6.3對(duì)數(shù)函數(shù)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第6章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)6.3對(duì)數(shù)函數(shù)我們知道，在某細(xì)胞分裂過(guò)程中，細(xì)胞個(gè)數(shù)y

是分裂次數(shù)的指數(shù)函數(shù)y＝2x，因此，知道x的值(輸入值是分裂次數(shù))，就能求出y的值(輸出值是細(xì)胞個(gè)數(shù)).現(xiàn)在，我們來(lái)研究相反的問(wèn)題：知道了細(xì)胞個(gè)數(shù)y，如何確定分裂次數(shù)x?為了求y＝2x中的x，我們將y＝2x

改寫(xiě)成對(duì)數(shù)式為x＝log2y.對(duì)于每一個(gè)給定的y值，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)把y看作自變量，就是y的函數(shù).這樣就得到了一個(gè)新的函數(shù).前面提到的放射性物質(zhì)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間x(單位：年)與物質(zhì)剩留量y的關(guān)系式為y＝0.84x

改寫(xiě)成對(duì)數(shù)式為x＝log0.84y.類似地，y

是自變量，x

是y

的函數(shù).習(xí)慣上，仍用x表示自變量，用y表示它的函數(shù).這樣，上面兩個(gè)函數(shù)就分別寫(xiě)成y＝log2x

和y＝log0.84x.

類似還可以得到函數(shù)y＝log3x，y＝logx等.

●函數(shù)y＝log2x，y＝log0.84x，y＝log3x，y＝logx具有

什么共同特征?

這些函數(shù)的表達(dá)式都是對(duì)數(shù)的形式，底數(shù)是常數(shù)，真數(shù)是自變量，這樣的函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù).一、對(duì)數(shù)函數(shù)一般地，

函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是(0，＋∞).提示：①a＞0，且a≠1；②logax的系數(shù)為1；③自變量x的系數(shù)為1.【思考】對(duì)數(shù)函數(shù)解析式有什么特征?在圖6－3－1中，我們同時(shí)畫(huà)出了對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x，y＝lgx，y＝logx

的圖象.

觀察圖6－3－1中的函數(shù)的圖象，對(duì)照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)有哪些性質(zhì)?二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象

性質(zhì)(1)定義域：___________(0，＋∞)a＞10＜a＜1性質(zhì)(2)值域：

R(3)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)(4)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0.在(0，＋∞)上是減函數(shù)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0.【思考】提示：當(dāng)x＝1時(shí)，loga1＝0恒成立，即對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)(1，0)

.對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx，···，為什么一定過(guò)點(diǎn)(1，0)

?

思考函數(shù)y＝logax

與函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的定義域、值域之間有怎樣的關(guān)系?畫(huà)出下列兩組函數(shù)的圖象，并觀察各組函數(shù)的圖象，尋找它們之間的關(guān)系：(1)y＝2x，y＝log2x；

思考一般地，當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，函數(shù)y＝ax與y＝logax

的圖象有怎樣的關(guān)系?當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，y＝logax稱為y＝ax

的反函數(shù).反之，y＝ax

也稱為y＝logax

的反函數(shù).一般地，如果函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y＝f－1(x).例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log0.2(4－x)；解：當(dāng)4－x＞0，即x＜4時(shí)，log0.2(4－x)有意義；

當(dāng)x≥4時(shí)，log0.2(4－x)沒(méi)有意義.

因此，函數(shù)y＝log0.2(4－x)的定義域是(－∞，4).

例2比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：(1)log23.4，log23.8；解考察對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x.

因?yàn)?＞1，

所以y＝log2x

在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù).又因?yàn)?＜3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8.(2)log0.51.8，log0.52.1；解考察對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.5x.

因?yàn)?＜0.5＜1，

所以y＝log0.5x

在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).又因?yàn)?＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1.解考察對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log7x.

因?yàn)?＞1，所以y＝log7x在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù).又因?yàn)?＜5＜7，

所以log75＜log77＝1.

