數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)（精選5篇）作為一名教職工，可能需要進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)編寫(xiě)工作，教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)系統(tǒng)化規(guī)劃教學(xué)系統(tǒng)的過(guò)程。那要怎么寫(xiě)好教學(xué)設(shè)計(jì)呢？以下是小編幫大家整理的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)（精選5篇），歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)1一、教材分析數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要的地位，其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要。本課是數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課，前面學(xué)生對(duì)等差數(shù)列、數(shù)列求和、二項(xiàng)式定理等知識(shí)有較全面的把握和較深入的理解，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，這是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法——數(shù)學(xué)歸納法，這是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展到無(wú)限思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，同時(shí)本節(jié)內(nèi)容又是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力、訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材。二、教學(xué)目標(biāo)學(xué)生通過(guò)數(shù)列等相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)基本掌握了不完全歸納法，已經(jīng)由一定的觀察、歸納、猜想能力。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和教學(xué)大綱，結(jié)合學(xué)生實(shí)際而制定以下教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)目標(biāo)（1）了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確。（2）初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）能以遞推思想為指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論。（4）會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)相關(guān)的簡(jiǎn)單的恒等式。2．能力目標(biāo)（1）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。（2）在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)和數(shù)學(xué)交流的能力。3．情感目標(biāo)（1）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，親歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和辨正唯物主義觀點(diǎn)。（2）體驗(yàn)探索中挫折的艱辛和成功的快樂(lè)，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。（3）學(xué)生通過(guò)置疑與探究，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單恒等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用。2．教學(xué)難點(diǎn)（1）如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性和有效性。（2）遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)時(shí)結(jié)論正確。四、教學(xué)方法本節(jié)課采用交往性教學(xué)方法，以學(xué)生及其發(fā)展為本，一切從學(xué)生出發(fā)。在教師組織啟發(fā)下，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望。師生之間、學(xué)生之間共同探究多米諾骨牌倒下的原理，并類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數(shù)學(xué)歸納法的原理、步驟；培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比推理的能力，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，證明一些與正整數(shù)n有關(guān)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題；提高學(xué)生的應(yīng)用能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。既重視教師的組織引導(dǎo)，又強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性、主動(dòng)性、交流性和合作性。五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題情境一：根據(jù)觀察某學(xué)校第一個(gè)到校的女同學(xué)，第二個(gè)到校的也是女同學(xué)，第三個(gè)到校的還是女同學(xué)，于是得出：這所學(xué)校的學(xué)生全部是女同學(xué)。情境二：平面內(nèi)三角形內(nèi)角和是，四邊形內(nèi)角和是，五邊形內(nèi)角和是，于是得出：凸邊形內(nèi)角和是。