第四章三角函數(shù)解三角形

數(shù)學(xué)A（理）§4.7正弦定理、余弦定理第四章三角函數(shù)、解三角形基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容a2＝

；b2＝

；c2＝________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC變形2RsinB2RsinC

sinA∶sinB∶sinC

A為銳角

A為鈍角或直角圖形

關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解思考辨析

√√√思考辨析

×××返回題號答案解析1234DBC2

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題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形

解析思維升華題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思維升華

題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思維升華

題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思維升華

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.

題型二利用正、余弦定理判

定三角形的形狀例2在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；解析思維升華題型二利用正、余弦定理判

定三角形的形狀解析思維升華

例2在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；題型二利用正、余弦定理判

定三角形的形狀解析思維升華例2在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大?。贿吔寝D(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理.解析思維升華

解析思維升華

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三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其解析思維升華

是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.

所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形.答案

A

題型三和三角形面積有關(guān)的問題

解析思維升華解析思維升華

解析思維升華

解析思維升華

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.解析思維升華

答案

B易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.易錯分析規(guī)范解答溫馨提醒易錯分析溫馨提醒(1)從兩個角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形；(2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個可能為0的式子，導(dǎo)致漏解；(3)結(jié)論表述不規(guī)范.易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答解

∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.易錯分析溫馨提醒易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答4分

方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.易錯分析溫馨提醒易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答8分

易錯分析溫馨提醒易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答12分

易錯分析溫馨提醒易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.易錯分析溫馨提醒易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答12分

(1)判斷三角形形狀要對所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進(jìn)行判斷；(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況.易錯分析溫馨提醒易錯警示系列6三角變換不等價致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.返回規(guī)范解答方法與技巧

2.正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以進(jìn)行化簡或證明.3.在解三角形或判斷三角形形狀時，要注意三角函數(shù)值的符號和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解.失誤與防范1.在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論.2.利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制.返回2345678910123456789101B34567891012

C

24567891013A23567891014

23567891014

23467891015

23467891015

2345789101623456891017

4或523456910178

23456781019

23456781019

23456789110

解

(1)由

＝2得c·acosB＝2.23456789110

因?yàn)閍>c，所以a＝3，c＝2.23456789110(2)cos(B－C)的值.解在△ABC中，因?yàn)閍＝