專題13 乘法公式重難點題型專訓（11大題型）（解析版）

專題13乘法公式重難點題型專訓（11大題型）【題型目錄】題型一運用平方差公式進行運算題型二平方差公式與幾何圖形題型三運用完全平方公式進行運算題型四通過完全平方公式變形求值題型五求完全平方公式中的字母系數題型六完全平方式在幾何圖形中的應用題型七整式的混合運算題型八乘法公式中的多結論問題題型九乘法公式的相關計算題型十乘法公式中的“知二求三”題型十一乘法公式與幾何圖形的綜合應用【知識梳理】知識點一、平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如知識點二、完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：知識點三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.知識點四、補充公式；；；.【經典例題一運用平方差公式進行運算】1．（2023上·上海·七年級?？计谥校┫铝卸囗検匠朔ㄓ嬎阒?，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式．根據平方差公式逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，能用平方差公式，則此項不符合題意；B、，不能用平方差公式，則此項符合題意；C、，能用平方差公式，則此項不符合題意；D、，能用平方差公式，則此項不符合題意；故選：B．2．（2023上·福建泉州·八年級福建省泉州第一中學校考階段練習）用乘法公式計算的結果（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先乘以，再依次根據平方差公式進行計算即可．【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式的應用，主要考查學生運用公式進行計算的能力，注意：，難度適中．3．（2023上·北京東城·八年級匯文中學?？计谥校┫铝惺阶又校孩伲虎?；③；④，能用平方差公式運算的是.【答案】①③④【分析】本題考查平方差公式，根據平方差公式，觀察各個選項中式子的結構特征即可得到答案．【詳解】解：①原式；③原式；④；不能用平方差公式運算，故答案為：①③④．4．（2022下·廣東佛山·七年級?？紝ｎ}練習）若則的值為．【答案】4【分析】根據得到，化簡被求代數式，整體代入計算即可．【詳解】∵，∴，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了整體思想計算代數式的值，熟練掌握思想是解題的關鍵．5．（2023上·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習）（1）你能求出的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先從簡單的情況入手，分別計算下列各式的值．______；______；______；…由此我們可以得到：______．（2）利用（1）的結論，完成下面的計算：．（3）求的值的個位數字，是______．（只寫出答案）【答案】（1），，，；（2）；（3）【分析】（1）先根據多項式乘以多項式法則算乘法，再合并同類項即可；（2）根據得出的規(guī)律求出即可；（3）根據得出的規(guī)律求出即可；【詳解】（1）；；；（2）（3），個位數字以循環(huán)，故的個位數為2，故個位數字是：1．【點睛】本題考查了整式的乘法，平方差公式、數字的規(guī)律問題，能根據算式得出規(guī)律是解此題的關鍵．【經典例題二平方差公式與幾何圖形】1．（2023下·甘肅蘭州·七年級統考期中）下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過割，拼，形成新的圖形，其中不能驗證平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③【答案】D【分析】根據各個圖形中陰影部分面積的“算兩次”，進而判斷是否驗證平方差公式即可．【詳解】解：圖①中，將陰影部分沿著虛線裁剪，可以拼成右側的平行四邊形，陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即，所拼成的是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有，所以圖①可以驗證平方差公式，不符合題意；圖②中陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即，所拼成的長方形的長為，款為，因此面積為，所以有，因此圖②可以驗證平方差公式，不符合題意；圖③中陰影部分可以看作是邊長為的正方形，因此面積為，所拼成的圖形中陰影部分的面積可以看作四個小正方形的面積和，，因此不能驗證平方差公式，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的前提，用代數式表示圖形中陰影部分的面積是解決問題的關鍵．2．（2023下·浙江麗水·七年級校聯考階段練習）如圖，把一塊面積為的大長方形木板分割成個正方形①、②、③和個大小相同的長方形④、⑤且每個小長方形的面積均為，則標號為②的正方形的面積為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】設標號為①的正方形的邊長為，標號為②的正方形的邊長為，根據圖形及已知條件可將④⑤長方形的長和寬表示出來，再根據每個小長方形的面積均為及大長方形的面積為，得出與的數量關系，然后解得即可．【詳解】解：設標號為①的正方形的邊長為，標號為②的正方形的邊長為，則標號為④⑤的長方形長為，寬為，∵每個小長方形的面積均為，∴，∴，∴．∵大長方形的長等于標號為⑤的小長方形的長與標號為①的正方形的邊長的和，寬等于標號為⑤的小長方形的寬與標號為③的正方形的邊長的和，∴大長方形的長為：寬為：，∵大長方形的面積為，∴，∴，∴，∴，即標號為②的正方形的面積為．故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式在幾何圖形面積計算中的應用，數形結合并理清題中的數量關系是解題的關鍵．3．（2023下·陜西渭南·七年級統考期中）如圖，正方形的面積比正方形的面積小6，則陰影部分的面積是．

【答案】3【分析】設正方形與正方形的邊長分別為和，根據兩者面積差為6，可得．利用含、的代數式表示出陰影部分的面積，將整體代入即可求解．【詳解】解：設正方形與正方形的邊長分別為和，由題意得：．由圖形可得：．故答案為3．【點睛】本題考查平方差公式在幾何圖形中的應用，解題的關鍵是用含、的代數式表示出陰影部分的面積．4．（2023下·陜西榆林·七年級統考期末）將一個長方形按如圖①所示進行分割，得到兩個完全相同的梯形，再將它們拼成如圖②所示的圖形，根據兩個圖形中面積間的關系，可以驗證的乘法公式為．

