2023-2024學(xué)年湖北省荊州市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2023-2024學(xué)年湖北省荊州市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．函數(shù)f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒過定點A.（–1，–1） B.（–1，1）C.（0，2a–1） D.（0，1）2．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A.（-2，-1) B.(-1，0)C.(0，1） D.（1，2）3．若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實根的取值范圍是（）A. B.C. D.4．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上為增函數(shù)的函數(shù)是（）A. B.C. D.5．下列函數(shù)中在定義域上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）．注：重心坐標(biāo)公式為橫坐標(biāo)：；縱坐標(biāo)：A. B.C. D.7．已知一扇形的周長為28，則該扇形面積的最大值為（）A.36 B.42C.49 D.568．若，則所在象限是A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限9．當(dāng)時，函數(shù)（，），取得最小值，則關(guān)于函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.是奇函數(shù)且圖象關(guān)于點對稱B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點（π，0）對稱C.是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線對稱D.是偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對稱10．若，則的值為A. B.C.2 D.3二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則___________.12．如圖，全集，A是小于10的所有偶數(shù)組成的集合，，則圖中陰影部分表示的集合為__________.13．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐的高為________.14．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為______.15．如下圖所示的正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為8，高為32三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知向量=（3，4），=（-1，2）（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若向量-與+2平行，求λ的值17．(1)計算：lg25+lg2?lg50+lg22(2)已知=3，求的值18．新冠病毒怕什么？怕我們身體的抵抗力和免疫力！適當(dāng)鍛煉，合理休息，能夠提高我們身體的免疫力，抵抗各種病毒．某小區(qū)為了調(diào)查居民的鍛煉身體情況，從該小區(qū)隨機抽取了100為居民，記錄了他們某天的平均鍛煉時間，其頻率分別直方圖如下：（1）求圖中的值和平均鍛煉時間超過40分鐘的人數(shù)；（2）估計這100位居民鍛煉時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）和中位數(shù)19．已知函數(shù)（其中且）是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若對任意的，都有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（1）已知，求最大值（2）已知且，求的最小值21．已知（1）當(dāng)時，求的值；（2）若的最小值為，求實數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實數(shù)，使不等式對所有都成立．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、B【解析】令x+1=0，求得x和y的值，從而求得函數(shù)f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒過定點的坐標(biāo)【詳解】令x+1=0，求得x=-1，且y=1，故函數(shù)f（x）=2ax+1–1（a＞0且a≠1）恒過定點（-1，1），故選B.【點睛】】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】利用零點存在性定理判斷即可.【詳解】易知函數(shù)的圖像連續(xù)，，由零點存在性定理，排除A；又，，排除B；，，結(jié)合零點存在性定理，C正確故選：C.【點睛】判斷零點所在區(qū)間，只需利用零點存在性定理，求出區(qū)間端點的函數(shù)值，兩者異號即可，注意要看定義域判斷圖像是否連續(xù).3、B【解析】方程有兩個不相等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個不等根，根據(jù)圖像得到只需要故答案為B．4、B【解析】對四個選項依次判斷最小正周期及單調(diào)區(qū)間,即可判斷.【詳解】對于A,,最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)不單調(diào),所以A錯誤;對于B,的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以B正確;對于C,的最小正周期為,所以C錯誤;對于D,的最小正周期為,所以D錯誤.綜上可知,正確的為B故選:B【點睛】本題考查了函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的判斷,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷各個選項即可得出答案.【詳解】對于A，由函數(shù)，定義域為，且在上遞增，故A不符題意；對于B，由函數(shù)，定義域為，且在上遞增，故B不符題意；對于C，由函數(shù)，定義域為，且在上遞減，故C符合題意；對于D，由函數(shù)，定義域為，且在上遞增，故D不符題意.故選：C6、D【解析】由重心坐標(biāo)公式得重心的坐標(biāo)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心的坐標(biāo)為，再由求出，然后求出歐拉線的斜率，點斜式就可求得其方程.【詳解】設(shè)的重點為，外心為，則由重心坐標(biāo)公式得，并設(shè)的坐標(biāo)為，解得，即歐拉方程為：，即：故選：D【點睛】本題考查直線方程，兩點之間的距離公式，三角形的重心、垂心、外心的性質(zhì)，考查了理解辨析能力及運算能力.7、C【解析】由題意，根據(jù)扇形面積公式及二次函數(shù)的知識即可求解.