變力做功的計(jì)算分析

變力做功的計(jì)算公式適用于恒力功的計(jì)算，對(duì)于變力做功的計(jì)算，一般有以下幾種方法。一、微元法對(duì)于變力做功，不能直接用進(jìn)行計(jì)算，但是我們可以把運(yùn)動(dòng)過程分成很多小段，每一小段內(nèi)可認(rèn)為F是恒力，用求出每一小段內(nèi)力F所做的功，然后累加起來就得到整個(gè)過程中變力所做的功。這種處理問題的方法稱為微元法，這種方法具有普遍的適用性。但在高中階段主要用于解決大小不變、方向總與運(yùn)動(dòng)方向相同或相反的變力的做功問題。例1.用水平拉力，拉著滑塊沿半徑為R的水平圓軌道運(yùn)動(dòng)一周，如圖1所示，已知物塊的質(zhì)量為m，物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。求此過程中摩擦力所做的功。圖1思路點(diǎn)撥：由題可知，物塊受的摩擦力在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中大小不變，方向時(shí)刻變化，是變力，不能直接用求解；但是我們可以把圓周分成無數(shù)小微元段，如圖2所示，每一小段可近似成直線，從而摩擦力在每一小段上的方向可認(rèn)為不變，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起來，便可求得結(jié)果。圖2正確解答：把圓軌道分成無窮多個(gè)微元段，摩擦力在每一段上可認(rèn)為是恒力，則每一段上摩擦力做的功分別為，，…，，摩擦力在一周內(nèi)所做的功。誤點(diǎn)警示：對(duì)于此題，若不加分析死套功的公式，誤認(rèn)為位移s＝0，得到W＝0，這是錯(cuò)誤的。必須注意本題中的F是變力。小結(jié)點(diǎn)評(píng)：對(duì)于變力做功，一般不能用功的公式直接進(jìn)行計(jì)算，但有時(shí)可以根據(jù)變力的特點(diǎn)變通使用功的公式。如力的大小不變而方向總與運(yùn)動(dòng)方向相同或相反時(shí)，可用計(jì)算該力的功，但式子中的s不是物體運(yùn)動(dòng)的位移，而是物體運(yùn)動(dòng)的路程。［發(fā)散演習(xí)］如圖3所示，某個(gè)力F＝10N作用于半徑R＝1m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向任何時(shí)刻與作用點(diǎn)處的切線方向保持一致。則轉(zhuǎn)動(dòng)半圓，這個(gè)力F做功多少？圖3答案：31.4J。二、圖象法在直角坐標(biāo)系中，用縱坐標(biāo)表示作用在物體上的力F，橫坐標(biāo)表示物體在力的方向上的位移s。如果作用在物體上的力是恒力，則其F－s圖象如圖4所示。經(jīng)過一段時(shí)間物體發(fā)生的位移為s0，則圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積（陰影面積）在數(shù)值上等于力對(duì)物體做的功W＝Fs，s軸上方的面積表示力對(duì)物體做正功（如圖4（a）所示），s軸下方的面積表示力對(duì)物體做負(fù)功（如圖4（b）所示）。圖4如果F－s圖象是一條曲線（如圖5所示），表示力的大小隨位移不斷變化，在曲線下方作階梯形折線，則折線下方每個(gè)小矩形面積分別表示相應(yīng)恒力做的功。當(dāng)階梯折線越分越密時(shí)，這些小矩形的總面積越趨近于曲線下方的總面積，可見曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積在數(shù)值上等于變力所做的功。由于F－s圖象可以計(jì)算功，因此F－s圖象又稱為示功圖。圖5例2.子彈以速度射入墻壁，入射深度為h。若子彈在墻中受到的阻力與深度成正比，欲使子彈的入射深度為2h，求子彈的速度應(yīng)增大到多少？思路點(diǎn)撥：阻力隨深度的變化圖象如圖6所示，由圖象求出子彈克服阻力做的功，再由動(dòng)能進(jìn)行求解。