浙江七年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽沖刺卷四

2021-2022學(xué)年浙江七年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽沖刺卷04一．選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）1．（4分）有一列數(shù)a1，a2，a3，a4，…，an，從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒數(shù)的差，若a1＝2，則a2008值為（）A．2 B．﹣1 C． D．2008【分析】從所給出的資料中，可得到若a1＝2，a2＝，a3＝﹣1，a4＝2…則這列數(shù)的周期為3，據(jù)此解題即可．【解答】解：根據(jù)題意可知：若a1＝2，則a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，…，這列數(shù)的周期為3，∵2008＝3×669+1∴a2008＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查有理數(shù)的運(yùn)算方法和數(shù)學(xué)的綜合能力．解此題的關(guān)鍵是能從所給出的資料中找到數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，并直接利用規(guī)律求出得數(shù)，代入后面的算式求解．2．（4分）如圖，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N是線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q是AM的中點(diǎn)，則MN：PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N是線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q是AM的中點(diǎn)，可知PQ＝AP﹣AQ＝AN﹣AM＝（AN﹣AM）＝MN，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N是線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q是AM的中點(diǎn)，可知：PQ＝AP﹣AQ＝AN﹣AM＝（AN﹣AM）＝MN，所以MN：PQ＝2：1＝2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比較線段的長(zhǎng)短的知識(shí)，注意理解線段的中點(diǎn)的概念．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（4分）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，則a+b＝（）A．4 B．0 C．2 D．﹣2【分析】先將字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，從而得到a+b的值．【解答】解：∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，（b+2）2+c2＝0，∴b＝﹣2，c＝0，∴a＝b+4＝2．∴a+b＝0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法．解題關(guān)鍵是將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式．4．（4分）用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于x≥[x]，所以可把方程x2﹣2[x]﹣3＝0寫成2[x]＝x2﹣3，可得不等式2x≥x2﹣3，求得x的取值范圍．再將x的取值范圍分為5類求解即可進(jìn)行選擇．【解答】解：因?yàn)閤≥[x]，方程變形為2[x]＝x2﹣3，2x≥x2﹣3，解此不等式得：﹣1≤x≤3．現(xiàn)將x的取值范圍分為5類進(jìn)行求解（1）﹣1≤x＜0，則[x]＝﹣1，原方程化為x2﹣1＝0，解得x＝﹣1；（2）0≤x＜1則[x]＝0，原方程化為x2﹣3＝0，無(wú)解；（3）1≤x＜2，則[x]＝1，原方程化為x2﹣5＝0，無(wú)解；（4）2≤x＜3，則[x]＝2，原方程化為x2﹣7＝0，解得x＝；（5）x＝3顯然是原方程的解．綜合以上，所以原方程的解為﹣1，，3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含取整函數(shù)的方程，任意一個(gè)實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)與非負(fù)純小數(shù)之和，即：x＝[x]+{x}，其中{x}∈[0，+∞）．解題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍，從而得到[x]的值．注意分情況進(jìn)行討論．5．（4分）如圖，平行直線AB、CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（）A．4對(duì) B．8對(duì) C．12對(duì) D．16對(duì)【分析】每一個(gè)“三線八角”基本圖形都有兩對(duì)同旁內(nèi)角，從對(duì)原圖形進(jìn)行分解入手可知同旁內(nèi)角共有對(duì)數(shù)．【解答】解：直線AB、CD被EF所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線AB、CD被GH所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線CD、EF被GH所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線CD、GH被EF所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線GH、EF被CD所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線AB、EF被GH所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線AB、GH被EF所截有2對(duì)同旁內(nèi)角；直線EF、GH被AB所截有2對(duì)同旁內(nèi)角．