新高考數(shù)學二輪復習 第1部分 專題3 培優(yōu)點13 數(shù)列中的奇、偶項問題（含解析）

培優(yōu)點13數(shù)列中的奇、偶項問題專題三

數(shù)列數(shù)列中的奇、偶項問題是對一個數(shù)列分成兩個新數(shù)列進行單獨研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列.解因為[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，所以[3＋(－1)2n－1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n－1－1]＝0，即a2n＋1－a2n－1＝2，又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2，所以{bn}是以b1＝a1＝1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.(2)記數(shù)列{an}的前2n項和為T2n，求T2n.解對于[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，當n為偶數(shù)時，可得(3＋1)an＋2－2an＋2(1－1)＝0，當n為奇數(shù)時，可得(3－1)an＋2－2an＋2(－1－1)＝0，即an＋2－an＝2，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)能力提升(1)數(shù)列中的奇、偶項問題的常見題型①數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的類型；③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；④已知條件明確的奇偶項問題.(2)對于通項公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時，我們可以分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一項，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.跟蹤演練1231.數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項之和S100等于A.200 B.－200

C.400

D.－400√解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.1232.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(－1)n·n，若對任意的正整數(shù)n，使得(an＋1－p)·(an－p)<0恒成立，則實數(shù)p的取值范圍是________.(－1,3)123解析當n＝1時，a1＝S1＝－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nn－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1).因為對任意的正整數(shù)n，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，所以[(－1)n＋1(2n＋1)－p][(－1)n(2n－1)－p]<0.①當n是正奇數(shù)時，化為[p－(2n＋1)][p＋(2n－1)]<0，解得1－2n<p<2n＋1，因為對任意的正奇數(shù)n都成立，取n＝1時，可得－1<p<3.②當n是正偶數(shù)時，化為[p－(2n－1)][p＋(1＋2n)]<0，解得－1－2n<p<2n－1，123因為對任意的正偶數(shù)n都成立，取n＝2時，可得－5<p<3.所以實數(shù)p的取值范圍是(－1,3).123123因為bn＝a2n＋a2n－1，123123(2)求數(shù)列{an}的通項公式；