華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（泉州校區(qū)）《723數(shù)學(xué)分析》歷年考研真題匯編（含部分答案）

目錄

2016年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析（A）考研真題

2015年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析考研真題

2014年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析考研真題

2013年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析考研真題

2012年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析（A）考研真題

2011年華僑大學(xué)725數(shù)學(xué)分析（B）考研真題及詳解

2010年華僑大學(xué)725數(shù)學(xué)分析（A）考研真題

2009年華僑大學(xué)727數(shù)學(xué)分析（B）考研真題

2008年華僑大學(xué)727數(shù)學(xué)分析（A）考研真題

2016年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析（A）考研真

題

2015年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析考研真題

2014年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析考研真題

2013年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析考研真題

2012年華僑大學(xué)723數(shù)學(xué)分析（A）考研真

題

2011年華僑大學(xué)725數(shù)學(xué)分析（B）考研真

題及詳解

一、（共24分，每小題8分）求下列極限.

1．；

解：原式

2．；

解：

.

因且，因此，

.

3．.

解：原式

二、（15分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，證明：若對(duì)任何有理數(shù)

有，則在上.

證明：（reductioadabsurdum）Assume&．

Take．Becauseiscontinuous，，when，

．Sothat，when，

．Bythedensityofrationalnumbers，，

itsatisfies．So．Itisacontradictionto．

Hence，.

三、（10分）設(shè)，為非空有界數(shù)集，．證明：

.

證明：因非空且有界，因此的上、下確界都存在．，有

，因此，，從而有，故而有

．又有，因此，，從而；

同理有，故而得．由所證結(jié)論可得

.

四、（共18分，每小題9分）計(jì)算下列積分.

1．；

解：原式

.

2．，其中為自然數(shù).

解．原式

.

五、（10分）證明函數(shù)

在處連續(xù)，但在處導(dǎo)數(shù)不存在.

證明：當(dāng)時(shí)，，又，因此，

．即在處連續(xù).

因，，，

，因此不存在，即在

處導(dǎo)數(shù)不存在.

6．（15分）討論積分為絕對(duì)收斂還是條件收斂.

解：，．當(dāng)時(shí)，

，因此，當(dāng)，時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)減且趨于零，由Dirichlet判別

法知積分收斂，從而也收斂.

當(dāng)時(shí)，．因

收斂，而

發(fā)散，因此，發(fā)散．即原積分條件收斂.

7．（10分）計(jì)算積分，其中為柱面

被平面，所截部分的外側(cè).

解：原式.

8．（10分）求曲面的平行于平面的切平

面.

解：令．則曲面在點(diǎn)處

的切平面方程為

則有關(guān)系式

將，代入得從而得，

．所求切平面方程為

和

即.

9．（10分）求在處的泰勒（Taylor）展開式的前四項(xiàng).

解：，，

（）.

10．（10分）計(jì)算曲線積分，其中為以，

，，為頂點(diǎn)的正方形的圍線.

解：的方程為；的方程為；

的方程為

；的方程為．在圍線上恒

成立．因此，

.

11．（8分）設(shè)在無窮區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且

，

其中為某一常數(shù)．證明：在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)滿足

.

證明：令，則在上連續(xù).

若，則，結(jié)論成立．設(shè)在內(nèi)不為常數(shù)．

則當(dāng)充分小時(shí)，必存在，滿足，或．

不妨設(shè)．因，因此，當(dāng)時(shí)，

，．因在上連續(xù)，且

，以及，因此在內(nèi)有最大值點(diǎn)（），它

也為極大值點(diǎn)，故有.

若．當(dāng)時(shí)，．因此在內(nèi)有最小值點(diǎn)

，也為極小值點(diǎn)，故也有.

12．（10分）設(shè)定義在上，證明：若對(duì)內(nèi)任一收斂數(shù)

列．極限都存在，則在上一致連續(xù).

證明：（1）．若，，且．令為

.

則，且．由題設(shè)知存在，而與

為的兩個(gè)子列，因此，.

（2）．假設(shè)在不一致連續(xù)，則存在正數(shù)，對(duì)任給的

，存在，，使得.

取，則存在，，使得

．因，為有界數(shù)列，因此存在收斂的子列

，因，因此．由⑴的結(jié)論知