2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)市級名校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)市級名校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．在中，為邊的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.2．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中不正確的是A.B.平面C.平面平面D.與所成的角等于與所成的角3．若，則與在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A. B.C. D.4．已知a>0，那么2+3a+4A.23 B.C.2+23 D.5．下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的是A. B.C. D.6．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.R B.C. D.7．集合，集合或，則集合（）A. B.C. D.8．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知在上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（）A B.C. D.12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是（）A.2， B.2，C.4， D.4，二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．若在上是減函數(shù)，則a的最大值是___________.14．已知，則_____.15．計(jì)算_____________.16．已知一容器中有兩種菌，且在任何時刻兩種菌的個數(shù)乘積為定值，為了簡單起見，科學(xué)家用來記錄菌個數(shù)的資料，其中為菌的個數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：①；②若今天值比昨天的值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10；③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬，則此時(注：)則正確的說法為________．(寫出所有正確說法的序號)三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．新冠肺炎期間，呼吸機(jī)成為緊缺設(shè)備，某企業(yè)在國家科技的支持下，進(jìn)行設(shè)備升級，生產(chǎn)了一批新型的呼吸機(jī).已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為60萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入100元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺，且全部售完，由于產(chǎn)能原因，該設(shè)備產(chǎn)能最多為32萬臺，且每萬臺的銷售收入（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬臺）的函數(shù)關(guān)系式近似滿足：（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-總成本）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？18．已知角終邊上一點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.19．已知函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明.20．如圖，已知點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)在直線:上（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求的面積21．已知函數(shù)．（1）求方程在上的解；（2）求證：對任意的，方程都有解22．已知函數(shù)（）在同一半周期內(nèi)的圖象過點(diǎn)，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，為函數(shù)的圖象與軸正半軸的交點(diǎn)，為等腰直角三角形.（1）求的值；（2）將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（），得到，若點(diǎn)和點(diǎn)都恰好落在曲線（）上，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】由平面向量的三角形法則和數(shù)乘向量可得解【詳解】由題意，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】結(jié)合直線與平面垂直判定和性質(zhì)，結(jié)合直線與平面平行的判定，即可【詳解】A選項(xiàng)，可知可知，故，正確；B選項(xiàng)，AB平行CD，故正確；C選項(xiàng)，，故平面平面，正確；D選項(xiàng)，AB與SC所成的角為，而DC與SA所成的角為，故錯誤，故選D【點(diǎn)睛】考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了異面直線所成角，難度中等3、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象判斷【詳解】因?yàn)?，，是減函數(shù)，是增函數(shù)，只有D滿足故選：D4、D【解析】利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)閍>0，所以2+3a+4當(dāng)且僅當(dāng)3a=4a，即故選：D5、B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，故先排除選項(xiàng)D；又對于選項(xiàng)C：，對于選項(xiàng)A：，故A、C均被排除，應(yīng)選B.6、B【解析】要使函數(shù)有意義，則需要滿足即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則需要滿足所以的定義域?yàn)?，故選：B7、C【解析】先求得，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合或，可得，又由，所以.故選：C.8、D【解析】在定義域每個區(qū)間上為減函數(shù)，排除.是非奇非偶函數(shù)，排除.故選.9、A【解析】由可得或，數(shù)形結(jié)合可方程只有解，則直線與曲線有個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，.作出函數(shù)、、圖象如下圖所示：由圖可知，直線與曲線有個交點(diǎn)，即方程只有解，所以，方程有解，即直線與曲線有個交點(diǎn)，則.故選：A.10、B【解析】令，，（）若，則函數(shù)，減函數(shù)，由題設(shè)知為增函數(shù)，需，故此時無解（）若，則函數(shù)是增函數(shù)，則為減函數(shù)，需且，可解得綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是故選點(diǎn)睛：已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點(diǎn)：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不僅要注意內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性對應(yīng)關(guān)系，而且要注意內(nèi)外函數(shù)對應(yīng)自變量取值范圍.11、B【解析】根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，對于函?shù)，有，解得.因此，函數(shù)的定義域是.故選：B.12、B【解析】根據(jù)圖象的兩個點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，得到四分之三個周期的值，得到周期的值，做出的值，把圖象所過的一個點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程做出初相，寫出解析式，代入數(shù)值得到結(jié)果【詳解】解：由圖象可得：，∴，∴，又由函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴，即，又由，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查由部分圖象確定函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出初相.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，然后解不等式確定的范圍后可得最大值【詳解】由題意，，，，，，，∴，的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查兩角和與差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系列不等式求解即可．14、3【解析】利用誘導(dǎo)公式求出，再將所求值的式子弦化切，代值計(jì)算即得.【詳解】因，所以.故答案為：3.15、【解析】將所給式子通分后進(jìn)行三角變換可得結(jié)果【詳解】由題意得故答案為：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題考查三角恒等化簡，本題的關(guān)鍵是通分后用正弦的差角公式，在由化成時注意角的順序，這是容易出錯的地方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.16、③【解析】對于①通過取特殊值即可排除，對于②③直接帶入計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)nA＝1時，PA＝0，故①錯誤；若PA＝1，則nA＝10，若PA＝2，則nA＝100，故②錯誤；B菌的個數(shù)為nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故選③三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）年產(chǎn)量為30萬臺，利潤最大.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)給定的函數(shù)模型及已知條件，求函數(shù)解析式.（2）利用二次函數(shù)、分式型函數(shù)的性質(zhì)求分段函數(shù)各區(qū)間的最大值，并確定對應(yīng)的自變量值，即可得解.小問1詳解】，∴.【小問2詳解】當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，∴時，取最大值，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴當(dāng)時，，綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時，該公司獲得最大利潤，最大利潤為790萬元.18、（1）4；（2）.【解析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出，然后分子分母同時除以，將弦化切，即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出，，再利用誘導(dǎo)公式將表達(dá)式化簡，即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)榻K邊上一點(diǎn)，所以，所以.（2）已知角終邊上一點(diǎn)，則，所以，，所以19、（1）（2）增函數(shù)，證明見解析【解析】（1）根據(jù)，由求解；（2）利用單調(diào)性的定義證明.【小問1詳解】解：∵，且，∴，∴；【小問2詳解】函數(shù)在上是增函數(shù).任取，不妨設(shè)，則，，∵且，∴，，，∴，即，∴在上是增函數(shù).20、解：（Ⅰ）x－y－1＝0；（Ⅱ）2【解析】（1）由題意，求得直線的斜率，從而得到，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解直線的方程；（2）由，求得，利用兩點(diǎn)間的距離公式和三角形的面積公式，即可求得三角形的面積.試題解析：（Ⅰ）由題意可知，為的中點(diǎn)，∴，且，∴所在直線方程為，即.（Ⅱ）由得∴∴,∴∴21、（1）或；（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（2）令，分，，三種情況，分別根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得證.【詳解】解：（1）由，得，所以當(dāng)時，上述方程的解為或，即方程在上的解為或；（2）證明：令，則，①當(dāng)時，，令，則，即此時方程有解；②當(dāng)時，，又∵在區(qū)間上是不間斷的一條曲線，由零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間上有零點(diǎn)，即此時方程有解；③當(dāng)時，