2023-2024學年安徽省六安市省示范高中數(shù)學高一上期末統(tǒng)考試題含解析

2023-2024學年安徽省六安市省示范高中數(shù)學高一上期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．關于的方程的實數(shù)根的個數(shù)為（）A.6 B.4C.3 D.22．在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學成績統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均分數(shù)方差甲302乙203其中，則甲、乙兩個班數(shù)學成績的方差為（）A.2.2 B.2.6C.2.5 D.2.43．設全集，，，則如圖陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.4．下列關于向量的敘述中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，，則C.已知非零向量，，若，則D.若，且，則5．各側棱長都相等，底面是正多邊形的棱錐稱為正棱錐，正三棱錐的側棱長為，側面都是直角三角形，且四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則下列對該函數(shù)性質的描述中不正確的是（）A.的圖像關于點成中心對稱B.的最小正周期為2C.的單調增區(qū)間為D.沒有對稱軸7．已知a,b∈(0,+∞)，函數(shù)f(x)=alog2x+b的圖象經過點(4,1)A.6-22 B.C.4+22 D.8．函數(shù)在區(qū)間上的簡圖是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.10．設定義在上的函數(shù)滿足：當時，總有，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．給出下列四種說法：（1）函數(shù)與函數(shù)的定義域相同；（2）函數(shù)與的值域相同；（3）若函數(shù)式定義在R上的偶函數(shù)且在為減函數(shù)對于銳角則；（4）若函數(shù)且,則；其中正確說法序號是________.12．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸非負半軸和軸的非負半軸上滑動，頂點在第一象限內，，，設.若，則點的坐標為______；若，則的取值范圍為______.13．已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，求這個圓錐的體積是______14．記為偶函數(shù)，是正整數(shù)，，對任意實數(shù)，滿足中的元素不超過兩個，且存在實數(shù)使中含有兩個元素，則的值是__________15．不等式的解集是________.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．用水清洗一堆蔬菜上的農藥，設用個單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為，且已知用個單位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前殘留農藥量的，用水越多洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上（1）根據題意，直接寫出函數(shù)應該滿足的條件和具有的性質；（2）設，現(xiàn)用（）個單位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗兩次，問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較少，說明理由；（3）若滿足題意，直接寫出一組參數(shù)的值17．利用拉格朗日（法國數(shù)學家，1736-1813）插值公式，可以把二次函數(shù)表示成的形式.（1）若，，，，，把的二次項系數(shù)表示成關于f的函數(shù)，并求的值域（此處視e為給定的常數(shù)，答案用e表示）；（2）若，，，，求證：.18．已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)的單調性；（3）若對所有，恒成立，求的取值范圍.19．已知直線l經過點A（2，1），且與直線l1：2x﹣y+4＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若點P（2，m）到直線l的距離為2，求m的值20．已知函數(shù)f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由21．已知定義域為的奇函數(shù).（1）求的值；（2）用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)在上是增函數(shù).