【答案】【分析】分別用代數式表示兩個圖中的面積即可．【詳解】由拼圖可知，圖①為長為，寬為的長方形，因此它的面積為，圖②的面積可以看作邊長為a，邊長為b的兩個正方形的面積差，即，因此它的面積為，因此有，故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數式表示各個部分的面積是正確解答的關鍵．5．（2023上·山西臨汾·八年級?？计谥校┤鐖D，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是：______（請選擇正確的選項）：A．

B．C．

D．(2)請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①根據以上等式簡便計算：．②已知，，計算的值；③計算：．【答案】(1)D(2)①800；②9；③【分析】（1）圖1陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長為，寬為的長方形，可表示其面積，由兩種方法所求的面積相等可得答案；（2）①根據平方差公式將計算即可；②根據平方差公式得到，由得到，即可計算的值；③利用平方差公式將原式化為，進而得出即可．【詳解】（1）解：圖1陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長為，寬為的長方形，因此面積為，由圖1、圖2的面積相等得，，故選：D；（2）解：①；②∵，，∴，即，∴；③原式．【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的前提．【經典例題三運用完全平方公式進行運算】1．（2023上·福建泉州·八年級統考期中）已知，，，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應用，由題意得，把溱成兩個數的差的平方形式即可求解；靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，則，故選：D．2．（2023上·八年級課時練習）若，則的結果是（

）A．23 B．8 C． D．【答案】A【分析】根據完全平方公式得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了了完全平方公式，解題的關鍵是掌握完全平方公式．3．（2023上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）若，，則．【答案】【分析】首先把等式的等號兩邊分別平方，即得，然后根據題意即可得解．【詳解】∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了完全平方公式的變形應用，解題的關鍵是掌握完全平方的變形公式．4．（2022下·廣東清遠·七年級?？茧A段練習）例：若，求和的值．解：因為，所以所以，所以，，所以，，已知，滿足，求的值為．【答案】【分析】仿照例題的思路，湊成兩個完全平方式，再利用偶次方的非負性，先求出，的值，然后代入進行計算即可得到答案．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方式及偶次方的非負性，熟練掌握完全平方式是解題的關鍵．5．（2023上·福建泉州·八年級?？计谥校┰趯W習乘法公式的運用時，我們常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代數式的最小值？總結出如下解答方法：解：∵，∴當時，的值最小，最小值是，∴，∴當時，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1．根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)填空：；．(2)若，當__________時，有最__________值（填“大”或“小”），這個值__________；(3)已知，，是的三邊長，，滿足，且的值為代數式的最大值，請判斷的形狀，并求出該三角形的周長．【答案】(1)；；(2)；??；(3)為等腰三角形，周長為【分析】本題考查完全平方公式的應用，非負數的性質，三角形的分類，（1）利用完全平方公式即可求解；（2）仿照示例配方后即可確定最小值；（3）利用配方法求出，，的值，即可判斷的形狀，并求出該三角形的周長；熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：；，故答案為：；；；（2），∵，∴當時，的值最小，最小值是，∴，∴當時，的值最小，最小值是，∴的最小值是，答案為：；??；；（3）為等腰三角形，理由如下：∵，∴，∴，∴，∴，，解得：，，又，∵，∴，∴，∴當時，的值最大，最大值是，即當時，有最大值，這個值是，∴，∴，∴為等腰三角形，周長為，∴為等腰三角形，該三角形的周長為．【經典例題四通過完全平方公式變形求值】1．（2023上·湖北武漢·九年級統考期中）已知實數m，n滿足，則的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【詳解】先把原式轉化為，可得當，時，等式成立，即可求得，，再代入求值即可．【分析】解：，∴，∵，，∴，，即，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查非負數的性質、代數式求值，解一元一次方程，變形得出是解題的關鍵．2．（2022上·廣東河源·七年級統考期中）已知，則的值為()A．12 B．24 C．28 D．44【答案】D【分析】由，可得，，整理得，，，根據，代值求解即可．【詳解】解：∵，∴，，整理得，，，∴，故選：D．【點睛】本題考查了絕對值的非負性，完全平方公式的變形，代數式求值．解題的關鍵在于對絕對值的非負性，完全平方公式的變形的熟練掌握與正確運算．3．（2022上·山東淄博·八年級淄博市張店區(qū)實驗中學?？茧A段練習）若，則的值是．【答案】/【分析】先根據非負數的性質求出、的值，再代入進行計算即可．【詳解】解：∵，即：∴，∴，，則．故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，非負數的性質．利用完全平方公式進行配方是解決問題的關鍵．4．（2023下·浙江溫州·七年級?？计谀┤鬾滿足關系式，則代數式的值是．【答案】【分析】設，則可得，，根據完全平方公式即可求出的值，即的值．【詳解】設，，則，．，，，．故答案為：【點睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式，并且靈活運用換元法是解題的關鍵．5．（2023上·內蒙古通遼·九年級統考期中）閱讀材料：若，求m、n的值．解：，．．．．根據上述材料，解答下面的問題：(1)已知，求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）根據題目所給的方法，利用完全平方公式，求出x和y的值，即看求解；（2）根據，得出，將代入，得，利用題目所給方法和完全平方公式，求出b和c的值，再得出a的值，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：∵，∴，將代入，得，，，，解得，則，∴．【點睛】本題主要考查了完全平方公式，平方的非負性，解題的關鍵是掌握完全平方公式，以及幾個非負數相加和為0，則這幾個非負數分別為0．【經典例題五求完全平方公式中的字母系數】1．（2023上·上海浦東新·七年級統考期中）若是一個關于的完全平方式，那么k值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可得到k的值．【詳解】解：，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了完全平方式的應用，兩數的平方和，再加上或減去他們乘積的倍，就構成一個完全平方式，熟練掌握完全平方公式的特點是解題關鍵．2．（2023下·陜西咸陽·七年級?？计谥校┮?guī)定三角“

