作的直線．根據(jù)小青設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：連接，∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)O，∴，（_____________________）（填推理的依據(jù)）又∵，______，∴，（_____________________）（填推理的依據(jù)）∴，∴．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)線段垂直平分線的性質(zhì)，，．【分析】（1）根據(jù)題中的步驟，作圖即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)，求證即可．【詳解】（1）解：如下圖，所示：（2）證：∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)O，∴，（線段垂直平分線的性質(zhì)）又∵，，∴（）∴，∴．故答案為：線段垂直平分線的性質(zhì)，，【點(diǎn)睛】此題考查了尺規(guī)作圖－作垂線，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．【知識(shí)拓展5】線段垂直平分線的綜合運(yùn)用例5．（2022春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，與相交于點(diǎn)F，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】①根據(jù)，，即可得解；②先證明是的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得結(jié)論；③根據(jù)“邊角邊”即可證明；④根據(jù)可得，進(jìn)而可以判斷．【詳解】解：①∵，，∴，∴，故①正確；②如圖，記，的交點(diǎn)為，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的垂直平分線，∴；故②正確；③∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，在與中，，∴，故③正確；④∵，∴，∵，∴；故④正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與邊的關(guān)系．【即學(xué)即練5】5．（2022春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，是等腰的角平分線，，，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，過(guò)點(diǎn)C作的平行線，兩線交于點(diǎn)G．與交于E，與交于F，連接，點(diǎn)N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤其中正確的是________（填寫番號(hào)）【答案】①④⑤【分析】由是角平分線及，可以證明，則可得，，，由得是的垂直平分線，則，又可得，可計(jì)算出，則可判定②錯(cuò)誤；由，易得，進(jìn)而可得，即可判定①正確；由可得，即⑤正確；由知，③錯(cuò)誤；連接、，過(guò)作于點(diǎn)，則，，當(dāng)與的中點(diǎn)重合時(shí)，最小，且最小值為，從而可判定④正確；最后可確定答案．【詳解】解：∵，，∴，∵是的角平分線∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，由，則是的垂直平分線，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正確；∵，，∴，∵∴，∴，∴，即，

故③錯(cuò)誤；連接、，過(guò)作于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，且；∵是的垂直平分線，∴，∴，當(dāng)與的中點(diǎn)重合時(shí)，最小，最小值為，故④正確；故答案為：①④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，注意靈活運(yùn)用這些知識(shí)．知識(shí)點(diǎn)02三角形的垂直平分線【知識(shí)點(diǎn)】1.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外.2.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形.【知識(shí)拓展1】三角形的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例1．（2022春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)期末）如圖，是三條直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路交叉點(diǎn)的距離都相等，則可供選擇的地址有（

）．A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得答案．【詳解】解：如圖所示，分別作，，的垂直平分線，則三條垂直平分線的交點(diǎn)P即為可供選擇的地址，有1處．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022春·廈門·八年級(jí)校考期中）如圖，、、表示三個(gè)居民小區(qū)，為了居民生活的方便，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)生活超市，使它到這三個(gè)居民小區(qū)的距離相等，那么生活超市應(yīng)建在（）A．，兩邊中線的交點(diǎn)處B．，兩邊高線的交點(diǎn)處C．與這兩個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)處D．，兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】D【分析】根據(jù)到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，進(jìn)行判斷即可．【詳解】生活超市到這三個(gè)居民小區(qū)的距離相等，生活超市應(yīng)建在的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選．【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線．熟練掌握中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】三角形的垂直平分線的相關(guān)計(jì)算與證明例2．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，的垂直平分線相交于點(diǎn)，若等于，則___________．【答案】14°【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：連接，的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，求證：點(diǎn)O在的垂直平分線上．【答案】見(jiàn)解析【分析】由垂直平分線的性質(zhì)知，，通過(guò)等量代換可得，即可證明．【詳解】證明：連接OB,OC,∵，的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在，的垂直平分線上，∴，，∴，∴點(diǎn)O在的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及判定，牢記垂直平分線的性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵：垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【知識(shí)拓展3】例3．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)期末）如圖，正方形紙片：①先對(duì)折使與重合，得到折痕；②折疊紙片，使得點(diǎn)A落在的點(diǎn)H上，沿和剪下．則判定為等邊三角形的依據(jù)是（