【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，由題意得，則扇形的面積，所以該扇形面積的最大值為49，故選：C.8、A【解析】先由題中不等式得出在第二象限，然后求出的范圍，即可判斷其所在象限【詳解】因為，，所以，故在第二象限，即，故，當(dāng)為偶數(shù)時，在第一象限，當(dāng)為奇數(shù)時，在第三象限，即所在象限是第一、三象限故選A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的象限角，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，所以，因為，所以令，即，所以，設(shè)，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因此選項B、D不正確；因為，，所以，因此函數(shù)關(guān)于直線對稱，因此選項A不正確，故選：C10、A【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把要求值的式子化為，即可得到答案.【詳解】由題意，因為，所以，故選A【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，合理化簡、運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、##【解析】函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出、與的值，再利用函數(shù)的周期性即可求出答案.【詳解】解：由圖象知，，∴，又由圖象可得：，可求得，∴，∴，∴故答案為：.12、【解析】根據(jù)維恩圖可知，求，根據(jù)補集、交集運算即可.【詳解】，A是小于10的所有偶數(shù)組成的集合，，，由維恩圖可知，陰影部分為,故答案為：13、【解析】設(shè)此圓的底面半徑為，高為，母線為，根據(jù)底面圓周長等于展開扇形的弧長，建立關(guān)系式解出，再根據(jù)勾股定理得，即得此圓錐高的值【詳解】設(shè)此圓的底面半徑為，高為，母線為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形,所以，得,解之得，因此,此圓錐的高，故答案為:【點睛】本題給出圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑和圓心角，求圓錐高的大小，著重考查了圓錐的定義與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展開等知識，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，由垂直的斜率關(guān)系，和線段的中點在直線上列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，由對稱性知，直線與線段垂直，所以，所以，又線段的中點在直線上，即，所以，由，所以點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為：.故答案為：.15、6【解析】如下圖所示，O'B'=2,OM=2三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）-2.【解析】（1）利用平面向量的數(shù)量積公式求出夾角的余弦值；（2）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系得到λ的方程，求值【詳解】向量=（3，4），=（-1，2）（1）向量與夾角的余弦值；（2）向量-=（3+λ，4-2λ）與+2=（1，8）平行，則8（3+λ）=4-2λ，解得λ=-2【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積公式的運用以及向量平行的坐標(biāo)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題17、（1）2；（2）9.【解析】（1）利用對數(shù)的性質(zhì)及運算法則直接求解（2）利用平方公式得，x+x﹣1＝（）2﹣2＝7，x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝49﹣2＝47，代入求解【詳解】(1)lg25+lg2?lg50+lg22=lg52+lg2(lg5+1)+lg22=2lg5+lg2?lg5+lg2+lg22=2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)=2(lg5+lg2)=2；(2)由，得，即x+2+x-1=9∴x+x-1=7兩邊再平方得：x2+2+x-2=49，∴x2+x-2=47∴=【點睛】本題考查了有理指數(shù)冪的運算，考查了對數(shù)式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題18、（1），平均鍛煉時間超過40分鐘的人數(shù)為18人（2）100位居民鍛煉時間的平均數(shù)為分鐘，中位數(shù)約為分鐘【解析】（1）由頻率和為1，列方程求解出的值，由頻率分布直方圖求出平均鍛煉時間超過40分鐘的頻率，再由頻率乘以100可得結(jié)果，（2）利用平均數(shù)定義直接求解，由頻率分直方圖判斷出中位數(shù)在30-40分鐘這一組，然后列方程求解即可【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，解得，由頻率分布直方圖求出平均鍛煉時間超過40分鐘的頻率為，所以平均鍛煉時間超過40分鐘的人數(shù)為人，【小問2詳解】這100位居民鍛煉時間的平均數(shù)為（分鐘），因為，，所以中位數(shù)在鍛煉時間為30-40分鐘這一組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得（分鐘）19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)恒成立，計算可得的值；（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則轉(zhuǎn)化為，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值即可.【小問1詳解】因為函數(shù)（其中且）是奇函數(shù)，，即恒成立，即恒成立，所以恒成立，整理得恒成立，，解得或，當(dāng)時，顯然不成立，當(dāng)時，，由，可得或，，滿足是奇函數(shù)，所以；【小問2詳解】對任意的，都有不等式恒成立，恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的最大值為，，即實數(shù)取值范圍是20、（1）1；（2）2【解析】（1）由基本不等式求出最小值后可得所求最大值（2）湊出積為定值后由基本不等式求得最小值【詳解】（1），則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以的最大值為1（2）因為且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等