”表示，方框“

”表示．例如：

÷

．若代數式

為完全平方式，則的值是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先依據題目的給出的運算規(guī)律將其簡化為，再根據是完全平方式，將其配方為，展開后通過比較同類項系數即可求出k值．【詳解】解：依據題意，有：原式=；∵代數式為完全平方式，∴原式=，∴將展開，比較等號兩邊同類項系數可得，解得．故選：B．【點睛】本題考查了完全平方式的知識，依據題目給出的運算法則將所求代數式準確轉化為常見的代數式形式是解答本題的關鍵．3．（2023上·上海奉賢·七年級校聯考期中）已知關于x的式子是某個多項式的完全平方，那么A是．【答案】、和【分析】本題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結構特征判斷即可求出A，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【詳解】解：①∵，∴，②若是多項式的平方，則；故答案為：、和．4．（2023上·湖南衡陽·八年級?？茧A段練習）若關于的二次三項式是完全平方式，則的值為．【答案】或【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定的值．【詳解】解：∵二次三項式是完全平方式，，∴，∴或，故答案為：或．【點睛】此題考查了完全平方式，掌握完全平方式的特點是解題的關鍵．5．（2023上·山東煙臺·八年級統考期中）課本原題：當k取何值時，是一個完全平方式？解決此類問題的關鍵是熟練掌握完全平方公式：的結構特征。因為，是一個完全平方式，故將寫成，根據多項式對應項的系數相等，得到．(1)請嘗試用語言敘述完全平方公式的結構特征：；(2)若是完全平方式，則m的值為；若(n為常數)是完全平方式，則n的值為；(3)已知，請求出b的值．【答案】(1)左邊是兩個數的和（差）的平方，右邊是一個二次三項式，其中首末兩項分別是兩數的平方，都為正，中間一項是兩數積的兩倍，其符號與等式左邊的運算符號相同（答案不唯一，能描述清楚即可）(2)10或；16(3)【分析】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式：的結構特征是解題關鍵；（1）根據完全平方公式結構特征用語言表述即可；（2）根據完全平方公式結構特征：求字母常數的值即可；（3）根據完全平方公式結構特征：求字母常數的值即可．【詳解】（1）解：完全平方公式：，完全平方公式的結構特征：左邊是兩個數的和（差）的平方，右邊是一個二次三項式，其中首末兩項分別是兩數的平方，都為正，中間一項是兩數積的兩倍，其符號與等式左邊的運算符號相同，故答案為：左邊是兩個數的和（差）的平方，右邊是一個二次三項式，其中首末兩項分別是兩數的平方，都為正，中間一項是兩數積的兩倍，其符號與等式左邊的運算符號相同；（答案不唯一，能描述清楚即可）（2）解：是完全平方式，，，解得：或；是完全平方式，，，故答案為：10或；16；（3）解：，，，，．【經典例題六完全平方式在幾何圖形中的應用】1．（2021下·廣東佛山·七年級統考期中）用四個全等的矩形和一個小正方形拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積是169，小正方形的面積是9，若用x，y表示矩形的長和寬（），則下列關系式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圖形和題目中的數據可以分別判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，169?9＝4xy，得xy＝40，故選項C正確，（x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故選項A正確，（x?y）2＝9，得x?y＝3，故選項B正確，，故選項D錯誤，故選：D．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關鍵是明確題意，巧妙變形，利用數形結合的思想判斷各個選項是否正確．2．（2021下·浙江·七年級期中）如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，現將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，可得m+n=22，再根據長方形面積公式可得mn=120，再根據完全平方公式即可求解．【詳解】解：∵花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，解題的關鍵是靈活運用完全平方公式．3．（2022上·山東煙臺·八年級統考期中）如圖，有A類卡片3張、B類卡片4張和C類卡片5張，從其中取出若干張，每種卡片至少取一張，把取出的這些卡片拼成一個正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的邊為．【答案】或【分析】根據三種卡片的張數可知有和兩種情況，進而可得答案．【詳解】解：∵有A類卡片3張，B類卡片4張，C類卡片5張，∴由可知用1張A，2張B，1張C可拼成邊長是的正方形；由可知用1張A，4張B，4張C可拼成邊長是的正方形；故答案為：或．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，解題的關鍵是掌握．4．（2023下·河北邢臺·七年級校聯考階段練習）現有一張邊長為a的大正方形卡片和三張邊長為b的小正方形卡片，如圖1，取出兩張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成圖2；則圖2中陰影部分的邊長為（用含有a，b的代數式表示）；再重新用三張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成圖3．則圖3中陰影部分的面積為．（用含有a，b的代數式表示）；已知圖3中的陰影部分的面積比圖2中的陰影部分的面積大，則小正方形卡片的面積是．【答案】5【分析】先根據正方形的性質得出圖2和圖3中陰影部分的面積，進而列出等量關系并化簡整理，即可求解．【詳解】解：根據題意，圖3中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分為正方形，邊長為，故圖2中陰影部分面積為，∵圖3中的陰影部分的面積比圖2中的陰影部分的面積大，∴，，解得：，即小正方形卡片的面積是5，故答案為：，，5．【點睛】本題考查正方形的性質，列代數式，整式的混合運算，完全平方公式，正方形的面積公式，正確得出陰影部分的面積是解答的關鍵．5．（2022·河北邢臺·校考三模）已知有若干張如圖所示的正方形卡片和長方形卡片，其中型卡片是邊長為的正方形，型卡片是邊長為的正方形，型卡片是長為，寬為的長方形，