）A．三邊都相等的三角形是等邊三角形 B．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形C．有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形 D．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)可得，再根據(jù)是的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，由翻折變換得，，，是的垂直平分線，，，是等邊三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正三角形的判定方法．【即學(xué)即練3】3．（2022春·天津·八年級(jí)天津市第五十五中學(xué)期末）有一張長(zhǎng)方形紙片，按下面步驟進(jìn)行折疊：第一步：如圖①，點(diǎn)E在邊上，沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處；第二步：如圖②，沿折疊，使點(diǎn)A落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，折痕為．有下列結(jié)論：（）①是等邊三角形

②

③垂直平分A．只有②正確 B．只有①②正確C．只有①③正確 D．①②③都正確【答案】C【分析】只要證明，即可推出是等邊三角形；只要證明也是等邊三角形即可判斷③；的長(zhǎng)度不確定，無(wú)法判斷與的大小關(guān)系．【詳解】解：如圖，∵，又，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，故①正確，∴是等邊三角形，∴，∴垂直平分，故③正確，由于的長(zhǎng)度不確定，所以不一定等于，故②錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、線段的垂直平分線的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2022春·河北秦皇島·八年級(jí)期末）三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，即可解答．【詳解】解：三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三條垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理以及逆定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2.（2022春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，在中，，分別以A、C為圓心，大于長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連接，與、分別相交于點(diǎn)D、E，連接，當(dāng)，時(shí)，周長(zhǎng)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算，結(jié)合作圖得是的垂直平分線，得到，結(jié)合周長(zhǎng)為，代入計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，，，所以，根?jù)題意，得是的垂直平分線，所以，因?yàn)橹荛L(zhǎng)為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，線段的垂直平分線性質(zhì)及其基本作圖，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙三家分別位于的三個(gè)頂點(diǎn)處，現(xiàn)要建造一個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，使得三家到核酸檢測(cè)點(diǎn)的距離相等，則核酸檢測(cè)點(diǎn)應(yīng)建造在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵線段的垂直平分線的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，∴這三家到核酸檢測(cè)點(diǎn)距離相等，核酸檢測(cè)點(diǎn)的建造位置是在三邊的垂直平分線上，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022春·遼寧撫順·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，已知與的周長(zhǎng)分別為19和11，則的長(zhǎng)等于______．【答案】4【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是邊的垂直平分線，∴，，∵中與的周長(zhǎng)分別為19和11，∴，，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·上海徐匯·八年級(jí)上海市南洋模范中學(xué)校考期中）滿足底邊為已知線段的等腰三角形的頂點(diǎn)在______上．【答案】線段的垂直平分線【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，知點(diǎn)到、的距離相等，再結(jié)合到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線，即可解答．【詳解】解：因?yàn)榫€段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，滿足底邊為已知線段的等腰三角形的頂點(diǎn)在是線段的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義和線段垂直平分線的判定；理解是底邊是正確解答本題的關(guān)鍵．6．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，中，，，．(1)作邊的垂直平分線，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，求的度數(shù)；(3)的周長(zhǎng)為______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30°(3)【分析】（1）利用基本作圖作的垂直平分線；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可計(jì)算出，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到,所以，然后計(jì)算出即可．（3）利用垂直平分線的性質(zhì)知，再利用周長(zhǎng)的定義即可得解．【詳解】（1）如圖所示（2）∵，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴．（3）∵垂直平分，∴，∴即的周長(zhǎng)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：作線段的垂直平分線及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握用尺規(guī)作線段垂直平分線的方法及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無(wú)刻度直尺；②保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖（1）中畫一個(gè)角，使點(diǎn)或點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且為這個(gè)角的一邊；(2)在圖（2）中畫出線段的垂直平分線，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫圖的方法（不要求證明）．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）要構(gòu)造角考慮構(gòu)造等腰直角三角形，根據(jù)題意證明線段相等，進(jìn)而證得三角形全等，再利用全等的性質(zhì)推導(dǎo)出直角，即可解決此題；（2）根據(jù)垂直平分線的判定“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上”，找到兩個(gè)這樣的點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線即可找到AB的垂直平分線．