共有16對(duì)同旁內(nèi)角．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同旁內(nèi)角的定義．注意在截線的同旁找同旁內(nèi)角．要結(jié)合圖形，熟記同旁內(nèi)角的位置特點(diǎn)．兩條直線被第三條直線所截所形成的八個(gè)角中，有兩對(duì)同旁內(nèi)角．6．（4分）中百超市推出如下優(yōu)惠方案：（1）一次性購(gòu)物不超過(guò)100元，不享受優(yōu)惠；（2）一次性購(gòu)物超過(guò)100元，但不超過(guò)300元一律9折；（3）一次性購(gòu)物超過(guò)300元一律8折．王波兩次購(gòu)物分別付款80元、252元，如果他將這兩次所購(gòu)商品一次性購(gòu)買，則應(yīng)付款（）A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元【分析】按照優(yōu)惠條件第一次付80元時(shí)，所購(gòu)買的物品價(jià)值不會(huì)超過(guò)100元，不享受優(yōu)惠，因而第一次所購(gòu)物品的價(jià)值就是80元；300元的9折是270元，8折是240元，因而第二次的付款252元所購(gòu)買的商品價(jià)值可能超過(guò)300元，也可能超過(guò)100元而不超過(guò)300元，因而應(yīng)分兩種情況討論．計(jì)算出兩次購(gòu)買物品的價(jià)值的和，按優(yōu)惠條件計(jì)算出應(yīng)付款數(shù)．【解答】解：（1）若第二次購(gòu)物超過(guò)100元，但不超過(guò)300元，設(shè)此時(shí)所購(gòu)物品價(jià)值為x元，則90%x＝252，解得x＝280兩次所購(gòu)物價(jià)值為80+280＝360＞300所以享受8折優(yōu)惠，因此王波應(yīng)付360×80%＝288（元）．（2）若第二次購(gòu)物超過(guò)300元，設(shè)此時(shí)購(gòu)物價(jià)值為y元，則80%y＝252，解得y＝315兩次所購(gòu)物價(jià)值為80+315＝395，因此王波應(yīng)付395×80%＝316（元）故選：C．【點(diǎn)評(píng)】能夠分析出第二次購(gòu)物可能有兩種情況，進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．7．（4分）使分式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是（）A．5 B．6 C．12 D．22【分析】利用原式＝x﹣1+，為使為整數(shù)，進(jìn)而求出即可．【解答】解：由于原式＝x﹣1+，為使為整數(shù)，則自然數(shù)x可取0，1，2，3，5，11，其和為22．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的值，逆用分式加減法則進(jìn)行變形，使分子為整數(shù)，再用整除的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．8．（4分）有以下兩下數(shù)串：1，3，5，7，…1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10…1990，1993，1996，1999，同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）個(gè)．A．333 B．334 C．335 D．336【分析】本題根據(jù)觀察可知第一串?dāng)?shù)字表示的是奇數(shù)，第二串?dāng)?shù)字既有奇數(shù)又有偶數(shù)，因此只要找出第二串?dāng)?shù)軸中的奇數(shù)個(gè)數(shù)就可以了．【解答】解：依題意得：第一串?dāng)?shù)字表示1到1999的所有奇數(shù)，第二串?dāng)?shù)字可表示為：3n﹣2，則1999＝3n﹣2得n＝667．所以第二串?dāng)?shù)字中有（667+1）÷2＝334個(gè)奇數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．二．填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）9．（4分）在2時(shí)到3時(shí)之間，在2點(diǎn)分時(shí)刻時(shí)針與分針正好垂直．【分析】設(shè)x時(shí)刻時(shí)針與分針正好垂直，然后根據(jù)分針每轉(zhuǎn)過(guò)1分鐘，旋轉(zhuǎn)角度為6°分兩種情況列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)x時(shí)刻時(shí)針與分針正好垂直，由題意得，6（x﹣15）+×30＝90°，解得x＝，或6（60﹣x）+×30+2×30°＝90°，解得x＝60，∵在2時(shí)到3時(shí)之間，∴時(shí)刻為2點(diǎn)分．故答案為：2點(diǎn)分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了鐘面角，主要利用了分針每轉(zhuǎn)過(guò)1分鐘，旋轉(zhuǎn)角度為6°，分情況列出方程是解題的關(guān)鍵．10．（4分）我們稱使+＝成立的一對(duì)數(shù)a，b為“相伴數(shù)對(duì)”，記為（a，b），如：當(dāng)a＝b＝0時(shí)，等式成立，記為（0，0）．若（a，3）是“相伴數(shù)對(duì)”，則a的值為﹣．【分析】根據(jù)“相伴數(shù)對(duì)”的定義，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵（a，3）是“相伴數(shù)對(duì)”，∴+＝，解得：a＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，依照“相伴數(shù)對(duì)”的定義找出關(guān)于a的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．