(1)若嘉嘉要用這三種卡片緊密拼接成一個長為，寬為的長方形，求嘉嘉需要，，各多少張？(2)若嘉瑞要用這三種卡片緊密拼接成一個正方形，先取型卡片張，再取型卡片張，還需取型卡片多少張？(3)若嘉嘉用這三種卡片緊密拼接成一個面積為的長方形，則滿足條件的的整數值個．【答案】(1)需要卡片張，卡片張，卡片張(2)要用這三種卡片緊瑞拼接成一個正方形，還需取型卡片張(3)【分析】（1）根據多項式乘以多項式，進行計算即可求解；（2）根據完全平方公式變形，即可求解；（3）根據題意，，可得，將因式分解，即可求解．【詳解】（1）∵長方形的面積為：．∴嘉嘉需要A卡片6張，B卡片1張，C卡片5張；（2）∵A型卡片4張，再取B型卡片1張的面積之和為，且是一個完全平方公式，∴要用這三種卡片緊瑞拼接成一個正方形，還需取C型卡片4張；（3）依題意，設長方形的邊長為，則依題意，∵，∴或或．故答案為：．【點睛】本題考查了多項式乘法與圖形，完全平方公式與圖形，熟練掌握多項式乘方法則是解題的關鍵．【經典例題七整式的混合運算】1．（2023上·福建福州·七年級福建省福州延安中學校考期中）如圖1是寬為，長為的小長方形紙片，將8張如圖1的紙片按圖2的方式不重疊地放在長方形內，已知的長度固定不變，的長度可以變化，圖中陰影部分（即兩個長方形的面積）分別表示為，若，且為定值，則滿足的數量關系（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意得出兩塊陰影部分的長和寬，再根據長方形面積公式得出S的表達式，根據S為定值，得出S的值與x無關，即可得出結論．【詳解】解：設，由圖可知，上面陰影部分長為，寬為，下面陰影部分長為，寬為，∴，∵S為定值，∴S的值與x無關，∴，則，故選：D．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是根據圖形正確列出代數式，熟練掌握整式混合運算的運算順序和運算法則．2．（2023下·浙江寧波·七年級校聯考期中）如圖，有三張正方形紙片，，，它們的邊長分別為，，，將三張紙片按圖，圖兩種不同方式放置于同一長方形中，記圖中陰影部分周長為，面積為，圖中陰影部分周長為，面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題目中的數據，設大長方形的寬短邊長為，表示出，，，，再代入，即可求解．【詳解】解：設大長方形的寬為，由圖知，，，，，，，，，，，，的值為．故選：．【點睛】本題主要考查整式的混合運算，明確整式的混合運算的計算方法是解題的關鍵．3．（2022·河北保定·?？寄M預測）已知，則=【答案】15【分析】原式利用多項式乘多項式、完全平方公式化簡，去括號合并后得到最簡結果，根據可得，然后整體代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值．【詳解】解：，∵，∴∴∴原式.故答案為：15．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，將化簡結果適當變形，利用整體代入的方法解答是解題的關鍵．4．（2023下·安徽池州·七年級統考期末）如果，那么代數式的值為．【答案】4【分析】先將條件變形為，再把變形為，然后整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴=====4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算及求值，熟練掌握乘法公式是解答本題的關鍵．5．（2023上·天津河西·七年級統考期中）閱讀材料：“整體換元思想”是中學數學解題中的一種方法，如把某個多項式看成一個整體，可以使得問題簡化，它在多項式的化簡與求值中應用廣泛例如：把看作一個整體，計算解：設，則原式可參考以上想法解答下面問題：(1)計算：(2)計算：利用分配律，試計算的結果；(3)求值：已知，，，求的值【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）把看作一個整體，進行計算即可；（2）根據乘法分配律進行計算即可；（3）由已知求得，，再代入計算即可．【詳解】（1）解：設，原式；（2）解：原式；（3）解：，，，，，．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，化簡求值，解題的關鍵是整體代入思想的運用，注意去括號時符號的變化．【經典例題八乘法公式中的多結論問題】1．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學校聯考階段練習）有個依次排列的整式：第一項是，第二項是，用第二項減去第一項，所得之差記為，記；將第二項與相加作為第三項，記，將第三項與相加記為第四項，以此類推，某數學興趣小組對此展開研究，將得到四個結論：①；②當時，第3項值為25；③若第5項與第4項之差為15，則；④第2022項為；⑤當時，；以上正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據題意可以得出規(guī)律，第n項為，，根據規(guī)律逐項求解判斷即可．【詳解】解：由題意可知，第一項為，第二項為，∴，∴，∴，∴，....．