同理log67＞log66＝1，

所以log75＜log67.(3)1og75，log67.例3說(shuō)明函數(shù)y＝log3(x＋2)與函數(shù)y＝log3x

的圖的關(guān)系.解

比較函數(shù)y＝log3(x＋2)與y

＝log3x的取值關(guān)系，列表如表6-3-2所示.一般地，函數(shù)y＝log3(x＋2)中x＝a－2對(duì)應(yīng)的y值與函數(shù)y＝log3x中x＝a對(duì)應(yīng)的y值相等，則將對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log3x的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y＝log3(x＋2)的圖象.

這兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.

思考函數(shù)y＝log(x＋b)與函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1，b≠0)的圖象之間有怎樣的關(guān)系?例4畫(huà)出函數(shù)y＝log2∣x∣的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：由于函數(shù)y＝f(x)＝log2∣x∣滿足對(duì)任意的x∈(－8，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝log2∣－x∣＝log2∣x∣＝f(x)，所以函數(shù)y＝log2∣x∣是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.當(dāng)x＞0時(shí)，log2∣x∣＝lg2x.因此，我們先畫(huà)出函數(shù)y＝log2x(x＞0)的圖象C1，再作出C1關(guān)于y

軸對(duì)稱的圖象C2.C1和C2構(gòu)成函數(shù)y＝log2∣x∣的圖象，如圖6-3-4.由圖象可以知道，函數(shù)y＝log2∣x∣的減區(qū)間是(－∞，0)，增區(qū)間是(0，＋∞).信息技術(shù)在GGB中作出動(dòng)態(tài)函數(shù)y＝ax與y＝logax(a＞0，a≠1)的圖象，直觀地理解第145頁(yè)“思考”中的問(wèn)題.(1)在輸入框中輸入“y＝a∧x”，確認(rèn)“創(chuàng)建滑動(dòng)條：a”(圖6-3-5)(2)在輸入框中輸入“y＝log(a，x)”，敲回車確認(rèn)；(3)拖動(dòng)滑塊a，觀察兩個(gè)圖象的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)(圖6-3-6).右擊滑塊a

在“屬性”中可設(shè)置參數(shù)a

的范圍及增量(每次變化的幅度).練習(xí)1.畫(huà)出函數(shù)y＝log3x；與y＝logx

的圖象，指出這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

函數(shù)y＝log3x在(0，

＋∞)上單調(diào)遞增，且圖象過(guò)點(diǎn)(1，0).函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且圖象過(guò)點(diǎn)(1，0).logx＝log3－1x＝－log3x

，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

2.求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log2(2x＋1)；

(2)y＝log0.5(2x－3)

(3)y＝log

(2－x)；

解要使函數(shù)y＝log

(2－x)有意義，

需滿足2－x＞0，解得x＜2，故函數(shù)y＝log

(2－x)的定義域?yàn)?－∞，2)；

3.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：(1)y＝log2x；(2)y＝logx；

解∵函數(shù)y＝log2x，x＞0的底數(shù)2＞1，∴該函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

(3)y＝log7(2x＋1)；

(4)y＝lg(3－2x).

4.比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)log35.4，log35.5；(2)logπ，loge；

解∵f(x)＝log3x

在(0，＋∞)單調(diào)遞增，且5.4＜5.5，∴l(xiāng)og35.4＜log35.5；

解∵f(x)＝log

x

在(0，＋∞)單調(diào)遞減，且π＞e，∴l(xiāng)og

π＜log

e；

(3)lg0.02，lg3.12；(4)ln0.55，ln0.56.解∵f(x)＝lgx

在(0，＋∞)單調(diào)遞增，且0.02＜3.12，∴l(xiāng)g0.02＜lg3.12；解∵f(x)＝lnx

在(0，＋∞)單調(diào)遞增，且0.55＜0.56，∴l(xiāng)n0.55＜ln0.56；5.解下列方程：(1)log2(3x)＝log2(2x＋1)；解∵log2(3x)＝log2(2a＋1)，

∴3x＝2x＋1，即x＝1.(2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)；解∵log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，

∴2x＋1＝x2－2，∴x＝3或x＝－1，

又∵真數(shù)都是大于0的，當(dāng)x＝－1時(shí)，x2－2＝－1＜0.