情境三：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可以求得，，，，于是猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為。結(jié)論：運(yùn)用有限多個(gè)特殊事例得出的一般性結(jié)論，即不完全歸納法不一定正確。因此它不能作為一種論證的方法。提出問(wèn)題：如何尋找一個(gè)科學(xué)有效的方法證明結(jié)論的正確性呢？我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法就是解決這一問(wèn)題的方法之一。（二）實(shí)驗(yàn)演示，探索解決問(wèn)題的方法1．幾何畫(huà)板演示動(dòng)畫(huà)多米諾骨牌游戲，師生共同探討：要讓這些骨牌全部倒下，必須具備那些條件呢？（學(xué)生可以討論，加以教師點(diǎn)撥）①第一塊骨牌必須倒下。②兩塊連續(xù)的骨牌，當(dāng)前一塊倒下，后面一塊必須倒下。（啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：當(dāng)?shù)趬K倒下，則第塊必須倒下）教師總結(jié)：數(shù)學(xué)歸納法的原理就如同多米諾骨牌一樣。2．學(xué)生類比多米諾骨牌原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法，從而導(dǎo)出本課的重心：數(shù)學(xué)歸納法的原理及其證明的兩個(gè)步驟。（給學(xué)生思考的時(shí)間，教師提問(wèn)，學(xué)生回答，教師補(bǔ)充完善，對(duì)學(xué)生的回答給予肯定和鼓勵(lì)）數(shù)學(xué)歸納法公理：（板書(shū)）（1）（遞推基礎(chǔ)）當(dāng)取第一個(gè)值（例如等）結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）那么，命題對(duì)于從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立。教師總結(jié)：步驟（1）是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)，步驟（2）建立了遞推過(guò)程，兩者缺一不可，這就是數(shù)學(xué)歸納法。（三）遷移應(yīng)用，理解升華例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列中，為首項(xiàng)，為公差，則通項(xiàng)公式為.①選題意圖：讓學(xué)生注意：①數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題；②兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不成立；③在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，必須進(jìn)行恒等變換。此時(shí)學(xué)生心中已有一個(gè)初步的證明模式，教師應(yīng)該規(guī)范板書(shū)，給學(xué)生提供一個(gè)示范。證明：（1）當(dāng)時(shí)，等式左邊，等式右邊，等式①成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式①成立，即有那么，當(dāng)時(shí)，有所以當(dāng)時(shí)等式①也成立。根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任何，等式①都成立。例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)選題意圖：通過(guò)師生共同活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論。例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)選題意圖：①進(jìn)一步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性，從而從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)；②掌握從到時(shí)等式左邊的變化情況，合理的進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)、合并項(xiàng)等。（四）反饋練習(xí)，鞏固提高課堂練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)（練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立完成，上黑板板演，要求書(shū)寫(xiě)工整，步驟完整，表述清楚，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生證明過(guò)程中的錯(cuò)誤，教師及時(shí)糾正、剖析，同時(shí)對(duì)學(xué)生板演好的方面予以肯定和鼓勵(lì)。）教師總結(jié)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意以下三句話：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。（五）反思總結(jié)學(xué)生思考后，教師提問(wèn)，讓同學(xué)相互補(bǔ)充完善，教師最后總結(jié)，這一環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)生抽象、歸納、概括、總結(jié)的能力，同時(shí)教師也可以及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況，以便彌補(bǔ)和及時(shí)調(diào)整下節(jié)課的教學(xué)方向。小結(jié)：（1）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明；（2）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)n有關(guān)數(shù)學(xué)命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過(guò)程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可；（3）遞推歸納時(shí)從到，必須用到歸納假設(shè)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q。