∴，故①正確；∵將第二項與相加作為第三項，∴第三項為，當時，，故②錯誤；∵將第3項與相加作為第四項，∴第4項為，以此類推，第n項為，∴第4項為，∵第5項與第4項之差為15，∴，解得，故③正確；∵第n項為，∴第項為，故④錯誤；∵，∴，故⑤正確．故選：C．【點睛】本題主要考查數據的規(guī)律類問題，準確找出題目中的兩組數據的規(guī)律是解答此題的關鍵，難度較大．2．（2023上·四川眉山·八年級校考期中）已知整式，，則下列說法中正確的有（）①不存在這樣的實數，使得；②無論為何值，和的值都不可能同時為正；③若，則；④若，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據所給的說法，列出相應的式子進行運算作出判斷即可得到答案．【詳解】解：①若，則，整理得：，不存在這樣的實數，使得，故①說法正確，符合題意；②當時，解得：，當時，解得：，當時，和的值同時為正，故②說法錯誤，不符合題意；③若，則，故③說法正確，符合題意；④由題意得：，，，故④說法錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①③，共2個，故選：B．【點睛】本題考查了整式的加減、利用平方差公式進行計算、利用完全平方公式進行計算、解不等式組，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵．3．（2023下·浙江·七年級期末）下列四個結論，其中正確的是．①若，，則可表示為；②若的運算結果中不含項，則；③若，，則；④若，則x只能是2．【答案】①②/②①【分析】①利用同底數冪的乘法運算法則可知，此選項是正確的；②利用整式乘法法則展開后可知，此選項是正確的；③根據已知，利用完全平方公式可知，此選項是錯誤的；④冪結果是1，則有兩種情況，要么底數是1，要么指數為0，此選項錯誤．【詳解】解：①若，，則，故此選項正確；②∵不含有項，∴，∴，故此選項是正確的；③∵，∴，故此選項是錯誤的④，當時，，成立；當時，，成立，故此選項是錯誤的．故答案為：①、②．【點睛】本題考查冪的運算法則，多項式乘法，完全平方公式，乘方運算；掌握相關運算法則是解題的關鍵．4．（2023下·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學?？计谥校┮阎齻€實數，，滿足，且，那么則下列結論一定正確的是．（只需要填序號）①；②；③；④【答案】②③/③②【分析】由得，代入整理得，然后判斷各個選項正確與否．【詳解】∵，∴，∵，∴，整理得，∴∴，∴，∴一定正確的是②③；故答案為：②③．【點睛】本題考查完全平方公式，等式的基本性質，解題的關鍵是掌握等式的基本性質和完全平方公式等知識點．【經典例題九乘法公式的相關計算】1．（2023上·北京西城·八年級北京市第十三中學分校?？计谥校┯嬎悖?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式混合運算，重點是多項式乘多項式法則以及完全平方公式的運用；（1）先算乘法，再合并同類項；（2）先用完全平方公式去括號，再算加減；【詳解】（1）原式；（2）原式．2．（2023上·江蘇南京·七年級南京市人民中學校考期中）計算：【答案】【分析】先根據完全平方公式和平方差公式將式子展開，再合并即可．【詳解】．【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關鍵．3．（2023上·江蘇南通·八年級校聯考期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是整式的混合運算．（1）利用完全平方公式計算即可求解；（2）先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式計算即可求解；（4）先乘方，再計算乘法．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．（2023上·江西南昌·八年級統考期中）（）化簡：（）先化簡，后求值：，其中．【答案】（）；（），．【分析】（）去括號，合并同類項即可得到結果；（）去括號，合并同類項，再代入求值，即可得到結果．【詳解】（）解：原式，，；（）解：原式，，，∵，∴，∴原式．【點睛】此題考查了整式的化簡及化簡求值運算，熟練掌握運算法則及整體代入思想是解題的關鍵．5．（2023下·陜西西安·七年級?？茧A段練習）求值：(1)(2)．【答案】(1)1(2)4000000【分析】（1）利用平方差公式計算即可；（2）利用完全平方公式計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查完全平方公式和平方差公式，熟記公式，會利用乘法公式進行簡便運算是解答的關鍵．【經典例題十乘法公式中的“知二求三”】1．（2023上·上海浦東新·七年級統考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把，代入即可得到答案；（2）把，代入即可得到答案；（3）把，代入即可得到答案．【詳解】（1）解：，即，（2），即；（3），即，【點睛】此題考查了利用完全平方公式及其變形求值、多項式乘以多項式變形求值，準確變形和整體代入是解題的關鍵．2．（2023上·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）（1）先化簡，再求值：，其中（2）已知：．求：①的值；

