適用于新高考新教材2024版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積

考點(diǎn)突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積一、必備知識(shí)夯實(shí)練1.(2023廣東湛江二模)如圖,將一個(gè)圓柱2n(n∈N*)等分切割,再將其重新組合成一個(gè)與圓柱底面面積相等,高相等的幾何體.n越大,重新組合成的幾何體就越接近一個(gè)“長(zhǎng)方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10,則圓柱的側(cè)面積為()A.10π B.20π C.10nπ D.18π2.(2023山東濰坊一模)如圖,圓錐的底面半徑為1,側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為π3的扇形.把該圓錐截成圓臺(tái),已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合,圓臺(tái)的上底面半徑為13,則圓臺(tái)的側(cè)面積為(A.8π3 B.C.16π3 D.3.(2023福建莆田二模)某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實(shí)心模型.如圖,該模型的上部分是半球,下部分是圓臺(tái).其中半球的體積為144πcm3,圓臺(tái)的下底面與半球的底面重合,圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半.打印所用原料密度為1.5g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量約為()(1.5π≈4.7)A.3045.6g B.1565.1gC.972.9g D.296.1g4.(2023河北石家莊一模)已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑之比為12,側(cè)面積為9π,在圓臺(tái)的內(nèi)部有一球O,該球與圓臺(tái)的上、下底面及母線均相切,則球O的表面積為(A.3π B.5π C.8π D.9π5.(2023天津,8)在三棱錐P-ABC中,線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=13PC,線段PB上的點(diǎn)N滿足PN=23PB,則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為(A.19 B.29 C.136.(2023廣東韶關(guān)模擬)西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一,是一款非常實(shí)用的泡茶工具(如圖1).西施壺的壺身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體.球缺的體積V=π(3R-h)·h23(R為球缺所在球的半徑,h為球缺的高).若一個(gè)西施壺的壺身高為8cm,壺口直徑為6cm(如圖2),則該壺壺身的容積約為圖1圖2A.494mL B.506mL C.509mL D.516mL7.(2023河北衡水模擬)有一個(gè)棱柱形狀的石料,底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,該石料側(cè)棱垂直于底面,若可以將該石料打磨成四個(gè)半徑為3的石球,則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為()A.216-43π B.216-163πC.270-163π D.270-43π8.(2023廣東深圳二模)設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為V1,V2和V3,則()A.V1<V2<V3 B.V2<V1<V3 C.V3<V1<V2 D.V3<V2<V19.(2023湖南常德二模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是線段A1C1的中點(diǎn),若四面體M-ABD的外接球體積為36π,則正方體棱長(zhǎng)為.

二、關(guān)鍵能力提升練10.(多選題)(2022新高考Ⅱ,11)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,E-ACF的體積分別為V1,V2,V3,則()A.V3=2V2 B.V3=2V1C.V3=V1+V2 D.2V3=3V111.(多選題)(2023浙江紹興二模)某學(xué)校課外社團(tuán)活動(dòng)課上,數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了一次有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作,課題名稱“不用尺規(guī)等工具,探究水面高度”.如圖1,P-ABCD是一個(gè)水平放置的裝有一定量水的四棱錐密閉容器(容器材料厚度不計(jì)),底面ABCD為平行四邊形,設(shè)棱錐高為h,體積為V,現(xiàn)將容器以棱AB為軸向左側(cè)傾斜,如圖2,這時(shí)水面恰好經(jīng)過CDEF,其中E,F分別為棱PA,PB的中點(diǎn),則()圖1圖2A.水的體積為58B.水的體積為34C.圖1中的水面高度為(1-332D.圖1中的水面高度為(1-35212.(多選題)(2023浙江杭州二模)如圖,圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等,O2,O1為圓柱上、下底面的圓心,O為球心,EF為底面圓O1的一條直徑,若球的半徑r=2,則()A.球與圓柱的體積之比為2∶3B.四面體CDEF的體積的取值范圍為(0,32]C.平面DEF截得球的截面面積最小值為4D.若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn),則PE+PF的取值范圍為[2+25,43]13.(2023全國甲,文16)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O為AC1的中點(diǎn),若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn),則球O的半徑的取值范圍是.

14.(2023湖南雅禮中學(xué)模擬)已知三棱錐P-ABC滿足PA=1,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,若VP-ABC=23,則其外接球體積的最小值為.三、核心素養(yǎng)創(chuàng)新練15.(2023湖南雅禮中學(xué)模擬)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為V,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E在平面ACC1A1內(nèi),且AE=14AC+34AC1,A.V28 B.VC.3V28 D16.(2023山東日照一模)設(shè)四棱錐M-ABCD的底面為正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果△AMD的面積為1,則能夠放入這個(gè)棱錐的最大的球的半徑為.