（六）作業(yè)布置選修2－2習(xí)題2.3第1題第2題數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)2一、關(guān)于教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)：根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的作用、地位以及學(xué)生的具體情況，我把這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)分為以下三個(gè)子目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的恒等式。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、論證能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力。情感目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)一種愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能。在情感目標(biāo)的設(shè)計(jì)上我頗費(fèi)一番心思。因?yàn)榍楦心繕?biāo)是無(wú)法定量評(píng)價(jià)的，對(duì)情感目標(biāo)的考察是一個(gè)綜合多方面情況的長(zhǎng)期的過(guò)程。究竟一堂課是否達(dá)到了它應(yīng)給予的情感體驗(yàn)，別說(shuō)評(píng)價(jià)者，就是作為教學(xué)對(duì)象的學(xué)生本身，也不會(huì)像學(xué)會(huì)公式、定理的應(yīng)用那樣，明確自己所得。所以，情感目標(biāo)就很容易變成一種擺設(shè)，甚至只是教案上的一種點(diǎn)綴，在教學(xué)過(guò)程中被置于從屬或可有可無(wú)的地位。然而，當(dāng)前我國(guó)的教改的實(shí)踐主要是素質(zhì)教育，究其本質(zhì)是對(duì)完整健全人格的追求與培養(yǎng)，即強(qiáng)調(diào)教育的人文精神，凸現(xiàn)教育主體的人格特征。我們的教學(xué)對(duì)象不僅是一個(gè)被動(dòng)的認(rèn)知體，更重要、更本質(zhì)的是活生生的生命體。因此我們?cè)谡n堂教學(xué)中必須確立這種人文觀，明確情感目標(biāo)確立的重要性，由傳授知識(shí)向情感培養(yǎng)延伸。數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)內(nèi)容有其獨(dú)特性，我通過(guò)講小故事、學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[多米諾骨牌游戲、做評(píng)判者為別人糾錯(cuò)等手段創(chuàng)設(shè)一種愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，力爭(zhēng)做到提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能。二、關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析及教學(xué)重、難點(diǎn)的設(shè)計(jì)學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了用歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，但其正確性還有待用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因此數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識(shí)的深入與擴(kuò)展。它既是高中代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列求通項(xiàng)時(shí)，也已經(jīng)具備一定的歸納、猜測(cè)能力，多數(shù)同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但在探究問(wèn)題的能力、合作交流的意識(shí)等方面發(fā)展不夠均衡，尚有侍加強(qiáng)。為了避免機(jī)械套用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟，造成學(xué)生思維的墮性及僵化，因而我把分析數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)，考慮學(xué)生對(duì)第二步中的遞推思想感到困難，因此把正確理解第二步中的遞推思想作為難點(diǎn)。三、教學(xué)過(guò)程反思：1)課開(kāi)始，情趣生；數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，新課引入之前，為讓學(xué)生懂得不完全歸納法的不完備性，明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的重要性及喚起學(xué)習(xí)的熱情，我先講了一則民間小故事：地主兒子識(shí)字。大意是：地主花重金請(qǐng)了一名先生教兒子識(shí)字，第一天學(xué)了“一”，第二天學(xué)了“二”，之后，地主兒子想：“一”是一橫，“二”是二橫，那“三”肯定是三橫，第三天果不其然是三橫，于是地主兒子對(duì)地主說(shuō)：不必學(xué)了，很簡(jiǎn)單，已經(jīng)全會(huì)了。地主大喜，為吹噓兒子聰明，大擺宴席。席間，一鄉(xiāng)紳想討好地主，就說(shuō)讓地主兒子給他寫(xiě)個(gè)名帖，沒(méi)想到這讓地主兒子出盡了洋相，因?yàn)槟俏秽l(xiāng)紳的名字叫“萬(wàn)百千”。講到這里學(xué)生大笑，笑聲中明確了，不完全歸納法是不可靠的，同時(shí)激起對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法”的廬山真面目的好奇，渴望一探究竟。教師通過(guò)故事渲染氣氛，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，消除潛在的心理負(fù)擔(dān)，使教與學(xué)有良好的匹配。2)課進(jìn)行，情趣濃；新課是從讓學(xué)生玩多米諾骨牌游戲開(kāi)始的。我準(zhǔn)備了一些軍棋子，讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[放，并完成游戲。然后提出問(wèn)題：多米諾骨牌游戲成功對(duì)骨牌的擺放與操作有什么要求？學(xué)生思考討論，得出多米諾骨牌游戲成功依賴兩個(gè)條件第一步：第一張牌被推倒，第二步：假若前一張牌被推倒，則后一張牌被推倒。