②的值；【答案】（1）

；（2）①

②【分析】（1）先化簡原式，再將代入求解即可；（2）①由即可求解，②由即可求解；【詳解】解：（1）解：原式∵，∴（2）①∵，∴，∵，∴，∴．②∵，，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查完全平方公式和平方差公式的應用，掌握相關知識是解題的關鍵．3．（2022上·河北張家口·八年級統考期末）人教版八年級上冊數學教材第112頁的第7題：已知，，求的值．老師講解了這道題的兩種方法：方法一方法二，，．，．，．，，．請你參照上面兩種解法中的一種，解答以下問題．(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)12【分析】（1）把兩邊平方，利用完全平方公式化簡后將代入計算即可求出的值；（2）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，所求式子化簡后代入計算即可求出值；【詳解】（1）把兩邊平方，得，化簡，得將代入得，解得（2）把兩邊平方，得化簡，得，即，則【點睛】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則及完全平方公式是解本題的關鍵．4．（2023上·福建廈門·八年級廈門市第十中學?？计谥校┮阎?，，求下列代數式的值．(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了完全平方公式變形求值，整式的化簡求值，（）根據完全平方公式變形求值即可求解；（）先根據完全平方公式變形求得，再根據整體代入進行計算即可求解，掌握整體代入是解題的關鍵．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2），，，．5．（2023上·廣西南寧·八年級廣西大學附屬中學?？计谥校╅喿x下列材料并解答下面的問題：利用完全平方公式，通過配方可對進行適當的變形，如：或，從而使某些問題得到解決．例：已知，求的值．解：．通過對例題的理解解決下列問題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若n滿足，求式子的值．【答案】(1)10(2)34(3)0【分析】（1）原式利用完全平方公式變形，將已知等式代入計算即可求出值；（2）把已知等式左右兩邊平方，計算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式計算即可求出值．【詳解】（1）解：∵，∴原式；（2）解：把兩邊平方得：，則；（3）解：∵，∴則【點睛】此題考查了完全平方式的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【經典例題十一乘法公式與幾何圖形的綜合應用】1．（2023上·湖南長沙·八年級校聯考期中）在課后服務課上，老師準備了若干張如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．【發(fā)現】（1）根據圖2，寫出一個我們熟悉的數學公式；【應用】（2）根據（1）中的數學公式，解決如下問題：①已知：，，求的值；②如果一個長方形的長和寬分別為和，且，求這個長方形的面積．【答案】（1）；（2）①；②這個長方形的面積為．【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，應用完全平方公式進行變形計算．（1）由圖形得出完全平方公式即可；（2）①根據完全平方公式計算出的值即可；②令，，則，，根據完全平方公式計算即可．【詳解】解：（1）由圖2可知，大正方形的邊長為，即大正方形的面積為，因大正方形由1個邊長為和1個邊長為的正方形及2個長為、寬為的長方形構成，由此可得：．故答案為：；（2）①由可得：，將，代入得：，解得：；②令，，則，，整體代入可得：，∴，故這個長方形的面積為．2．（2023上·全國·八年級專題練習）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由1，可得等式：．(1)如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現什么結論？請用等式表示出來．（直接寫出等式）(2)利用（1）中所得到的結論，填空：已知，，則；(3)如圖3，將兩個邊長分別為和的正方形拼在一起，，，三點在同一直線上，連接和．①用含，的式子表示陰影部分的面積；②若，，則陰影部分的面積．【答案】(1)用不同的形式表示這個大正方形的面積為，，(2)45(3)①，②20【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，數形結合，利用面積法正確寫出相關圖形的面積．（1）圖2大正方形邊長為，其面積為，分部分看，是由8個長方形，一個小正方形構成，其面積和為，二者面積相等，從而可得要求得等式；（2）將，代入（1）中等式，變形可得答案；（3）①利用等于直角三角形的面積加上正方形的面積，再減去三角形的面積，化簡即可得答案；②將①中結論配方，然后將，代入計算即可．【詳解】（1）解：圖2大正方形邊長為，其面積為，分部分看，是由8個長方形，一個小正方形構成，其面積和為二者面積相等由此得等式：．（2）解：，故答案為：45．（3）解：①故答案為：．②由①知陰影部分面積為，故答案為：20．3．（2023上·福建泉州·八年級統考期中）如圖，將幾個小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形．(1)若用不同的方法計算這個邊長為的正方形面積，就可以得到一個等式，這個等式為________；(2)若實數a，b，c滿足，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了完全平方公式的應用，能靈活運用公式進行變形是解此題的關鍵；（1）根據圖形得出等式即可；（2）先根據冪的運算求出，再結合，即可得出；【詳解】（1）（2）∵，即，∴，∴．又∵，且，∴，∴．4．（2023上·湖北武漢·七年級統考期中）問題呈現：小明用如圖1的正方形和長方形若干個，拼成一個正方形，如圖2和圖3．小明計算：圖2中，當，時，正方形的面積既可以用，也可以用1個較大正方形和一個小正方形及兩個長方形的面積和表示為，也就是說，這個正方形的面積為可以用等式表示為：．請用小明計算的方法，直接寫出圖3中，若，時，表示的等式為______．數學發(fā)現：圖2中有等式______；圖3中有等式______．數學思考：邊長為a的正方形和邊長為的正方形拼在一起，B，C，E三點在同一條直線上，設圖中陰影部分面積為S．（1）如圖4，S的值與a的大小有關嗎？請說明理由．（2）如圖5，若，．直接寫出S的值．數學運用：如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知且滿足①與②．若圖4中陰影部分的面積為3，圖5中梯形的面積為5，則圖5陰影部分的面積是______．（直接寫出結果）．【答案】問題呈現：或；數學發(fā)現：圖2：，圖3：或；數學思考：（1）無關，理由見解析；（2），數學運用：【分析】問題呈現：根據陰影部分面積的不同表示方法得到等式即可；數學思考：用割補法表示陰影部分面積即可；數學運用：根據，得：進而求出，整體代入求得結論．【詳解】問題呈現：或；數學發(fā)現：圖2：，圖3：，或；數學思考：（1），∴S的值與a的大小無關．（2），理由如下：，，，，數學運用：由題意得：，①與②，得：，即，，，圖5陰影部分的面積，故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景、公式變形及割補法表示面積，理解完全平方公式的結構特征及割補法求面積是解答的關鍵．5．（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ形膱@中學?？计谥校┙Y合圖形我們可以通過兩種不同的方法計算面積，從而可以得到一個數學等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計算陰影部分的面積，可以得到的數學等式是______；(2)我們可以利用（1）中的關系進行求值，例如，若x滿足，可設，，則，．則______．(3)若x滿足，則的值為______；(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個面積為的大長方形，則______；(5)如圖3，已知正方形的邊長為x，E，F分別是、上的點，且，，長方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）方法一是直接將兩個正方形的面積相加，方法二是用大的正方形面積減去兩個長方形的面積，即可得到等式；（2）根據（1）中得到的關系式直接代入即可得到結果；（3）根據（2）中的方法可得到結果；（4）根據得到的大長方形的面積展開，可以得到一個關系式，由關系式中可知道用的紙張分別是多少，計算其和即可；（5）先根據陰影部分構造出來等式，然后根據兩次完全平方公式得到結果．【詳解】（1）解：方法一：陰影部分是兩個正方形的面積和，即；方法二：陰影部分也可以看作邊長為的面積減去兩個長為，寬為的長方形面積，即，兩種方法可得出：；（2）解：由（1）可得，∵，，∴；（3）解：設，，∵x滿足，∴，∵，∴，∴的值為；（4）解：，A紙片的面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，根據可知要拼出一個面積為的大長方形，需要3張A紙片，1張B紙片，4張C紙片，則；（5）解：由圖知，，∴，∵長方形的面積是24，∴，設，，則，，由，得，∴，∴，即，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應用、多項式乘多項式、完全平方公式的變形適用，熟練掌握完全平方公式以及能夠用換元法解題是解題的關鍵．【重難點訓練】1．（2023上·上?！て吣昙壭？计谥校┫铝卸囗検匠朔ㄓ嬎阒?，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式．根據平方差公式逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，能用平方差公式，則此項不符合題意；B、，不能用平方差公式，則此項符合題意；C、，能用平方差公式，則此項不符合題意；D、，能用平方差公式，則此項不符合題意；故選：B．2．（2023上·湖北武漢·九年級統考期中）已知實數m，n滿足，則的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【詳解】先把原式轉化為，可得當，時，等式成立，即可求得，，再代入求值即可．【分析】解：，∴，∵，，∴，，即，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查非負數的性質、代數式求值，解一元一次方程，變形得出是解題的關鍵．3．（2022上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谥校┤鐖D，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，若，則陰影部分的面積為（