圖6正確解答：解法一：設(shè)射入深度為h時(shí)，子彈克服阻力做功W1；射入深度為2h時(shí)，子彈克服阻力做功W2。由圖6可知①根據(jù)動(dòng)能定理，子彈減少的動(dòng)能用于克服阻力做功，有②③①②③聯(lián)立求解得。解法二：設(shè)阻力與深度間的比例系數(shù)為k，F(xiàn)f＝ks。由于Ff隨位移是線性變化的，所以Ff的平均值為。根據(jù)動(dòng)能定理，有①②①②聯(lián)立求解得。小結(jié)點(diǎn)評(píng)：若力隨位移按一次方函數(shù)關(guān)系變化時(shí)，求功時(shí)可用平均作用力來代替這個(gè)變力，用恒力功的公式求功，也可用F－s圖象求功；若力隨位移的變化不是一次函數(shù)關(guān)系，則可用圖象求功，而不能用平均值求功。［發(fā)散練習(xí)］1.如圖7所示，有一勁度系數(shù)k＝500N/m的輕彈簧，左端固定在墻壁上，右端緊靠一質(zhì)量m＝2kg的物塊，物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，彈簧處于自然狀態(tài)?，F(xiàn)緩慢推動(dòng)物塊使彈簧從B到A處壓縮10cm，然后由靜止釋放物塊，求（1）彈簧恢復(fù)原長時(shí)，物塊的動(dòng)能為多大？（2）在彈簧恢復(fù)原長的過程中，物塊的最大動(dòng)能為多大？圖7答案：（1）1.7J；（2）1.764J。提示：（1）從A到B的過程，對(duì)物體應(yīng)用動(dòng)能定理得，其中。W彈可利用示功圖求出，畫出彈簧彈力隨位移變化的圖象（如圖8所示）F1＝kx1，彈力做功的值等于△OAB的面積，即，所以。圖8（2）放開物體后，物體做的是加速度越來越小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧的彈力等于摩擦力時(shí)，物體有最大的動(dòng)能。設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為。由得。物體的位移。在這一過程中彈力的功在數(shù)值上等于圖8中梯形OADC的面積，即，所以物塊的最大動(dòng)能為。2.用質(zhì)量為5kg的均勻鐵索從10m深的井中吊起一質(zhì)量為20kg的物體，在這個(gè)過程中至少要做多少功？（g取10m/s2）答案：2250J提示：作用在物體和鐵索上的力至少應(yīng)等于物體和鐵索的重力，但在拉起鐵索的過程中，鐵索長度逐漸縮短，因此拉力也逐漸減小，即拉力是一個(gè)隨距離變化的變力。從物體在井底開始算起，拉力隨深度h的變化關(guān)系是（0≤h≤10），作出F－h(huán)圖線如圖9所示，利用示功圖求解拉力的功（可用圖中梯形面積表示），得出。圖93.一輛汽車質(zhì)量為1×105kg，從靜止開始運(yùn)動(dòng)，其阻力為車重的0.05倍。其牽引力的大小與車前進(jìn)的距離是線性關(guān)系，且，是車所受阻力，當(dāng)該車前進(jìn)100m時(shí)，牽引力做了多少功？答案：1×107J。提示：阻力。則牽引力為。作出F－s圖象如圖10所示，圖中梯形OABD的面積表示牽引力的功，所以。圖10三、利用W＝Pt求變力做功這是一種等效代換的觀點(diǎn)，用W＝Pt計(jì)算功時(shí)，必須滿足變力的功率是一定的。例3.汽車的質(zhì)量為m，輸出功率恒為P，沿平直公路前進(jìn)距離s的過程中，其速度由v1增至最大速度。假定汽車在運(yùn)動(dòng)過程中所受阻力恒定，則汽車通過距離s所用的時(shí)間為_____________。思路點(diǎn)撥：汽車以恒定的功率P加速時(shí)，由P＝Fv可知，牽引力逐漸減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F＝Ff時(shí)，加速度減小到零，速度達(dá)到最大，然后以最大的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。正確解答：當(dāng)F＝Ff時(shí)，汽車的速度達(dá)到最大v2，由可得