考點(diǎn)突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積1.A解析由圖可知,新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積.設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則2rh=10,所以圓柱的側(cè)面積為2πrh=10π.2.C解析已知圓錐半徑為1,圓臺(tái)上底面半徑為13.設(shè)圓錐母線為l,圓臺(tái)母線為l1,由已知可得,π所以l=6.如圖,作出圓錐、圓臺(tái)的軸截面,則有l(wèi)-l1l=rR=13,所以l1=4.故圓臺(tái)的側(cè)面積為π(R+r)l1=43.C解析設(shè)半球的半徑為R,因?yàn)閂半球=23πR3=144π解得R=6.由題意得,圓臺(tái)的上底面半徑及高均是3,下底面半徑為6,所以V圓臺(tái)=13(S上+S下+S上S下)h=13(32π+62π+32π×62π)×3=63πcm3,所以該實(shí)心模型的體積V=V半球+V圓臺(tái)=144故制作該模型所需原料的質(zhì)量為207π×1.5≈207×4.7=972.9g.4.C解析設(shè)圓臺(tái)的上底面圓半徑為r,則底面圓半徑為2r,母線長(zhǎng)為l,如圖所示,作出圓臺(tái)與球的軸截面.由于球O與圓臺(tái)的上、下底面及母線均相切,故l=AD=AH+DG=r+2r=3r.根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式S=(πr+2πr)l=9π,解得r=1,l=3,所以球的直徑為HG=32-12=22,故球O的半徑為2,表面積為4πr2=4π×(2)25.B解析如圖,將三棱錐P-AMN看作三棱錐A-PMN,即以A為頂點(diǎn),△PMN為底面的三棱錐,將三棱錐P-ABC看作三棱錐A-PBC,即以A為頂點(diǎn),△PBC為底面的三棱錐.因?yàn)镾△PBC=12PB·PC·sin∠BPC,S△PMN=12PN·PM·sin∠NPM,而PN=23PB,PM=13PC,∠BPC=∠NPM,所以S△PMN=13×23S△PBC=29S△PBC,點(diǎn)A到底面PBC的距離和點(diǎn)A到底面PMN的距離相等,6.A解析作出幾何體的軸截面如右圖所示,依題意,AB=6cm,O為球心,D為壺口所在圓的圓心,所以AD=DB=3cm.因?yàn)镈E=8cm,所以O(shè)D=OE=4,且OD⊥AB,OB=32+所以球的半徑R=5cm,所以球缺的高h(yuǎn)=5-4=1cm,所以球缺的體積V1=π(3R-h)·h23=π(3×5-7.B解析底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,由等面積法可得12×3×6r=34×62,解得r=若可以將該石料打磨成四個(gè)半徑為3的石球,則該柱形石料的高至少為83,故至少需要打磨掉的石料廢料的體積為34×62×83-4×43π×(3)3=2168.B解析設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,正四面體棱長(zhǎng)為b,球的半徑為R,表面積為S.正方體表面積為S=6a2,所以a2=S6,所以V如圖,正四面體P-ABC,D為AC的中點(diǎn),則BD⊥AC,AD=12b,O為△ABC的中心,則PO是正四面體P-ABC底面ABC上的高,所以BD=AB所以S△ABC=12×AC×BD=12×b×32b=3所以正四面體P-ABC的表面積為S=4S△ABC=3b2,所以b2=33S.又O為△ABC的中心,所以BO=23BD=3又根據(jù)正四面體的性質(zhì),可知PO⊥BO,所以PO=PB2所以V22=(13×球的表面積為S=4πR2,所以R2=S4π,所以V32=(43πR3)2=136πS3.因?yàn)?36π所以V32>V12>V29.4解析設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為a,四面體M-ABD的外接球的半徑為R,∵43πR3=36π,∴R=3取BD的中點(diǎn)H,可得H是下底面ABCD的中心,設(shè)四面體M-ABD的外接球的球心為O.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∴MH⊥平面ABCD,即MH⊥平面ABD,則點(diǎn)O在直線MH上.連接OA,∵M(jìn)H=a,則OH=MH-R=a-3.