）

A．52 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據，列式得，將所列式子變形成含有和的形式，再將已知條件整體代入，即可求出陰影部分的面積．【詳解】故選：B【點睛】本題主要考查了完全平方公式和整體代入法，能熟練的對完全平方公式變形是解題的關鍵．4．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）有兩個正方形A、，將A，并列放置后構造新的圖形，分別得到長方形圖甲與正方形圖乙若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為與，則正方形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設正方形的邊長為，正方形的邊長為，用代數式表示圖、圖中陰影部分的面積，整體代入即可得出，即正方形的面積．【詳解】解：設正方形A的邊長為，正方形的邊長為，由題意得，，，即，，，即正方形的面積為，故選：B．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的前提．5．（2023上·福建福州·七年級福建省福州延安中學?？计谥校┤鐖D1是寬為，長為的小長方形紙片，將8張如圖1的紙片按圖2的方式不重疊地放在長方形內，已知的長度固定不變，的長度可以變化，圖中陰影部分（即兩個長方形的面積）分別表示為，若，且為定值，則滿足的數量關系（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意得出兩塊陰影部分的長和寬，再根據長方形面積公式得出S的表達式，根據S為定值，得出S的值與x無關，即可得出結論．【詳解】解：設，由圖可知，上面陰影部分長為，寬為，下面陰影部分長為，寬為，∴，∵S為定值，∴S的值與x無關，∴，則，故選：D．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是根據圖形正確列出代數式，熟練掌握整式混合運算的運算順序和運算法則．6．（2023上·福建泉州·八年級統考期中）已知，，，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應用，由題意得，把溱成兩個數的差的平方形式即可求解；靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，則，故選：D．7．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學校聯考階段練習）有個依次排列的整式：第一項是，第二項是，用第二項減去第一項，所得之差記為，記；將第二項與相加作為第三項，記，將第三項與相加記為第四項，以此類推，某數學興趣小組對此展開研究，將得到四個結論：①；②當時，第3項值為25；③若第5項與第4項之差為15，則；④第2022項為；⑤當時，；以上正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據題意可以得出規(guī)律，第n項為，，根據規(guī)律逐項求解判斷即可．【詳解】解：由題意可知，第一項為，第二項為，∴，∴，∴，∴，....．∴，故①正確；∵將第二項與相加作為第三項，∴第三項為，當時，，故②錯誤；∵將第3項與相加作為第四項，∴第4項為，以此類推，第n項為，∴第4項為，∵第5項與第4項之差為15，∴，解得，故③正確；∵第n項為，∴第項為，故④錯誤；∵，∴，故⑤正確．故選：C．【點睛】本題主要考查數據的規(guī)律類問題，準確找出題目中的兩組數據的規(guī)律是解答此題的關鍵，難度較大．8．（2023上·上海奉賢·七年級校聯考期中）已知關于x的式子是某個多項式的完全平方，那么A是．【答案】、和【分析】本題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結構特征判斷即可求出A，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【詳解】解：①∵，∴，②若是多項式的平方，則；故答案為：、和．9．（2023上·北京西城·八年級北師大實驗中學?？计谥校┮阎瑒t代數式.【答案】8【分析】先把代數式進行化簡得，再把代入求解即可．【詳解】解：，∵，即，把代入得，原式，故答案為：8．【點睛】本題考查代數式求值，整式的化簡求值，利用整體代入的思想是解題的關鍵．10．（2023上·北京東城·八年級匯文中學校考期中）下列式子中：①；②；③；④，能用平方差公式運算的是.【答案】①③④【分析】本題考查平方差公式，根據平方差公式，觀察各個選項中式子的結構特征即可得到答案．【詳解】解：①原式；③原式；④；不能用平方差公式運算，故答案為：①③④．11．（2023上·北京西城·八年級北京市第十三中學分校?？计谥校┤鐖D是一個可折疊式的餐桌，其桌面由一個大正方形和四個全等的小正方形構成．當桌角全部打開時（如圖①，桌面的最大長度為；當桌角全部收起時（如圖②，桌面未被桌角覆蓋部分的長度為．那么，當桌角全部收起時（圖②中），桌面未被桌角覆蓋的陰影部分面積是（用含、的代數式表示）．

