2023-2024學(xué)年四川省樂山一中高一上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學(xué)年四川省樂山一中高一上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．計算2sin2105°-1的結(jié)果等于（）A. B.C. D.2．函數(shù)的值域是A. B.C. D.3．已知函數(shù)fx=2x2+bx+c（b，c為實(shí)數(shù)），f-10=f12.若方程A.4 B.2C.1 D.14．實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系正確的是()A. B.C. D.5．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.6．在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲302乙203其中，則甲、乙兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為（）A.2.2 B.2.6C.2.5 D.2.47．函數(shù)的圖象如圖所示，則在區(qū)間上的零點(diǎn)之和為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)函數(shù)值表：12456123.13615.55210.88-52.488-232.064在以下區(qū)間中，一定有零點(diǎn)的是（）A.（1，2） B.（2，4）C.（4，5） D.（5，6）9．下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．已知扇形的面積為9，半徑為3，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A.1 B.C.2 D.11．集合{0，1，2}的所有真子集的個數(shù)是A.5 B.6C.7 D.812．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．冪函數(shù)的圖像在第___________象限.14．若集合，則滿足的集合的個數(shù)是___________.15．如圖，在中，，，若，則_____.16．三條直線兩兩相交，它們可以確定的平面有______個.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）若函數(shù)，且對任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知，函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.19．設(shè)，已知集合，（1）當(dāng)時，求；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）討論的單調(diào)性；（3）求在區(qū)間[,2]上的值域.21．甲地到乙地的距離大約為240，某汽車公司為測試一種新型號的汽車的耗油量與行駛速度的關(guān)系，進(jìn)行了多次實(shí)地測試，收集到了該車型的每小時耗油量Q（單位：）與速度v（單位：）（）的數(shù)據(jù)如下表：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為了描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：①；②；③.（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說明理由；（2）從甲地到乙地，該型號的汽車應(yīng)以什么速度行駛才能使總耗油量最少？22．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)．求證：（1）DE∥平面PBC；（2）CD⊥平面PAB

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】．選D2、A【解析】由，知，解得令，則.，即為和兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線和半圓相切時最小，當(dāng)直線過點(diǎn)A(4,0)時，最大.當(dāng)直線和半圓相切時，，解得，由圖可知.當(dāng)直線過點(diǎn)A(4,0)時，，解得.所以，即.故選A.3、B【解析】由f-10=f12求得b=-4，再由方程fx=0有兩個正實(shí)數(shù)根x1【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=2x2+bx+c（b所以200-10b+c=288+12b+c，解得b=-4，所以fx因?yàn)榉匠蘤x=0有兩個正實(shí)數(shù)根x1所以Δ=16-8c≥0解得0<c≤2，所以1x當(dāng)c=2時，等號成立，所以其最小值是2，故選：B4、B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷的取值范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于中檔題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.5、B【解析】由三角函數(shù)的定義可列方程解出，需注意的范圍【詳解】由三角函數(shù)定義,解得,由,知,則.故選：B.6、D【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計算性質(zhì)即可計算.【詳解】設(shè)甲、乙兩班學(xué)生成績分別為，甲班平均成績?yōu)椋野嗥骄煽優(yōu)?，因?yàn)榧住⒁覂砂嗟钠骄煽兿嗟?，所以甲、乙兩班合在一起后平均成績依然為，因?yàn)?，同理，∴甲、乙兩班合在一起后的方差為?故選：D.7、D【解析】先求出周期，確定，再由點(diǎn)確定，得函數(shù)解析式，然后可求出上的所有零點(diǎn)【詳解】由題意，∴，又且，∴，∴由得，，，在內(nèi)有：，它們的和為故選：D8、C【解析】由表格數(shù)據(jù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】∵∴，，，,又函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上一定有零點(diǎn)故選：C.9、C【解析】A.利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；C.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷；D.由，利用一次函數(shù)的性質(zhì)判斷；【詳解】A.由一次函數(shù)的性質(zhì)知：在上為減函數(shù)，故錯誤；B.由二次函數(shù)的性質(zhì)知：在遞減，在上遞增，故錯誤；C.由反比例函數(shù)的性質(zhì)知：在上遞增，在遞增，則在上為增函數(shù)，故正確；D.由知：函數(shù)在上為減函數(shù)，故錯誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】利用扇形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為，由題意得，得.故選：C.11、C【解析】集合{0，1，2}中有三個元素，因此其真子集個數(shù)為.