【詳解】（1）解：如圖3，連接AC、BC是六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，，（SSS）即圖中即為所求（2）解：如圖4，連接EF、BD、AC、CD、AD、CB，AB與EF相交于點(diǎn)M，AD與CB相交于點(diǎn)N，作直線MN為矩形由題可知，四邊形為正方形圖中直線MN即為AB的垂直平分線【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度直尺作圖，熟練掌握初中幾何知識(shí)并能靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022春·廣東汕頭·八年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，D為BC的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)E，，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求證：AB垂直平分DF．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由AAS證明，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得，再由，得，則，然后由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）由（1）得：，∵D為BC的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴AB垂直平分DF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，、兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為、，一輛汽車從原點(diǎn)出發(fā)，在軸上行駛．(1)汽車行駛到什么位置時(shí)離村莊最近？寫出此位置的坐標(biāo)．(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出汽車到兩村莊的距離相等的位置，并求出此時(shí)的距離和．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，(2)作圖見(jiàn)解析，【分析】對(duì)于（1），由垂線段的性質(zhì)求解即可；對(duì)于（2），連接，作的垂直平分線，交x軸與點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，最后根據(jù)勾股定理求得，，即可得出答案．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足P即為所求作的點(diǎn)，此時(shí)，汽車距離A點(diǎn)最近，此位置的坐標(biāo)是；（2）如圖所示，連接，作的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)P即為所求作，根據(jù)題意可知，，，，∴，則.根據(jù)勾股定理得，即，解得.根據(jù)勾股定理得，所以距離和等于.．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段的性質(zhì)等，勾股定理是求線段長(zhǎng)的常用方法．10．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，直線和直線分別是線段和線段的垂直平分線，為交點(diǎn)．求證：點(diǎn)到點(diǎn)，，的距離相等．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)直線和直線分別是線段和線段的垂直平分線，可知，，，，根據(jù)邊角邊的關(guān)系證明三角形全等，由三角形全等的性質(zhì)即可求證．【詳解】證明：如圖所示，連接，，，∵直線和直線分別是線段和線段的垂直平分線，∴在，中，是公共邊，，，∴，∴，同理，在，中，是公共邊，，，∴，∴，∴，即點(diǎn)到點(diǎn)，，的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判斷和線段的垂直平分線，掌握垂直平分線垂直平分所交線段和全等三角形的判斷是解題的關(guān)鍵．11.（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)在圖中作出關(guān)于直線l對(duì)稱的；（要求：A與，B與，C與相對(duì)應(yīng)）(2)的面積是．(3)若有一格點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離相等（），則網(wǎng)格中滿足條件的點(diǎn)P共有個(gè)；(4)在直線l上找一點(diǎn)Q，使的值最?。ㄒ螅簣D中標(biāo)注點(diǎn)Q，要有作圖痕跡）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5(3)4(4)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)找點(diǎn)，描點(diǎn)，連線的方法，進(jìn)行作圖即可；（2）利用割補(bǔ)法求的面積即可；（3）根據(jù)，得到在線段的中垂線上，進(jìn)行求解即可；（4）連接，與直線l的交點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：的面積為：．故答案為：5．（3）∵格點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離相等，∴點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，如圖所示，滿足題意，共4個(gè)，故答案為：4（4）解：∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最??；如圖，點(diǎn)即為所求；【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中軸對(duì)稱作圖，中垂線的性質(zhì)，以及網(wǎng)格中求三角形的面積．熟練掌握成軸對(duì)稱的作圖方法，以及中垂線上點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，和利用對(duì)稱解決線段和最小問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)期末）如圖，D是內(nèi)部的一點(diǎn)，，．下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，故①正確；∵，∴，即，∴，故②錯(cuò)誤；∵，，∴垂直平分，故③正確；∴平分，故④正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)判斷，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，平分交于E，于D．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)E在線段的垂互平分線上；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的判定定理、直角三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，故②正確；∵，，∴，∵，∴，∴，故③正確；∵，，∴，∵，，∴，∴，故④正確；綜上，正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．3．（2022春·遼寧盤錦·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，三角形中，的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個(gè)結(jié)論：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)垂直的定義、等腰三角形的性質(zhì)判斷①；結(jié)合題意判斷②；根據(jù)線段垂直平分線的判定定理判斷③；根據(jù)三角形的面積公式判斷④，即可．【詳解】解：∵的平分線交BC于點(diǎn)D，，，∴，，∴，∴，故①正確；∵不一定等于，∴不一定平行，故②錯(cuò)誤．∵，∴，又，∴垂直平分，故③正確；，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和判定、平行線的判定，掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，中，，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，若等于，則______．（用含的式子表示）【答案】【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：，分別是，的垂直平分線，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．5．