【答案】【分析】本題考查了整式混合運算的應用，根據圖形求出小正方形的邊長，再計算出大正方形的邊長，然后根據陰影部分面積等于大正方形的面積減去4個小正方形的面積列式計算即可．【詳解】解：由題意得，小正方形的邊長為，∴大正方形的邊長為，∴桌面未被桌角覆蓋的陰影部分面積是，故答案為：．12．（2023上·北京海淀·八年級北京交通大學附屬中學?？计谥校祵W活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為a、寬為b的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．

（1）觀察圖2的面積關系，寫出正確的等式：；（2）兩個正方形，如圖3擺放，邊長分別為x，y．若，，則圖中陰影部分面積和為．【答案】8【分析】（1）用兩種方法表示出大正方形的面積，即可求解；（2）根據圖形得到，，利用完全平方公式分別求得和即可求解．【詳解】解：（1）由圖2知，大正方形的面積為，又可以為，∴，故答案為：；（2）由題知：，，則，則，∴，∴（負值舍去），圖中陰影部分面積為：，故答案為：8．【點睛】本題考查多項式乘多項式與圖形面積、完全平方公式的幾何背景及其應用，理解題意，看懂圖形，會利用不同方法表示面積，并靈活運用所得結論是解答的關鍵．13．（2023上·江蘇南通·八年級校聯考期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是整式的混合運算．（1）利用完全平方公式計算即可求解；（2）先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式計算即可求解；（4）先乘方，再計算乘法．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．14．（2023上·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習）如圖，某市修建了一個大正方形休閑場所，在大正方形內規(guī)劃了一個正方形活動區(qū)，連接綠地到大正方形四邊的筆直小路如圖所示．已知大正方形休閑場所的邊長為米，四條小路的長與寬都為b米和米．陰影區(qū)域鋪設草坪，草坪的造價為每平米5元．

(1)用含a、b的代數式表示草坪（陰影）面積并化簡．(2)若，計算草坪的造價．【答案】(1)平方米(2)3240元【分析】（1）根據圖形可知，用大正方形的面積減去4個長方形的面積再減去中間小正方形的面積即可．（2）把及草坪的造價為每平米5元代入代數式計算即可．【詳解】（1）由圖可得，陰影部分的面積為：大正方形的面積減去4個長方形的面積再減去中間小正方形的面積，∴草坪(陰影)面積為：平方米；（2）元．即草坪的造價為3240元．【點睛】本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．15．（2023上·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習）（1）你能求出的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先從簡單的情況入手，分別計算下列各式的值．______；______；______；…由此我們可以得到：______．（2）利用（1）的結論，完成下面的計算：．（3）求的值的個位數字，是______．（只寫出答案）【答案】（1），，，；（2）；（3）【分析】（1）先根據多項式乘以多項式法則算乘法，再合并同類項即可；（2）根據得出的規(guī)律求出即可；（3）根據得出的規(guī)律求出即可；【詳解】（1）；；；（2）（3），個位數字以循環(huán)，故的個位數為2，故個位數字是：1．【點睛】本題考查了整式的乘法，平方差公式、數字的規(guī)律問題，能根據算式得出規(guī)律是解此題的關鍵．16．（2023上·廣東廣州·八年級廣州市南武中學校聯考期中）（1）圖1中，通過計算圖中陰影部分的面積，可得到關于的等量關系是______________；

（2）嘗試解決：①已知：，則______________；②已知：，求的值；（3）填數游戲：如圖2，把數字填入構成三角形狀的9個圓圈中，使得