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】轉化為求或的實根個數(shù)之和，再構造函數(shù)可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以或，令，則或，因為為增函數(shù)，且的值域為，所以和都有且只有一個實根，且兩個實根不相等，所以原方程的實根的個數(shù)為.故選：D2、D【解析】根據平均數(shù)和方差的計算性質即可計算.【詳解】設甲、乙兩班學生成績分別為，甲班平均成績?yōu)?，乙班平均成績?yōu)椋驗榧?、乙兩班的平均成績相等，所以甲、乙兩班合在一起后平均成績依然為，因為，同理，∴甲、乙兩班合在一起后的方差為?故選：D.3、D【解析】解出集合、，然后利用圖中陰影部分所表示的集合的含義得出結果.【詳解】，.圖中陰影部分所表示的集合為且.故選：D.【點睛】本題考查韋恩圖表示的集合的求解，同時也考查了一元二次不等式的解法，解題的關鍵就是弄清楚陰影部分所表示的集合的含義，考查運算求解能力，屬于基礎題.4、C【解析】A選項：單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當時，與不一定共線，故B錯誤；C選項：兩邊平方可得，故C正確；D選項：舉特殊向量可知D錯誤.【詳解】A選項：因為單位向量既有大小又有方向，但是單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當時，，，但與不一定共線，故B錯誤；C選項：對兩邊平方得，，所以，故C正確；D選項：比如：，，，所以，，所以，但，故D錯誤.故選：C.5、D【解析】因為側棱長為a的正三棱錐P﹣ABC的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，三棱錐的正方體的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對角線，正方體的對角線長為：；所以球的表面積為：4π=3πa2故答案為D．點睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線，這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，有時也可利用補體法得到半徑．6、C【解析】根據正切函數(shù)的周期性，單調性和對稱性分別進行判斷即可【詳解】對于A：令,令，可得函數(shù)的一個對稱中心為，故正確；對于B：函數(shù)f（x）的最小正周期為T＝，故正確；對于C：令，解不等式可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，故錯誤；對于D：正切函數(shù)不是軸對稱圖形，故正確故選：C【點睛】本題考查與正切函數(shù)有關的性質，涉及周期性，單調性和對稱性，利用整體代換的思想進行判斷是解決本題的關鍵7、D【解析】由函數(shù)f(x)=alog2x+b的圖象經過點(4,1)得到2a+b=1【詳解】因為函數(shù)f(x)=alog2x+b圖象經過點(4,1)，所以有alog24+b=1?2a+b=1，因為a,b∈(0,+∞)，所以有(故選：D【點睛】本題考查了基本不等式的應用，用“1”巧乘是解題的關鍵，屬于一般題.8、B【解析】分別取，代入函數(shù)中得到值，對比圖象即可利用排除法得到答案.【詳解】當時，，排除A、D；當時，，排除C.故選：B.9、C【解析】根據奇偶性排除A和D，由排除B.【詳解】由圖可知，的圖象關于原點對稱，是奇函數(shù),，，則函數(shù)，是偶函數(shù)，排除A和D．當時，恒成立，排除B.故選：C10、A【解析】將不等式變形后再構造函數(shù)，然后利用單調性解不等式即可.【詳解】由，令，可知當時，，所以在定義域上單調遞減，又，即，所以由單調性解得.故選：A二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、（1）（3）【解析】(1)根據定義域直接判斷；(2)分別求出值域即可判斷；(3)利用偶函數(shù)圖形的對稱性得出在上的單調性及銳角，可以判斷；(4)通過對數(shù)性質及對數(shù)運算即可判斷.【詳解】(1)函數(shù)與函數(shù)的定義域都為.所以(1)正確.(2)函數(shù)的值域為而的值域為，所以值域不同，故(2)錯誤.(3)函數(shù)在定義R上的偶函數(shù)且在為減函數(shù),則函數(shù)在在為增函數(shù)，又為銳角，則，所以，故(3)正確.(4)函數(shù)且，則，即，得，故(4)錯誤.故答案為：(1)(3).【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的定義域與值域的求解，函數(shù)的奇偶性和單調性的判定，對數(shù)的運算，屬于函數(shù)知識的綜合應用，是中檔題.12、①.②.【解析】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，設點、，根據銳角三角函數(shù)的定義可得出點、的坐標，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標運算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【詳解】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，如下圖所示：則，設點、，則，，，.