11．（4分）若a+x2＝2008，b+x2＝2009，c+x2＝2010，且abc＝24，則++﹣﹣﹣的值為．【分析】由題知a＝b﹣1，c＝b+1，又由abc＝24，則++﹣﹣﹣＝，將a＝b﹣1，c＝b+1代入上式得答案為．【解答】解：∵a+x2＝2008，b+x2＝2009，c+x2＝2010，∴可知a＝b﹣1，c＝b+1，又∵abc＝24，則++﹣﹣﹣＝∴將a＝b﹣1，c＝b+1代入上式得：++﹣﹣﹣＝，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查代數(shù)式求值問(wèn)題，首先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，再聯(lián)系題干，便可得到結(jié)果，要靈活掌握．12．（4分）若x2+x﹣1＝0，則x3+2x2+3＝4．【分析】由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，把x3+2x2+3寫成含x2+x的形式是關(guān)鍵．【解答】解：由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，所以x3+2x2+3＝x3+x2+x2+3＝x（x2+x）+x2+3＝x+x2+3＝1+3＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】注意把x2+x看作一個(gè)整體，運(yùn)用整體思想進(jìn)行解決．13．（4分）已知對(duì)于任意正整數(shù)n，都有a1+a2+…+an＝n3，則＝．【分析】先根據(jù)n≥2時(shí)，a1+a2+…+an﹣1+an＝n3，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）3，把兩式相減，得出an的表達(dá)式，再根據(jù)＝（﹣）進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵當(dāng)n≥2時(shí)，有a1+a2+…+an﹣1+an＝n3，a1+a2+…+an﹣1＝（n﹣1）3，兩式相減，得an＝3n2﹣3n+1，∴＝＝（﹣），∴++…+，＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），＝（1﹣），＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是部分分式，屬規(guī)律性題目，能根據(jù)題意得出＝（﹣）是解答此題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．【分析】根據(jù)梅涅勞斯定理得，??＝1，則＝，由面積公式得SBCEF＝S△BCF+S△CEF，即可得出答案．【解答】解：∵DEF是△ABC的梅氏線，∴由梅涅勞斯定理得，??＝1，即??＝1，則＝，連FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道競(jìng)賽題，考查了梅內(nèi)勞斯定理和賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，才能準(zhǔn)確的解題．15．（4分）整數(shù)a、b滿足6ab＝9a﹣10b+303，則a+b＝15．【分析】先移項(xiàng)，然后將運(yùn)用因式分解的知識(shí)將等式左邊的式子分解成因式相乘的形式，從而利用數(shù)的整除思想得出答案．【解答】解：∵6ab＝9a﹣10b+303，∴（3a+5）（2b﹣3）＝288＝25×32，又∵a、b都是整數(shù)，∴只有3a+5＝25，2b﹣3＝32成立，∴a＝9，b＝6，∴a+b＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)的整除性，難度不大，關(guān)鍵是利用因式分解的知識(shí)，將未知數(shù)化成因式相乘的形式．16．（4分）如圖中，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49．那么圖中陰影部分的面積是97．【分析】所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分．因此，△ABC面積+△CDE面積+（13+49+35）＝長(zhǎng)方形面積+陰影部分面積．而△ABC的底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬；△CDE的底是長(zhǎng)方形的寬，高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)．因此，三角形ABC面積與三角形CDE面積，都是長(zhǎng)方形面積的一半．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S，則S△CDE＝S△ABC＝S由圖形可知，S+S陰影＝S△CDE+S△ABC+13+49+35S陰影＝S+S+13+49+35﹣S＝97故答案為97．【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方形面積、三角形面積的計(jì)算．本題明白所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13、49、35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分是解決本題的關(guān)鍵，從而根據(jù)S+S陰影＝S△CDE+S△ABC+13+49+35建立等量關(guān)系求解．三．解答題（共6小題，滿分56分）17．（8分）計(jì)算．【分析】此題是一道利用簡(jiǎn)便方法解答的規(guī)律性題，從式子中可以得出括號(hào)里的第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)兩項(xiàng)的和為1，把括號(hào)里的數(shù)寫成假分?jǐn)?shù)的形式，得到如下規(guī)律：原式＝+++…+，計(jì)算求解．【解答】解：原式＝+++…+＝（1+2+3+…+49）＝×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題要注意找規(guī)律，利用簡(jiǎn)便方法化簡(jiǎn)求解，同時(shí)本題也考查了有理數(shù)加法法則．