∴x＝－1舍去，即x＝3.

鏈接

在x＝f－1(y)中，y

是自變量，x是y的函數(shù).習(xí)慣上改寫(xiě)成y＝f－1(x)(x∈B，y∈A)的形式.

函數(shù)y＝f(x)的定義域A恰好是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的值域，函數(shù)y＝f(x)的值域B恰好是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域.函數(shù)y＝ax與y＝logax

的圖象表明，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x

對(duì)稱.

【思考】函數(shù)f(x)＝x2有反函數(shù)嗎?為什么?提示：沒(méi)有.

若令y＝f(x)＝1，則x＝±1，

即x值不唯一，不符合反函數(shù)的定義.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“?”，錯(cuò)的打“?”)(1)y＝logx5是對(duì)數(shù)函數(shù). (

)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn) (

)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都在y

軸的右側(cè). (

)???2.函數(shù)y＝log2x

在區(qū)間(0，2]上的最大值是 (

)

A.2

B.1

C.0

D.－1B解析：函數(shù)y＝log2x

在(0，2]上遞增，故x＝2時(shí)，y的值最大，最大值是1.解析3.函數(shù)y＝log3x與y＝logx的圖象關(guān)于________對(duì)稱.

x軸解析解析：函數(shù)y＝log3x與y＝logx

的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

4.若對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，－2)，則f(8)＝______.

－3解析

[2，＋∞)解析解析：要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x－1≥0，

解得x≥2，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2，＋∞).1.已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(9，2)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為 (

)

A.y＝log2x B.y＝log3xC.y＝logx D.y＝logx

【跟蹤訓(xùn)練】B解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(x＞0，a＞0且a≠1)，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(9，2)，所以2＝loga9，所以a2＝9，a＞0，解得a＝3.所以此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log3x.解析2.函數(shù)f(x)＝ln(1－x)的定義域是 (

)A.(0，1) B.[0，1)C.(1，＋∞) D.(－∞，1)D

解析：要使f(x)有意義，則1－x＞0，

所以x＜1，所以f(x)的定義域?yàn)?－∞，1).解析3.如果函數(shù)y＝log2x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，y0)，那么

y0＝________.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，y0)，

所以y0＝log24，所以2y0＝4＝22，

所以y0＝2.解析24.設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是

_____________.

解析：當(dāng)a＞1時(shí)，a＋1＞2，f(x)＝logax是增函數(shù)，則f(a＋1)＞f(2)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＋1＜2，f(x)＝logax是減函數(shù)，則f(a＋1)＞f(2).

綜上，f(a＋1)＞f(2).解析f(a＋1)＞f(2)5.若log0.1(1－a)＞log0.1(2a－1)，則a的取值范圍是

___________.

解析

1－a＜2a－1，1－a＞0，習(xí)題6.3感受·理解1.畫(huà)出函數(shù)y＝log4x

與y＝logx

的圖象，指出這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，并指出這兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)的相同點(diǎn)

與不同點(diǎn).

解函數(shù)y＝log4x與y＝logx

圖象如圖所示：兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，

相同性質(zhì)：兩個(gè)圖象都位于y軸的右側(cè)，都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)，這說(shuō)明兩個(gè)函數(shù)定義域都是(0，＋∞)，且當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，都不具有奇偶性，值域都是R；不同性質(zhì)：

y＝log4x

在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；y＝logx

在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.

2.求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log2(5x＋2)；(2)y＝log

(x－3)；

解根據(jù)題意可得x－3＞0，解得x＞3，

則函數(shù)的定義域?yàn)?3，＋∞).(3)y＝ln(3x－1)；

3.比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)log57.8，log57.9；解∵y＝log5x是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且0＜7.8＜7.9.∴l(xiāng)og57.8＜log57.9.(2)log0.33，log0.32；解∵y＝log0.3x是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且0＜2＜3.∴l(xiāng)og0.33＜log0.32.(3)ln0.32，lg2；解∵y＝lnx是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且0＜0.32＜1，∴l(xiāng)n0.32＜ln1＝0，∵y＝lgx

是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且0＜1＜2，∴l(xiāng)g2＞lg1＝0，

∴l(xiāng)n0.32＜lg2.(4)log55，log58.解∵y＝log6x

是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且0＜5＜6，∴l(xiāng)og65＜log66＝1.