其中第二步用到的就是遞推關(guān)系，如此通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦，及動(dòng)畫(huà)演示等形象展示遞推關(guān)系，為教學(xué)難點(diǎn)突破提供直觀的的參照物，作感性上的突變，從而分解數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)難點(diǎn)。然后適時(shí)給出數(shù)學(xué)歸納法的定義及步驟。由于學(xué)生始終走在一條充滿輕松、愉悅的學(xué)習(xí)道路上，歸納原理很容易被學(xué)生所接受。例題的證明過(guò)程中，在第二題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明中，學(xué)生在證n=k+1命題成立這步時(shí)出現(xiàn)利用結(jié)論證結(jié)論，不用歸納假設(shè)的問(wèn)題。這也是數(shù)學(xué)歸納法中最常見(jiàn)的問(wèn)題。于是，我再一次結(jié)合多米諾骨牌游戲，明確第k+1張骨牌是要被第k張骨牌推倒，才是符合游戲規(guī)則的。因而在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明中，一定做到讓歸納假設(shè)“粉墨登場(chǎng)”，有它的參與證得的n=k+1時(shí)的成立才建立了遞推關(guān)系即邏輯推理鏈，實(shí)現(xiàn)了在驗(yàn)證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,利用命題本身具有傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段來(lái)解決“無(wú)限”的問(wèn)題。緊接著，我設(shè)計(jì)了兩個(gè)糾錯(cuò)的題，a)小明認(rèn)為下面的一個(gè)結(jié)論是正確的,且給出了證明,你認(rèn)為這里有無(wú)錯(cuò)誤呢?1+3+5+……+(2n-1)=n2+1（n∈N）證明:假設(shè)n=k(k∈N,k≥1)時(shí)等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2+1，當(dāng)n=k+1時(shí)由假設(shè)得：1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)=k2+1+2k+1=(k+1)2+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立?？芍瑢?duì)n∈N，原等式都成立。b)用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N）.下面是小強(qiáng)同學(xué)的證法,你認(rèn)為他做得對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立。②假設(shè)n=k(k∈N,k≥1)時(shí)等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2，當(dāng)n=k+1時(shí)由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得：1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2，所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。由①和②可知，對(duì)n∈N，原等式都成立。這樣安排的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)3）課結(jié)束，情趣存這節(jié)課的小結(jié)是以“提出問(wèn)題”的方式進(jìn)行的，我設(shè)計(jì)以下問(wèn)題并和學(xué)生共同討論回答。I.數(shù)學(xué)歸納法是怎樣運(yùn)作的？（在驗(yàn)證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,證明命題據(jù)有傳遞性,形成了邏輯推理鏈，以一次邏輯的推理代替了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程.）II.數(shù)學(xué)歸納法適用于證明什么樣的的命題?（數(shù)學(xué)歸納法適用于證明：和正整數(shù)有關(guān)的命題。）III.數(shù)學(xué)歸納法基本思想是什么？（在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運(yùn)用“有限”的手段來(lái)解決“無(wú)限”的問(wèn)題。）IV.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題所依據(jù)的自然數(shù)的性質(zhì)是什么？（自然數(shù)集的任一非空子集都有最小數(shù)。）V.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)要注意什么？（遞推基礎(chǔ)要打牢,遞推依據(jù)不能少,歸納假設(shè)要用到。）由于這些問(wèn)題都是關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)及原理的內(nèi)容，對(duì)初次接觸數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生來(lái)說(shuō)，回答起來(lái)比較困難。為此我在課件的處理上運(yùn)用了漫畫(huà)的手法，設(shè)計(jì)這樣一個(gè)場(chǎng)景：將這些問(wèn)題由一名兒童提出來(lái)的，旁邊坐著他的老師，他在向老師求教。這樣，就把我的學(xué)生置身于旁觀者的角度，減輕了因接受提問(wèn)所帶來(lái)的壓力。而畫(huà)面上又是一個(gè)小孩子在向長(zhǎng)者求教，這使得學(xué)生潛意識(shí)里增強(qiáng)一種自信，認(rèn)為小孩子的問(wèn)題終歸會(huì)知道一二的。于是熱情并渴望表現(xiàn)的學(xué)生們便積極展示觀點(diǎn)、暢所欲言。我這樣做的目的是希望了解學(xué)生經(jīng)過(guò)這堂課的學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理和實(shí)質(zhì)究竟有怎樣的認(rèn)識(shí)，哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的，還有哪些是需要接下來(lái)課程中補(bǔ)足的。