18．（8分）已知：AB：BC：CD＝2：3：4，E，F(xiàn)分別是AB和CD的中點(diǎn)，且EF＝12厘米（cm），求AD的長(zhǎng)（如圖）．【分析】線段EF是線段AD的一部分，題設(shè)給出了EF的長(zhǎng)度，只要知道線段EF占全線段AD的份額，就可求出AD的長(zhǎng)了．【解答】解：因?yàn)锳B：BC：CD＝2：3：4，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，將線段AD9等分（9＝2+3+4）且設(shè)每一份為一個(gè)單位，則AB＝2，BC＝3，CD＝4，EB＝1，CF＝2．從而EF＝EB+BC+CF＝1+3+2＝6，即EF占AD全長(zhǎng)的．所以線段AD的長(zhǎng)＝12＝18（厘米）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比較線段的長(zhǎng)短的知識(shí)，注意理解線段的中點(diǎn)的概念．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（8分）已知y＝|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值．【分析】首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn)，有三個(gè)分界點(diǎn)：﹣3，1，﹣1．則x的范圍即可分為x≤﹣3，﹣3≤x≤﹣1，﹣1≤x≤1，x≥1四部分，即可確定絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào)，從而確定y的值．【解答】解：分析首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn)，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者．有三個(gè)分界點(diǎn)：﹣3，1，﹣1．（1）當(dāng)x≤﹣3時(shí)，y＝﹣（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）＝x﹣1，由于x≤﹣3，所以y＝x﹣1≤﹣4，y的最大值是﹣4．（2）當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)，y＝（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）＝5x+11，由于﹣3≤x≤﹣1，所以﹣4≤5x+11≤6，y的最大值是6．（3）當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，y＝（2x+6）﹣（x﹣1）﹣4（x+1）＝﹣3x+3，由于﹣1≤x≤1，所以0≤﹣3x+3≤6，y的最大值是6．（4）當(dāng)x≥1時(shí)，y＝（2x+6）+（x﹣1）﹣4（x+1）＝﹣x+1，由于x≥1，所以1﹣x≤0，y的最大值是0．綜上可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y取得最大值為6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．對(duì)x的分為正確進(jìn)行分類是解決本題的關(guān)鍵．20．（10分）在矩形ABCD中，放入六個(gè)形狀、大小相同的長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示．試求圖中陰影部分的總面積（寫出分步求解的簡(jiǎn)明過(guò)程）【分析】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬為未數(shù)，根據(jù)圖示可得到關(guān)于xy的兩個(gè)方程，可求得解，從而可得到大長(zhǎng)方形的面積，再根據(jù)陰影部分的面積＝大長(zhǎng)方形的面積﹣6個(gè)小長(zhǎng)方形的面積求解即可．【解答】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，如圖可知，x+3y＝14，①x+y﹣2y＝6，即x﹣y＝6，②①﹣②得4y＝8，y＝2，代入②得x＝8，因此，大矩形ABCD的寬AD＝6+2y＝6+2×2＝10．矩形ABCD面積＝14×10＝140（平方厘米），陰影部分總面積＝140﹣6×2×8＝44（平方厘米）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，以及學(xué)生對(duì)圖表的閱讀理解能力．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．21．（10分）某人乘船由A地順流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小時(shí)，已知船在靜水中的速度為7.5km/h，水流速度為2.5km/h，若A，C兩地相距10km，求A，B兩地的距離．【分析】此題的關(guān)鍵是公式：順流速度＝靜水速度+水流速度逆流速度＝靜水速度﹣水流速度，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)A、B兩地之間的距離為x千米，若C在A的上游時(shí)：則+＝4，解得：x＝．若C在A，B之間時(shí)：則+＝4，解得：x＝20．答：A、B兩地的距離為20km或km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，正確對(duì)三地的位置關(guān)系進(jìn)行分類，是解決本題的關(guān)鍵．22．（12分）如圖，MN∥PQ，A，B分別在直線MN，PQ上，且∠BAN＝60°，若射線AN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AM后立即回轉(zhuǎn)，射線BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A，點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AN轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