∵y＝log7x

是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且0＜7＜8，∴l(xiāng)og78＞log77＝1，

∴l(xiāng)og65＜log78.4.證明：函數(shù)y＝log0.5(3x－2)在定義域上是減函數(shù).

5.解下列方程：(1)33x＋5＝27；

(2)22x＝12；

(3)31－x－2＝0.

6.畫(huà)出函數(shù)y＝log2(x＋1)與y＝log2(x－1)的圖象，并指

出這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.解畫(huà)出函數(shù)y＝log2(x＋1)與y＝log2(x－1)的圖象，如圖所示：從圖象發(fā)現(xiàn)將y＝log2(x＋1)圖象向右平移2個(gè)單位得y＝log2(x－1)的圖象7.比較log25與log58的大小.解構(gòu)造函數(shù)y＝log2x，x∈(0，＋∞)，

∵y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且5＞4，∴l(xiāng)og25＞1og24＝2，

構(gòu)造函數(shù)y＝log5x，x∈(0，＋∞)，

∵y＝log5x

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且5＜8＜25，∴1＝log55＜log58＜log25＝2.∴l(xiāng)og25＞1og58.8.設(shè)a與b為實(shí)數(shù)，a＞0，a≠1.已知函數(shù)y＝loga(x＋b)的圖象如圖所示求a與b

的值.解由圖知，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(－2，0)和(0，2)，a＞0且a≠1所以loga(－2＋b)＝0，logab＝2a＞0且a≠1即－2＋b＝1，

a2＝b

9.已知f(x)＝log3x，求證：(1)f(x)＋f(y)＝f(xy)；證明：∵f(x)＝log3x，∴f(y)＝log3y，

∴f(xy)＝log3(xy)＝log3x＋log3y＝f(x)＋f(y)，∴f(x)＋f(y)＝f(xy).

綜上所述，結(jié)論是：

f(x)＋f(y)＝f(xy).

思考·運(yùn)用11.設(shè)a，b，c，d

均為不等于1的正實(shí)數(shù)，如圖，已知

函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx

的圖象

分別是曲線C1，C2，C3，C4，

試判斷0，1，a，b，c，d

的大

小關(guān)系，并用“＜”連接起來(lái).解當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)值為1時(shí)，底數(shù)與真數(shù)相等，這是對(duì)數(shù)的一條重要性質(zhì)，將對(duì)數(shù)與指數(shù)結(jié)合更好理解，將對(duì)數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)變?yōu)橹笖?shù)形式，ay＝x(a＞0且a≠1)，當(dāng)y＝1時(shí)，可得a＝x；接下來(lái)作出y＝1的直線與其他對(duì)數(shù)圖象的交點(diǎn)根據(jù)橫坐標(biāo)的先后順序，即可得到a、b、c、d、1、0的大小關(guān)系.作直線y＝1分別與y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logcx的交點(diǎn)為(a，1)，(b，1)，(c，1)，(d，1).

結(jié)合圖象知0＜b＜a＜l＜d＜c.12.解下列方程：(1)21－x＝5；解原方程化為：21－x＝2log25，∴1－x＝log25，∴原方程的解為：

x＝1－log25；(2)2×5x＋1－9＝0.