（2022春·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，平分，下列結(jié)論：點(diǎn)在的垂直平分線上；；；圖中的三個(gè)三角形都是等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明，可得在的垂直平分線上，進(jìn)而可以判斷正確；在上截取，連接，證≌，推出，，求出，即可判斷；然后判斷、、都是等腰三角形，進(jìn)而可得正確．【詳解】解：在中，，，，平分，，，，在的垂直平分線上，故正確；如圖，在上截取，連接，在和中，≌，，，，，，，故正確；，，，，故錯(cuò)誤；，，，、、都是等腰三角形，故正確；正確結(jié)論的序號(hào)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及線段垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于，交于，，則的周長(zhǎng)為_______．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知，是的垂直平分線，是的垂直平分線，由此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱是點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴的周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（北京市門頭溝區(qū)2022—2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）已知，如圖，在中，是的平分線，且，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．以直線為對(duì)稱軸作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)直接寫出與的位置關(guān)系；(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)畫圖見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)至，使，再連接，可得答案；（2）由作圖可得：，而，可得，證明，結(jié)合，可得，可證明；（3）證明，可得，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，補(bǔ)全圖形如下；（2），理由如下：由作圖可得：，而，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴．（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟練的利用角平分線，平行線，等腰三角形三者在圖形中的關(guān)聯(lián)關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．8．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上，以為邊作等邊，點(diǎn)P在x軸正半軸上，以為邊在第一象限內(nèi)作等邊，連并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C．(1)證明：(2)求的度數(shù)(3)連接，求證：垂直平分【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得出答案；（3）根據(jù)證明得出，根據(jù)垂直平分線的判定即可得出答案．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴在四邊形中，，∴．（3）解：連接，如圖所示：∵，∴與為直角三角形，∵，，∴，∴，又∵，、兩點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．9．（2022春·江蘇南通·八年級(jí)期中）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線的一點(diǎn)，連接，，若，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．(1)【理解運(yùn)用】如圖2，在中，D為上一點(diǎn)，點(diǎn)D，E關(guān)于直線對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，判斷點(diǎn)B是否為點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)【拓展提升】如圖2，在（1）的條件下，若，，點(diǎn)Q是射線上一點(diǎn)，且點(diǎn)D，Q關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”為點(diǎn)C，請(qǐng)利用尺規(guī)在圖2中確定點(diǎn)Q的位置，并求出的度數(shù)；(3)【拓展提升】如圖3，在中，，的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O到AC的距離為1，直線l垂直平分邊，點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線l“等角點(diǎn)”，連接，，當(dāng)時(shí)，的值為．【答案】(1)點(diǎn)B是點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線AB的“等角點(diǎn)”；(2)(3)【分析】（1）D、E關(guān)于對(duì)稱，得出，角的等量替換可得即可證明．（2），求出，根據(jù)等角點(diǎn)求出，再求出；（3）連接，直線l垂直平分，求出，點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線“等角點(diǎn)”，證得O、P、C共線，作于D，平分，平分，即可證得．【詳解】（1）點(diǎn)B是點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，理由如下：∵D、E關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)B是點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”；（2）如圖2，∵，，∴．∵點(diǎn)D，Q關(guān)于直線，的“等角點(diǎn)”分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，∴，∴，∴；（3）如圖3，連接，∵直線l垂直平分，∴，∴，∵點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線“等角點(diǎn)”，∴，∴，∴O、P、C共線，∴，作于D，∵平分，平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線、垂直平分線、角和線段的等量代換，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線、垂直平分線、角和線段的等量代換的知識(shí)并會(huì)作輔助線．10．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段及點(diǎn)Q，給出如下定義：若點(diǎn)Q滿足，則稱點(diǎn)Q為線段的“中垂點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”．(1)如圖1，，下列各點(diǎn)中，線段的中垂點(diǎn)是__________(2)如圖2，點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn)，若為線段OA的“完美中垂點(diǎn)”，則線段OQ的兩個(gè)“完美中垂點(diǎn)”的坐標(biāo)是______和________，兩者的距離是________(3)如圖3，若點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”，點(diǎn)在y軸上，在線段上方畫出線段的“完美中垂點(diǎn)”M，直接寫出________（用含m的式子表示）．并求出．