2021年人教版數(shù)學(xué)中考第一輪練習(xí)“隱形圓”在求最值中的應(yīng)用

“隱形圓”在求最值中的應(yīng)用

類型1定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓

硼T如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，將AEBF沿EF所在的直線折疊得到aEB'F,連接B'D,求B'D

的最小值.

D

C

類型2線圓最值

砸如圖，在RtZ^ABC中，ZC=90°,ZA=60°，AC=6,點(diǎn)F在邊AC上,

并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將4CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,

求點(diǎn)P到邊AB距離的最小值.

類型3直角對(duì)直徑

霞3如圖，在Rt/^ABC中，AB±BC,AB=2,BC=3,P是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿足NPAB=NPBC,求線段CP長(zhǎng)的最小值.

類型4定弦定角

硒如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別從B,C同時(shí)出發(fā)，以相

同的速度沿BC,CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng).連接AM和BN交于點(diǎn)P,求PC長(zhǎng)的

最小值.（請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑）

類型5四點(diǎn)共圓

副5如圖，AABC是等邊三角形，D為BC邊上的一點(diǎn)，ZADE=60°,DE交NACB

的外角平分線于點(diǎn)E,求證：AD=DE.

E

BD

專題精煉

類型1定點(diǎn)定長(zhǎng)作圓

1.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，NA=60°,點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N

是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AAMN沿MN所在的直線翻折得到AA'MN,連接A'C,

則A，C長(zhǎng)度的最小值是（）

類型2線圓最值

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E,F分另ij是AD,DC邊上的點(diǎn)，

且EF=2,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為

3.如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,0為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0

作OE_LOF,OE,OF分別交射線AB,BC于點(diǎn)E,F,連接EF,則EF的最小值為

4.（2020?山東東營(yíng)）如圖，在RtaAOB中，0B=2第，ZA=30°,。。的半徑

為1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。0的一條切線PQ（其中點(diǎn)Q為切點(diǎn)），

則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為.

類型3直角對(duì)直徑

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以BC為斜邊在矩形所在的平面作Rt^BEC,

F為CD的中點(diǎn)，則EF的最小值為（）

A.~

乙

類型4定弦定角

6.如圖，NA0B=45°,在等腰直角4CDE中，當(dāng)CD的長(zhǎng)保持不變且等于2時(shí),

0E的最大值為.

類型5四點(diǎn)共圓

7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為正方形外的一動(dòng)點(diǎn)，且NAED=45°,

若AP=1,則線段PE的最大值是（）

B.^5+2^2

D.3+2明

8.如圖，在AABC中，ZB=60°,ZC=45°,BC=/+1,點(diǎn)P為邊AB上的

一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PDJ_BC于點(diǎn)D,PEJ_AC于點(diǎn)E,則DE的最小值為.

參考答案

【例1】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知△EBFg/^EB'F,.,.EB,=EB.

又是AB邊的中點(diǎn),AB=4,

.?.AE=BE=EB'=2.

.?.點(diǎn)二在以E為圓心，EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)D,Bz,E三點(diǎn)共線時(shí)，B'D的值最小，如圖.

VAD=6,AE=2.

DE=^/AD2+AE2=^62+22=2710

.?.B'D=DE-BZE=2皿-2.

［例2］解：VZA=60°,AC=6,

由翻折的性質(zhì)可知PF=FC=2,ZFPE=ZC=90°,

.,.點(diǎn)P在以F為圓心，以2為半徑的圓上

由“垂線段最短”可知當(dāng)FP±AB于點(diǎn)D時(shí)-，點(diǎn)F到AB的距離FD最短，如圖.

又〈FP為定值，.?.此時(shí)PD有最小值.

VAF=4,NFDA=90°,NA=60°,

/.FD=AF,sinA=42小,

乙

點(diǎn)P到邊AB距離的最小值PD=DF—PF=2第一2.

【例3】解：：AB_LBC,AZABC=90°,

.*.ZABP+ZPBC=90°.

又?.?/PAB=NPBC,.,.ZBAP+ZABP=90°，

.?.NAPB=90°，

I.點(diǎn)P在以AB為直徑的。。上.

如圖，連接0C交。。于一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為該點(diǎn)時(shí)線段PC的長(zhǎng)最小,

在RtaBCO中,VZ0BC=90°，BC=3,0B=l,

/.0C=^OB2+BC2=^/l2+32=Vio,

：.PC=QC-QP=\[1Q-1,

I.線段CP長(zhǎng)的最小值為#5—1.

【例4】解：由題意得BM=CN.

?.?四邊形ABCD是正方形,

AZABM=ZBCN=90°，AB=BC=4.

在4ABM和4BCN中,

[AB=BC,

<ZABM=ZBCN,

、BM=CN,

AABM^ABCN(SAS),ZBAM=ZCBN.

VZABP+ZCBN=90°，/.ZABP+ZBAM=90°，

AZAPB=90°,

...點(diǎn)P在以AB為直徑的。。上運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)路徑為一條弧BG,是這個(gè)圓的'

連接0C交。。于一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為該點(diǎn)時(shí)PC的長(zhǎng)最小，如圖.

VAB=4,.?.0P=0B=2,

由勾股定理，得0C=d6祖由=卷不?=2m,

.*.PC=0C-0P=2^/5-2,

.?.PC長(zhǎng)的最小值為2^5-2.

【例5】證明：如圖,連