當時，，，則點；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】本題考查點的坐標的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍的求解，解題的關鍵就是將點的坐標利用三角函數(shù)表示，考查運算求解能力，屬于中等題.13、【解析】設圓錐母線長為，底面圓半徑長，側面展開圖是一個半圓，此半圓半徑為，半圓弧長為，表面積是側面積與底面積的和，則圓錐的底面直徑圓錐的高點睛：本題主要考查了棱柱，棱錐，棱臺的側面積和表面積的知識點．首先，設圓錐母線長為，底面圓半徑長，然后根據側面展開圖，分析出母線與半徑的關系，然后求解其底面體積即可14、4、5、6【解析】根據偶函數(shù)，是正整數(shù)，推斷出的取值范圍，相鄰的兩個的距離是，依照題意列不等式組，求出的值【詳解】由題意得．∵為偶函數(shù)，是正整數(shù)，∴，∵對任意實數(shù)，滿足中的元素不超過兩個，且存在實數(shù)使中含有兩個元素，∴中任意相鄰兩個元素的間隔必小于1，任意相鄰的三個元素的間隔之和必大于1∴，解得，又，∴．答案：【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，以及根據集合的運算關系，求參數(shù)的值，關鍵是理解的意義，強調抽象思維與靈活應變的能力15、【解析】由題意，，根據一元二次不等式的解法即可求出結果.【詳解】由題意，或，故不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎題.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）答案見解析（2）答案不唯一，具體見解析（3）的值依次為（答案不唯一）【解析】（1）根據題意直接寫出定義域，值域，，單調性；（2）分別計算2種方案完成后蔬菜農藥殘留，做差后分類討論比較大小即可得出答案；（3）根據（1）中函數(shù)的性質，直接寫出一組即可.【小問1詳解】滿足的條件和性質如下：；定義域為；；；在區(qū)間上單調遞減【小問2詳解】設清洗前殘留的農藥量為，若清洗一次，設清洗后蔬菜上殘留的農藥量為，則，則若把水平均分成份后清洗兩次，設第一次清洗后蔬菜上殘留的農藥量為，則設第二次清洗后蔬菜上殘留的農藥量為，，比較與的大?。孩佼?，即時，，即，由不等式的性質可得，所以把水平均分成份后清洗兩次蔬菜上殘留的農藥量比較少；②當，即時，，兩種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量一樣多；③當，即時，由不等式的性質可得，所以清洗一次后蔬菜上殘留的農藥量比較少【小問3詳解】參數(shù)的值依次為．（答案不唯一）17、（1）；（2）證明見解析【解析】（1）根據已知寫出二次項系數(shù)后可得；；（2）注意到，因此可以在不等式兩邊同乘以分母后化簡不等式，然后比較可得（可作差或湊配證明）【小問1詳解】由題意又，所以即的值域是；【小問2詳解】因為，，，，所以，因為，，，，所以，所以，所以，因為，，，，所以，所以，所以，綜上，原不等式成立18、（1）為奇函數(shù)；證明見解析；（2）是在上為單調遞增函數(shù)；證明見解析；（3）或.【解析】（1）根據已知等式，運用特殊值法和函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可；（2）根據函數(shù)的單調性的定義，結合已知進行判斷即可；（3）根據（1）（2），結合函數(shù)的單調性求出函數(shù)在的最大值，最后根據構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性進行求解即可.詳解】（1）∵，令，得，∴，令可得：，∴，∴為奇函數(shù)；（2）∵是定義在上的奇函數(shù)，由題意設，則，由題意時，有，∴，∴是在上為單調遞增函數(shù)；（3）∵在上為單調遞增函數(shù)，∴在上的最大值為，∴要使，對所有，恒成立，只要，即恒成立；令，得，∴或.【點睛】本題考查了函數(shù)單調性和奇偶性的判斷，考查了不等式恒成立問題，考查了數(shù)學運算能力.19、（1）x+2y﹣4＝0；（2）m的值為6或﹣4【解析】（1）首先根據設出直線，再帶入即可.（2）列出點到直線的距離公式即可求出的值.【詳解】（1）根據題意，直線與直線垂直，設直線的方程為，又由直線經過點，則有，解可得.故直線的方程為.（2）根據題意，由（1）的結論：直線的方程為，若點到直線的距離為，則有，變形可得：，解可得：或.故的值為或.【點睛】本題第一問考查兩條直線垂直的位置關系，第二問考查點到直線的距離公式，屬于簡單題.20、（1）；（2）偶函數(shù),理由詳見解析【解析】（1）求定義域，通常就是求使函數(shù)式有意義的自變量取值集合，所以只要滿足各項都有意義即可，對數(shù)型的函數(shù)求值域，關鍵求出真數(shù)部分的取值范圍就可以了；（2）判斷函數(shù)奇偶性，就是利用奇偶性定義判斷即可試題解析：（1）由函數(shù)式可得又所以值域為（2）由（1）可知定義域關于原點對稱所以原函數(shù)為偶函數(shù)