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）由“中垂點(diǎn)”定義即可求解；（2）畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（3）分別以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧，二者的交點(diǎn)即為M；證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴線段的垂直平分線為直線，∵Q是線段的中垂點(diǎn)，∴點(diǎn)Q在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)Q在直線上，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，∴只有是線段的中垂點(diǎn)，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”，∴，即為線段的一個(gè)“完美中垂點(diǎn)”，設(shè)線段的另外一個(gè)“完美中垂點(diǎn)”為L(zhǎng)，如下圖所示，∴，∴和都是等邊三角形，∴，∴，∴．∴故答案為：，，；（3）解：如圖，分別以A、P為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧，二者的交點(diǎn)即為M；∵M(jìn)是的“完美中垂點(diǎn)”，點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”∴，∴和為等邊三角形，∴，∴，∴，∵．∴．故答案為：m【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)和判定．本題屬于新定義的類型題，能結(jié)合定義畫出對(duì)應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022春·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“等形”，連接等形的對(duì)角線、，下列結(jié)論：①；②垂直平分；③四邊形的面積；④若，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)“邊邊邊”證明可判斷①；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可判斷②；由三角形面積計(jì)算公式可判斷③；延長(zhǎng)到，使，連接，由“邊角邊”定理判斷，可得，由線段和差關(guān)系可得從而可判斷④．【詳解】解：①在和中，，，，故①正確；②，，垂直平分，故②正確；③，四邊形的面積，故③錯(cuò)誤；延長(zhǎng)到，使，連接，如圖所示：，，又，，，，，，，，，，又，，，，，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，垂直平分線，理解“箏形”的性質(zhì)和添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．【答案】或##或【分析】分兩種情況：（1）點(diǎn)C在第一象限，（2）點(diǎn)C在第二象限．針對(duì)每一種情況，分別畫出圖形，再利用全等求出距離，從而得出C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵C在AB的垂直平分線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；分兩種情況：（1）過(guò)點(diǎn)C作于D，于E，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，在與中，∴，∴，，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（不合題意舍去），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為：；（2）過(guò)點(diǎn)C作于D，于E，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，在與中，∴，∴，，由勾股定理得：，，解得：，或（不合題意舍去）．則點(diǎn)C坐標(biāo)為；綜上可知點(diǎn)C坐標(biāo)為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意分類思想的運(yùn)用，有一定的難度．3．（2022秋·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知是等邊三角形，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)B、C），過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，的垂直平分線分別交于點(diǎn)F、G，連接．當(dāng)點(diǎn)D在邊上移動(dòng)時(shí)，有下列三個(gè)結(jié)論：①一定為等腰三角形；②一定為等邊三角形；③可能為等腰三角形．其中正確的有__________．（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定，即可得出結(jié)論．【詳解】∵的垂直平分線分別交于點(diǎn)F、G，∴，∴一定為等腰三角形，故①正確；∵，，∴，∴，又∵是等邊三角形，∴，∴中，，∴是等邊三角形，故②正確；∵，，，∴不可能是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．4．（2022春·四川廣安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中．，平分交于E，于D．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)E在線段的垂直平分線上：③；④；⑤，其中正確的有___________（填結(jié)論正確的序號(hào)）．【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)角平分線的定義、等角對(duì)等邊、線段的垂直平分線的判定及含30度角的直角三角形的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)分析即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，，∵平分交于E，∴，∴，∴點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，故②正確；∵，∴，故①正確；∵，∴，∴，故③正確；設(shè)，則，，∴，，∴，故④錯(cuò)誤；∵，∠BAC=90°，∴，∴，故⑤正確．綜上，正確的有①②③⑤．故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的判定定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．5．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)期中）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接，．若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，依題意補(bǔ)全圖2．若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)，詳見(jiàn)解析【分析】（1）利用SAS證明，可得，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，，連接，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由（1）可知，，繼而可得，即，繼而可得，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可求解．【詳解】（1）證明：在和中，∴（SAS），∴∴，∵，∴．（2）由題意補(bǔ)全圖形如下：．證明：延長(zhǎng)到F，使，連接，，∵，，∴，由（1）可知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線定理，證明是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，邊的垂直平分線交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)_________；(2)如圖1，當(dāng)，且．①若，則________°；②當(dāng)_________°時(shí)，；(3)如圖2，連接，，．若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為．則線段________；線段__________．(4)如圖3，若，則__________°．【答案】(1)(2)①60；②135(3)9；6(4)36【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)