對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，我會(huì)立即幫助糾正。而對(duì)正確的，即便現(xiàn)在還很朦朧我也并不急于點(diǎn)破主題，讓學(xué)生在接下來(lái)的“數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用”的課上再加深認(rèn)識(shí)，進(jìn)行自我完善。我相信：已經(jīng)除去雜草的莊稼，必定會(huì)茁壯成長(zhǎng)的。然而，從這堂課的實(shí)踐結(jié)果上看，這個(gè)環(huán)節(jié)并不是想象中這樣理想，原因有兩方面，一個(gè)使我有些急，怕時(shí)間不夠而沒(méi)有放開(kāi)讓學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)，越俎代庖。另外一個(gè)就是學(xué)生也拘泥于是一堂錄像課，吃不準(zhǔn)的觀點(diǎn)便不像平時(shí)那樣毫無(wú)顧忌的說(shuō)出來(lái)。這也是促使我著急的一個(gè)原因。沒(méi)想到，最后還剩余了一點(diǎn)時(shí)間，只好做做練習(xí)。總之，在這點(diǎn)上我還需要再進(jìn)一步研究并改善。數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)3一、引入新課師：四邊形、五邊形、六邊形分別有多少條對(duì)角線?你是怎樣考慮的?[提出問(wèn)題，讓學(xué)生在解答的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.]生：四邊形、五邊形、六邊形分別有兩條對(duì)角線，五條對(duì)角線和九條對(duì)角線，以六邊形為例，每個(gè)頂點(diǎn)可引3條對(duì)角線，六個(gè)頂點(diǎn)可引18條對(duì)角線，但因每條對(duì)角線都計(jì)算了兩次，所以六邊形實(shí)際有9條對(duì)角線.師：n邊形(n≥4)有多少條對(duì)角線?為什么?[由特例到一般問(wèn)題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程.]生：n邊形有條對(duì)角線，因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)可引n-3條對(duì)角線，所以n個(gè)頂點(diǎn)可引n(n-3)條，但每條對(duì)角線都計(jì)算了兩次，故n邊形實(shí)際有條對(duì)角線.師：這一公式適合四邊形、五邊形、六邊形嗎?[由一般再回到特殊，特例的正確性提高了學(xué)生探索問(wèn)題的積極性，增強(qiáng)了猜想的信心.]生：適合.師：觀察等差數(shù)列的前幾項(xiàng)：a1=a1+0da2=a1+1da3=a1+2da4=a1+3d你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?試用a1，n和d表示an.生：an=a1+(n-1)d師：像這種由一系列特殊事例得到一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法，用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但是，由歸納法得出的一般結(jié)論并不一定可靠.例如，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=(n2-5n+5)2請(qǐng)算出a1，a2，a3，a4你能得到什么結(jié)論?生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1可知an=1師：由an=(n2-5n+5)2計(jì)算a5.[由a5=25≠1，否定了學(xué)生的猜想，舉出反例是否定命題正確性的簡(jiǎn)單而基本的方法.]師：由歸納法得到的一般結(jié)論是不一定可靠的.法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾由n=0，1，2，3，4得到+1均為質(zhì)數(shù)而推測(cè)：n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，+1都是質(zhì)數(shù)，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的.因?yàn)閿?shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，n=5時(shí)+1是一個(gè)合數(shù)：+1=4294967297=641×6700417.[數(shù)學(xué)史例使學(xué)生興趣盎然，學(xué)習(xí)積極性大為提高，至此，歸納法作為一種發(fā)現(xiàn)規(guī)律的推理方法的數(shù)學(xué)已告結(jié)束.]師：既然由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠，那么，就必須想辦法對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行證明，對(duì)于由歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)，能否通過(guò)一一驗(yàn)證的辦法來(lái)加以證明呢?生：不能.因?yàn)檫@類命題中所涉及的自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)，所以無(wú)法一個(gè)一個(gè)加以驗(yàn)證.[新問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考：既然對(duì)于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正確性無(wú)法一一驗(yàn)證，那么如何證明P(n)(n≥n0)的正確性呢?至此，數(shù)學(xué)歸納法的引入水到渠成.]二、新課師：我們將采用遞推的辦法解決這個(gè)問(wèn)題.同學(xué)們?cè)陔娨曋锌赡芸吹竭^(guò)“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推到第一塊骨牌，第二塊就會(huì)自己倒下，接著第三塊就會(huì)倒下，第四塊也會(huì)倒下……如此傳遞下去，所有的骨牌都會(huì)倒下，這種傳遞相推的方法，就是遞推.從一個(gè)袋子里第一次摸出的是一個(gè)白球，接著，如果我們有這樣的一個(gè)保證：“當(dāng)你第一次摸出的是白球，則下一次摸出的一定也是白球”，能否斷定這個(gè)袋子里裝的全是白球?生：能斷定.