故選：C.12、C【解析】根據(jù)函數(shù)解析式先判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，然后根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可【詳解】∵f（x）=x3，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且函數(shù)為增函數(shù)，a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310），則2＜log39.1＜log310，20.9＜2，即20.9＜log39.1＜log310，則f（209）＜f（log39.1）＜f（log310），即c＜b＜a，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小的比較，根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域及對應(yīng)值域，即可確定圖像所在的象限.【詳解】由解析式知：定義域?yàn)?，且值域，∴函?shù)圖像在一、二象限.故答案為：一、二.14、4【解析】求出集合，由即可求出集合的個數(shù)【詳解】因?yàn)榧?，，因?yàn)?，故有元?，3，且可能有元素1或2，所以或或或故滿足的集合的個數(shù)為，故答案為：15、【解析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量加法、減法法則，將向量、作為基向量,把向量表示出來，即可求出.【詳解】即：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用問題，解題時根據(jù)向量加法與減法法則將所求向量用題目選定的基向量表示出來，是基礎(chǔ)題目.16、1或3【解析】利用平面的基本性質(zhì)及推論即可求出.【詳解】設(shè)三條直線為，不妨設(shè)直線，故直線與確定一個平面，（1）若直線在平面內(nèi)，則直線確定一個平面；（2）若直線不在平面內(nèi)，則直線確定三個平面；故答案為：1或3；三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）.（2）（2，+∞）.【解析】（1）使對數(shù)式有意義，即得定義域；（2）命題等價于，如其中一個不易求得，如不易求，則轉(zhuǎn)化為恒成立，再由其它方法如分離參數(shù)法求解或由二次不等式恒成立問題求解【詳解】（1）由題可知且，所以.所以的定義域?yàn)?（2）由題易知在其定義域上單調(diào)遞增.所以在上的最大值為，對任意恒成立等價于恒成立.由題得.令，則恒成立.當(dāng)時，，不滿足題意.當(dāng)時，，解得，因?yàn)椋陨崛?當(dāng)時，對稱軸為，當(dāng)，即時，，所以；當(dāng)，即時，，無解，舍去；當(dāng)，即時，，所以，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）.【點(diǎn)睛】本題考查求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，不等式恒成立問題．解題時注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．18、（1）．（2）．（3）【解析】（1）當(dāng)時，解對數(shù)不等式即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，討論的取值范圍進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)條件得到，恒成立，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.試題解析：（1）由，得，解得（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①則（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，當(dāng)a＝4時，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當(dāng)a＝3時，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當(dāng)a≠4且a≠3時，方程②的解為x＝﹣1或x，若x＝﹣1是方程①的解，則a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x是方程①的解，則a＝2a﹣4＞0，即a＞2，則要使方程①有且僅有一個解，則1＜a≤2綜上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一個元素，則a的取值范圍是1＜a≤2，或a＝3或a＝4（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，由題意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（a）﹣log2（a）≤1，即a≤2（a），即a設(shè)1﹣t＝r，則0≤r，，當(dāng)r＝0時，0，當(dāng)0＜r時，，∵y＝r在（0，）上遞減，∴r，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a【一題多解】（3）還可采用：當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，即，對任意成立因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，有最小值，由，得故的取值范圍為19、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)并集和補(bǔ)集的概念即可求出結(jié)果；（2）由題意可得，解不等式組即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，且，則，所以或；【小問2詳解】因?yàn)?，且，所以需滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、（1）（2）函數(shù)在上為減函數(shù)（3）【解析】（1）直接令真數(shù)大于0即可得解；（2）由和，結(jié)合同增異減即可得解；（3）直接利用（2）的單調(diào)性可直接得值域.【小問1詳解】由，得，解得.所以定義域?yàn)?；小?詳解】由在上為增函數(shù)，且為減函數(shù)，所以在上為減函數(shù)；【小問3詳解】由（2）知函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?21、（1）最符合實(shí)際的模型為①，理由見解析（2）從甲地到乙地，該型號的汽車以80的速度行駛時能使總耗油量最少【解析】（1）根據(jù)定義域和單調(diào)性來判斷；（2）根據(jù)行駛時間與單位時間的耗油量得到總耗油量的函數(shù)表達(dá)式，再求最小值的條件即可.【小問1詳解】依題意，所選的函數(shù)必須滿足兩個條件：定義域?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.由于模型③定義域不可能是.而模型②在區(qū)間上是減函數(shù).因此，最符合實(shí)際的模型為①.【小問2詳解】設(shè)從甲地到乙地行駛總耗油量為y，行駛時間為t，依題意有.∵，，∴，它是一個關(guān)于v的開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為，且，∴當(dāng)時，y有最小值.由題設(shè)表格知，當(dāng)時，，，.∴從甲地到乙地，該型號的汽車以80km/h的速度行駛時能使總耗油量最少.22、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)由點(diǎn)D、E分別為AB、AC中點(diǎn)得知DE∥BC,由此證得DE∥平面PBC;(2)要證CD⊥平面PAB,只需證明垂直平面內(nèi)的兩