黑龍江省大慶重點中學2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（含答案）

大慶重點中學2022級高（二）上學期期中考試數(shù)學試題一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.2.數(shù)列滿足，則“”是“為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.某校高一年級有女生504人，男生596人.學校想通過抽樣的方法估計高一年級全體學生的平均體重，從高一女生和男生中隨機抽取50人和60人，經(jīng)計算這50個女生的平均體重為49，60個男生的平均體重為57，依據(jù)以上條件，估計該校高一年級全體學生的平均體重最合理的計算方法為（）A.B.C.D.4.點到雙曲線的一條浙近線的距離為（）A.4B.3C.5D.5.“拋擲一顆骰子，結果向上的點數(shù)小于3”記為事件A，“拋擲一顆骰子，結果向上的點數(shù)大于1且小于5”記為事件B，則（）A.事件A，B互斥B.事件A，B對立C.事件A，B相互獨立D.事件A與不相互獨立6.圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構成的數(shù)列為，則（）A.25B.24C.5D.47.已知是雙曲線的左?右焦點，的右支上存在一點滿足與的左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為（）A.3B.C.D.8.已知平面上兩定點，則所有滿足且的點的軌跡是一個圓心在上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為（）A.B.C.D.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.下列說法錯誤的是（）A.過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為B.“"是直線與直線互相垂直的充要條件C.若直線的一個方向向量是，則直線的斜率為D.過兩點的直線的方程都可以表示為10.袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球.記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（）A.可能取到數(shù)字4B.中位數(shù)可能是2C.極差可能是4D.眾數(shù)可能是211.已知是橢圓上任意一點，是圓上任意一點，，分別是橢圓的左右焦點，為橢圓的下頂點，則（）A.使為直角三角形的點共有4個B.的最大值為4C.若為鈍角，則點的橫坐標的取值范圍為D.當最大時，12.拋物線的焦點為為其上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，點，下列結論正確的是（）A.拋物線的方程為B.的最小值為4C.當直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切D.存在直線，使得兩點關于對稱三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.對于事件與事件，已知，如果，則__________.14.拋物線的準線方程是__________.15.已知動直線和是兩直線的交點，是兩直線和分別過的定點，則的最大值為__________.16.以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，若，則直線的斜率為__________.四?解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設的內(nèi)角的對邊分別為，且為銳角，，求的周長.18.已知雙曲線的離心率為，且右焦點F與拋物線的焦點相同.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過點F的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點，且，求直線l的方程.19.某班進行了一次數(shù)學測試，并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中m的值；（2）計算這次測試成績的第70百分位數(shù)；（3）在測試成績位于區(qū)間和的學生中，采用分層抽樣，確定了6人，若從這6人中隨機抽取2人向全班同學介紹自己的學習經(jīng)驗，設事件A=“抽取的兩人的測試成績分別位于和”，求事件的概率20.如圖，多面體中，平面，且，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.21.已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸的正半軸上，過點的直線與拋物線相交于?兩點，且滿足（1）求拋物線的方程；（2）若是拋物線上的動點，點?在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值.22.已知橢圓短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，過點的直線交橢圓于兩點，再過點A作斜率為的直線交橢圓于點，問直線與直線的交點是否為定點？若是，求出這個定點；若不是，請說明理由.大慶重點中學2022級高（二）上學期期中考試數(shù)學參考答案一?單項選擇題1.B2.A3.D4.B5.C6.C7.C8.C二?多項選擇題9.ABD10.BD11.CD12.BCD三?填空題13.14.15.16.三?解答題17.（1）∵函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因為，所以，因為，所以，所以，即，因為，根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可得，解得，（舍去負值），所以的周長.18.（1）拋物線的焦點為，可得，則；由，可得，由得，故雙曲線的標準方程為；（2）當直線垂直于軸時，，不合題意；當直線不垂直于軸時，可設過雙曲線右焦點的直線，且與雙曲線的交點為，，由可得，則，因為焦點在雙曲線的內(nèi)部，則直線斜率存在且時，直線與雙曲線必有兩交點，，則，則，解得，即直線的方程為或.19.（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.（2）因為大于第70百分位數(shù)的頻率為0.3，測試成績位于的頻率，位于的頻率，故第70百分位數(shù)位于，設為.則，解得，即第70百分位數(shù)為（3）測試成績位于的頻率，位于的頻率，因為，所以確定的6人中成績在內(nèi)的有4人，分別記為，成績在內(nèi)的有2人，分別記為，從6人中隨機抽取2人的樣本空間：共有15個樣本點，其中，即，所以概率為.20.（1）由題意，取CA的中點N，連接MN，BN，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，得，又平面，平面，所以平面；（2）分別取AB?EF的中點O?D，連接OD，OC，則，由平面，得平面，則，又為正三角形，所以，因為平面，平面，得，而平面，所以平面，故OC?OA?OD兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，則，得，設平面的一個法向量為，則，令，得，得，設ME與平面所成角為，，則，所以，故ME與平面所成角為.21.【詳解】（1）由題意，設拋物線的方程為（），則焦點的坐標為.設直線的方程為，，，聯(lián)立方程得，消去得，，所以，，，因為，所以故拋物線的方程為.（2）設（），，，易知點?的橫坐標與的橫坐標均不相同.不妨設.易得直線的方程為化簡得，又圓心到直線的距離為1，所以，所以，不難發(fā)現(xiàn)，故上式可化為，同理可得，所以?可以看作是的兩個實數(shù)根，則，，所以因為是拋物線上的點，所以，則，又，所以，從而當且僅當時取得等號，此