[為數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟提供具體生動(dòng)的模型，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì).]師：要研究關(guān)于自然數(shù)的命題P(n)，我們先來(lái)看自然數(shù)有什么性質(zhì)，自然數(shù)數(shù)列本身具有遞推性質(zhì)：第一個(gè)數(shù)是1，如果知道了一個(gè)數(shù)，就可以知道下一個(gè)數(shù).有了這兩條，所有自然數(shù)盡管無(wú)限多，但我們就可全部知道了.類似地，我們可采用下面的方法來(lái)證明有關(guān)連續(xù)自然數(shù)的命題P(n)，先驗(yàn)證n取第一個(gè)值n0時(shí)命題正確;再證明如果n=k(k≥n0)時(shí)命題正確，則n=k+1時(shí)命題正確，只要有了這兩條，就可斷定對(duì)從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)，命題正確，這就是數(shù)學(xué)歸納法的基本思想.[先通俗了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，對(duì)深刻理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)至關(guān)重要.]師：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)的步驟是：(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n0=1或n0=2等)時(shí)結(jié)論成立，即驗(yàn)證P(n0)正確;(2)假設(shè)n=k(k∈N，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論正確，即由P(k)正確P(k+1)正確由(1)和(2)，就可斷定命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n都正確.這兩步實(shí)質(zhì)上是證明P(n)的正確具有遞推性.(1)是遞推的始點(diǎn)(2)是遞推的依據(jù).步驟(1)是一次驗(yàn)證，步驟(2)是以一次邏輯推理代替了無(wú)限次驗(yàn)證過(guò)程.步驟(2)用的是演繹推理.由(1)與(2)可知，遞推的過(guò)程是：上述無(wú)窮“鏈條”一環(huán)扣一環(huán)，形象地說(shuō)明了用數(shù)學(xué)歸納法證明P(n)正確性的過(guò)程.[先明確步驟，然后在運(yùn)用中加深理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì).]師：用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d對(duì)一切n∈N都成立.(證明由學(xué)生完成，并得出)師：至此，對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的“觀察——猜想——證明”的研究結(jié)束，觀察特例，歸納一般結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明，這是解答有關(guān)連續(xù)自然數(shù)命題的有效途徑.師：下面，我們來(lái)看教材中的例題：證明1+3+5+……+(2n-1)=n2請(qǐng)同學(xué)們自己完成，然后將自己的證明與教材中的證明對(duì)照，如發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，找出錯(cuò)誤的原因.師：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2如采用下面的證法，對(duì)嗎?數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)4教學(xué)目標(biāo)1、了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力。2、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟。3、抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)n（n取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。難點(diǎn)：（1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系。教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情景，提示課題。1、諺語(yǔ)“天下烏鴉一般黑”的由來(lái)2、對(duì)于數(shù)列，已知，通過(guò)對(duì)n=1，2，3，4前4項(xiàng)的歸納，猜想其通項(xiàng)公式為。這個(gè)猜想是否正確需要證明。二、研探新知了解多米諾骨牌游戲，可得，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。思考：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？可以看出，條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（1）（2）成立。2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通過(guò)公式是這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？分析：多米諾骨牌游戲原理通項(xiàng)公式的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。3、數(shù)學(xué)歸納法的原理一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法注意：（1）這兩步步驟缺一不可，只完成步驟（1）而缺少步驟（2），就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論。因?yàn)閱慰坎襟E（1），無(wú)法遞推上去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無(wú)法判定。同樣，只有步驟（2）而缺少步驟（1），也可能得出不正確的結(jié)論。缺少步驟（1）這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟（2）也就沒(méi)有意義了。