∵AH=22a,OA=R=3,OA2=AH2+OH2∴32=(22a)2+(a-3)2∵a>0,則可得a=4,即正方體棱長(zhǎng)為4.10.CD解析設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D⊥平面ABCD,FB∥ED,則V1=13·ED·S△ACD=13·2a·12·(2a)2=4V2=13·FB·S△ABC=13·a·12·(2a)2=23a3,連接BD交AC于點(diǎn)M,連接EM,FM,易得又ED⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,則ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD?平面BDEF,則AC⊥平面BDEF,又BM=DM=12BD=2a,過F作FG⊥DE于G,易得四邊形BDGF為矩形,則FG=BD=22a,EG=a則EM=(2a)2+(2a)2=6a,FM=a2+(則EM⊥FM,S△EFM=12EM·FM=322a2,AC=2則V3=VA-EFM+VC-EFM=13AC·S△EFM=2a3,則2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A,B錯(cuò)誤;C,D正確.故選CD11.AC解析如圖,將四棱錐補(bǔ)成平行六面體,設(shè)平行六面體的體積為V總,因?yàn)镋,F分別為棱PA,PB的中點(diǎn),則S四邊形BCMQ=4S△BCG,而三棱柱BCG-ADE與平行六面體的高相同,則VBCG-ADE=14V總根據(jù)四棱錐P-ABCD與平行六面體底和高均相同,則V=13V總,即3V=V總.由圖可知,VF-BCG=16V則V水=56VBCG-ADE=56×14V總=56×14×3V=設(shè)圖1中上方的小四棱錐高為h1,則(h1h)3=V1V=V-58VV=38,則h1=332h,故圖1中的水面高度為12.AD解析對(duì)于A,球的體積為V=4πr33=32π3,圓柱的體積V'=π則球與圓柱的體積之比為2∶3,故A正確;對(duì)于B,設(shè)d為點(diǎn)E到平面BCD的距離,0<d≤r,而平面BCD經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)O1,四面體C-DEF的體積VC-DEF=2VE-O1DC=23S△O1DC·d=對(duì)于C,過點(diǎn)O作OH⊥DO1于點(diǎn)H,如圖,而O1O2⊥DO2,則sin∠DO1O2=OHO又DO1=r2+(2r)2=25,則OH=25.設(shè)截面圓的半徑為r1,球心O到平面DEF的距離為d1,則d1≤25.又r1=r2-d對(duì)于D,令經(jīng)過點(diǎn)P的圓柱的母線與下底面圓的公共點(diǎn)為Q,連接QE,QF,當(dāng)Q與E,F都不重合時(shí),設(shè)∠QFE=θ,則QF=4cosθ,QE=4sinθ;當(dāng)Q與E,F之一重合時(shí),上式也成立,因此QF=4cosθ,QE=4sinθ,θ∈[0,π2則PE+PF=PQ2+QE令t=1+4sin2θ+1+4cos2θ,則t2=6+25+4sin22θ,而0≤因此6+25≤t2≤12,解得1+5≤t≤23,所以PE+PF的取值范圍為[2+25,43],故D正確.故選AD.13.[22,23]解析(方法一)第一步,弄清球O與正方體棱有公共點(diǎn),球半徑最小的球?yàn)槔馇星?即與棱相切的球),最大的球?yàn)橥饨忧?第二步,作對(duì)角面ABC1D1截正方體與其棱切球、外接球分別得如下矩形和小、大兩個(gè)圓(如圖).第三步,由圖可知棱切球半徑r1=12AD1=12×42=22,外接球半徑r2=12BD1=12×43=23,球O半徑的取值范圍是[22(方法二)由對(duì)稱性知,只需考慮球與正方體的棱有公共點(diǎn),正方體中心O到一條棱的最短距離即為到棱中點(diǎn)的距離,為22,到一條棱的最長(zhǎng)距離即為到棱頂點(diǎn)的距離,為23,故r∈[22,23].149π2解析如圖,取AB中點(diǎn)D,過點(diǎn)D作OD∥PA交PB于點(diǎn)O,則OD=12因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以O(shè)D⊥平面ABC.因?yàn)锳C⊥BC,所以DA=DB=DC,所以O(shè)A=OB=OC=OP,即O為三棱錐P-ABC外接球球心,OA為球的半徑.因?yàn)閂P-ABC=13×12×AC×BC×AP=23,所以AC·BC=4.因?yàn)锳B2=AC2+BC2≥所以AB≥22,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2時(shí),等號(hào)成立,所以球的半徑R=OA=OD2+(12AB)

2≥(12)

2+(2)2=32,15.A解析先找兩三棱錐的公共部分,由AE=14AC+34AC1,得14(AE-AC)=34(AC1-AE設(shè)DE∩D1C=F,AC∩BD=G,連接FG,