13.解下列不等式：(1)5x＋2＞2；解不等式5x＋2＞2可化為x＋2＞log52，解得x＞－2＋1og52，∴不等式的解集為{x∣x＞－2＋log52}；(2)33－x＜6；解不等式33－x＜6可化為3－x＜1og36，

解得x＞3－1og36，∴不等式的解集為{x∣x＞3－log36}.(3)log3(x＋2)＞3；(4)lg(x－1)＜1.解不等式log3(x＋2)＞3可化為x＋2＞33，解得x＞25，∴不等式的解集為{x∣x＞25}；解不等式lg(x－1)＜1可化為解得1＜x＜11，∴不等式的解集為{x∣l＜x＜11}.x－1＞0x－1＜10，探究·拓展

15.(探究題)對(duì)于等式ab＝c(a＞0，a≠1)，如果將a視為

自變量x，b視為常數(shù)，c為關(guān)于a(即x)的函數(shù)，記為y，

那么y

，是冪函數(shù)；如果將a

視為常數(shù)，b視為自變

量x，c

為關(guān)于b(即x)的函數(shù)，記為y，那么y＝ax，是

指數(shù)函數(shù)；如果將a

視為常數(shù)，c

視為自變量x，為關(guān)

于c(即x)的函數(shù)，記為y，那么y＝logax，是對(duì)數(shù)函數(shù).事實(shí)上，由這個(gè)等式還可以得到更多的函數(shù)模型.例如，如果c為常數(shù)e(e

自然對(duì)數(shù)的底)，將a

視為自變量x(x＞0，x≠1)，則b為x的函數(shù)，記為y，那么xy＝e.(1)試將y表示成x的函數(shù)f(x)；(2)研究函數(shù)f(x)的性質(zhì).你還能運(yùn)用這個(gè)等式得到什么樣的函數(shù)?這些函數(shù)分別具有哪些性質(zhì)?

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?0，1)∪(1，＋∞)；值域?yàn)椋?－∞，0)∪(0，＋∞).

單調(diào)性：在(0，1)上單調(diào)遞減，

在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.

函數(shù)1：在ab＝c中，令c＝e，b＝x

視為自變量(x≠0)，a＝y(tǒng)為關(guān)于x的函數(shù)則yx＝e?y＝e(x≠0).此函數(shù)的定義域?yàn)椋?－∞，0)∪(0，＋∞)，值域?yàn)椋?0，1)∪(1，＋∞).

問(wèn)題與探究鋼琴與指數(shù)曲線鋼琴是一種用琴槌擊弦而振動(dòng)發(fā)聲的鍵盤(pán)樂(lè)器，最早的鋼琴是意大利佛羅倫薩梅迪奇宮廷的樂(lè)師克里斯托弗里(1655-1731)于1711年制造的，鋼琴的意大利文為pianoforte，由piano(弱)和forte(強(qiáng))兩字組合而成.鋼琴在音量上可以奏出極大的層次變化，它的音域極為寬廣，最多可以有7個(gè)八度并包括所有的半音.它可演奏和弦與復(fù)調(diào)音樂(lè)，手法極為豐富.因此，鋼琴有“樂(lè)器之王”的稱號(hào).但是，你曾留心過(guò)三角鋼琴的輪廓有一段奇妙的“曲線”嗎?三角鋼琴的輪廓上部為什么要制成這樣形狀的曲線?為了解釋這一現(xiàn)象，我們應(yīng)學(xué)會(huì)觀察、調(diào)查和研究.首先，從左往右逐個(gè)試彈所有琴鍵(包括所有白鍵和黑鍵)，我們聽(tīng)到琴聲逐漸由低到高，這是因?yàn)榍俾暤母叩团c琴弦振動(dòng)的頻率有關(guān)，而琴弦振動(dòng)的頻率又與琴弦的長(zhǎng)度有關(guān)，粗略地說(shuō)，琴弦長(zhǎng)則振動(dòng)慢，頻率小，故發(fā)出的聲音低；琴弦短，則振動(dòng)快，頻率大，故發(fā)出的聲音高.如圖1，在88鍵鋼琴中，音域?qū)挾茸源笞侄M的A2至小字五組的c5.根據(jù)“十二平均律”的法則，任何兩個(gè)相鄰的鍵所發(fā)出的音相差半音階(100音分)，它們的振動(dòng)頻率之比是一個(gè)常數(shù)Q.設(shè)最低的第一個(gè)音A2的頻率是a，則第二個(gè)音#A2，的頻率是aQ，第三個(gè)音B2的頻率是aQ2······另外，音高每提高八度(如A2到A1)，頻