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識(shí)，證明“當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立”，而不是直接代入，否則n=k+1時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒(méi)有得到證明。（3）用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的'正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析。三、例題講解例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，則an=a1+（n—1）d對(duì)于一切n∈N都成立。例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+（2n—1）=n2證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是1+3+5+…+（2k－1）=k2，那么1+3+5+…+（2k－1）+［2（k+1）－1］=k2+［2（k+1）－1］=k2+2k+1=（k+1）2。∴n=k+1時(shí)也成立、由（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N都成立四、課堂練習(xí)：1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+n=。2、1+2+22+…+2n—1=2n—13、首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：an=a1qn－1。五、小結(jié)：（1）中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明；（3）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結(jié)；（4）本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)5一、準(zhǔn)備階段1.學(xué)習(xí)需要分析教是為了學(xué)，學(xué)習(xí)需要就是我們的教學(xué)需要。在教學(xué)中的學(xué)習(xí)需要是指學(xué)生學(xué)習(xí)的“目前狀況與所期望達(dá)到的狀況之間的差距”，即學(xué)習(xí)需要是學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與教學(xué)目標(biāo)(或標(biāo)準(zhǔn))之間的差距。(1)學(xué)生起點(diǎn)分析:◆知識(shí)準(zhǔn)備狀態(tài):學(xué)生對(duì)等差(比)數(shù)列、數(shù)列求和、二項(xiàng)式定理等知識(shí)有較全面的把握和較深入的理解，同時(shí)也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對(duì)歸納的概念是模糊的?！裟芰?chǔ)備狀態(tài):對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象性的理解和把握高于低年級(jí)的學(xué)生，思維方法向理性層次躍進(jìn)，并逐步形成了辨證思維體系，但層次參差不齊。(2)學(xué)生目標(biāo)分析:◆知識(shí)目標(biāo):理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含義和本質(zhì);掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)步驟;會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的恒等式?！裟芰δ繕?biāo):初步掌握歸納與推理的能力;在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題的意識(shí)和數(shù)學(xué)交流的能力?！羟楦心繕?biāo):通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究活動(dòng)，親歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和辨證唯物主義觀點(diǎn);體驗(yàn)探索中挫折的艱辛和成功的快樂(lè)，感悟“數(shù)學(xué)美”，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。2.分析教材“數(shù)學(xué)歸納法”既是高中代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。本節(jié)課有兩大難點(diǎn):使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性;遞推步驟中歸納假設(shè)的利用。3.教學(xué)環(huán)境描述本節(jié)課采用多媒體網(wǎng)絡(luò)教學(xué)，通過(guò)老師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的交流與合作逐步往前推進(jìn)，使教學(xué)在一種更為平等、民主，合作的環(huán)境下進(jìn)行，真正體現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。4.確定教法根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，我采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和感性體驗(yàn)法進(jìn)行教學(xué)。5、選擇學(xué)法在學(xué)生明確本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，伴隨著課堂進(jìn)程的推進(jìn)，學(xué)生除了掌握相應(yīng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，還要檢查、分析自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)如何學(xué)、如何鞏固，進(jìn)行自我檢查、自我校正、自我評(píng)價(jià)。二、實(shí)施階段1.設(shè)計(jì)問(wèn)題情境問(wèn)題情境一:(意圖:引出不完全歸納法概念)(1)、大球中有5個(gè)小球，如何證明它們都是綠色的?答:從大球中取出的5個(gè)小球，發(fā)現(xiàn)全是綠色的。問(wèn):若大球中有n(n>5)個(gè)小球，能否由前5個(gè)小球都是綠色的，就判斷后面的小球都是綠色的。答案顯然是不能成立的。