①對(duì)汽車，根據(jù)動(dòng)能定理，有②①②兩式聯(lián)立得。誤點(diǎn)警示：有同學(xué)可能這樣解：平均速度，時(shí)間。這樣解是錯(cuò)誤的，因?yàn)槠嚨倪\(yùn)動(dòng)不是勻加速運(yùn)動(dòng)，不能用求平均速度。小結(jié)點(diǎn)評(píng)：汽車以恒定的功率起動(dòng)時(shí)，牽引力是變力，牽引力的功不能用W＝Fs計(jì)算，但可以用W＝Pt計(jì)算；若用求牽引力的功也是錯(cuò)誤的，因?yàn)闋恳﹄S位移的變化不是線性關(guān)系，不能用求平均牽引力。［發(fā)散演習(xí)］質(zhì)量為m的汽車在平直的公路上從速度v0開始加速行駛，經(jīng)過一段時(shí)間t后，前進(jìn)了距離s，此時(shí)恰好達(dá)到其最大速度，設(shè)此過程中汽車發(fā)動(dòng)機(jī)始終以額定功率P工作，汽車所受的阻力為恒力Ff，則這段時(shí)間里，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為（）A.

B.

C.

D.

答案：A、B提示：發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功即為發(fā)動(dòng)機(jī)牽引力做的功，由功率定義可知W＝Pt，選項(xiàng)B正確。汽車以恒定功率起動(dòng)，當(dāng)F＝Ff時(shí)，達(dá)到最大速度，應(yīng)有，所以t，選項(xiàng)A正確。選項(xiàng)C、D均將汽車的運(yùn)動(dòng)看作勻變速運(yùn)動(dòng)，其中選項(xiàng)C是先求出a，再求出合外力ma的功，選項(xiàng)D是先算出平均速度，然后用表示發(fā)動(dòng)機(jī)做的功，顯然都是錯(cuò)誤的，因?yàn)闄C(jī)車的運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)而不是勻變速運(yùn)動(dòng)。四、利用功能關(guān)系求變力功求變力所做的功，往往根據(jù)動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律和功能關(guān)系等規(guī)律，用能量的變化量等效代換變力所做的功。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不考慮變力做功過程中力的大小及方向的細(xì)節(jié)，只考慮變力做功的效果??能量變化，解題過程簡捷，是求變力功的首選方法。例4.如圖11所示，質(zhì)量m＝2kg的小球系在輕細(xì)橡皮條一端，另一端固定在懸點(diǎn)O處。將橡皮條拉直至水平位置OA處（橡皮條無形變）然后將小球由A處靜止釋放，小球到達(dá)O點(diǎn)正下方h＝0.5m處的B點(diǎn)時(shí)的速度為v＝2m/s。求小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中橡皮條的彈力對(duì)小球所做的功。取g＝10m/s2。圖11思路點(diǎn)撥：取小球、橡皮條和地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，只有系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈力做功，機(jī)械能守恒。正確解答：取過B點(diǎn)的水平面為零重力勢能參考平面，橡皮條為原長時(shí)的彈性勢能為零。設(shè)在B時(shí)橡皮條的彈性勢能為Ep2，由機(jī)械能守恒定律得則橡皮條的彈性勢能增加6J，則小球的機(jī)械能必減少6J，故橡皮條的彈力對(duì)小球做功－6J。小結(jié)點(diǎn)評(píng)：彈簧或橡皮條的彈力是變力，求此類彈力做功可用機(jī)械能守恒定律結(jié)合彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系。［發(fā)散演習(xí)］1.將一質(zhì)量為m的物體以初速度v0豎直向上拋出，落回拋出點(diǎn)時(shí)的速度為v，已知空氣阻力與速率成正比，則從拋出到落回拋出點(diǎn)的整個(gè)過程中，空氣阻力做的功為__________。答案：。提示：對(duì)整個(gè)過程應(yīng)用動(dòng)能定理。2.如圖12所示，物體沿曲面從A點(diǎn)無初速度滑下，滑至曲面的最低點(diǎn)B時(shí)，下滑的高度為5m，速度為6m/s。若物體的質(zhì)量為1kg。則下滑過程中物體克服阻力所做的功為多少？圖12答案：根據(jù)動(dòng)能定理可得。

五、利用動(dòng)能定理求變力功6．質(zhì)量為m的小球被系在輕繩的一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中小球受到空氣阻力的作用。設(shè)某一時(shí)刻小球通過軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg，此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周恰能通過最高點(diǎn)，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為（）A．mgRB．mgRC．mgRD．mgR5．某消防隊(duì)員從一平臺(tái)跳下，下落2m后雙腳觸地，接著他用雙腿彎曲的方法緩沖，使自身重心又下降了0.5m。在著地過程中，地面對(duì)他雙腿的平均作用力是他自身重力的（）A．2倍；B．5倍；C．8倍；D．10倍4．如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，拉力為某個(gè)值F時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到時(shí)，物體以另一線速度仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為2R，則物體克服外力所做的功是(

)

A．0B．C．D．2．如圖所示，AB為1/4圓弧軌道，BC為水平直軌道，圓弧的半徑為R，BC的長度也是R，一質(zhì)量為m的物體，與兩個(gè)軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為，當(dāng)它由