數(shù)列與不等式經(jīng)典例題(5篇)

第頁(yè)共頁(yè)數(shù)列與不等式經(jīng)典例題(5篇)數(shù)列與不等式經(jīng)典例題篇一理與證明一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．在等比數(shù)列{aa2n}中，假設(shè)a3a5a7a9a11＝243，那么a的值為11a．9b．1c．2d．32．在等比數(shù)列{aaan}中，an》an7·a11＝6，a4＋a14＝5，那么＋1，且a等于16a.2____.32c16d．－563．在數(shù)列{aa－n}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝1＋aan－1n＝a.1nb．nc.1nd．n24．0b．成等比數(shù)列c．各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列d．各項(xiàng)倒數(shù)成等比數(shù)列5．a(chǎn)1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈n*)，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是n-1a．a(chǎn)n＝2n－1b．a(chǎn)n1nnc．a(chǎn)n＝n2d．a(chǎn)n＝n)n2-6n6．正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于tn＝的前n項(xiàng)和sn中的最大值是a．s6b．s514(n∈n*)，bn＝log2an，那么數(shù)列{bn}7．a(chǎn)，b∈r，且a》b，那么以下不等式中恒成立的是11a．a(chǎn)》bb.<22abc．lg(a－b)》0ad.b8．設(shè)a》0，b》0，那么以下不等式中不恒成立的是11a．(a＋b)ab≥c．a(chǎn)2＋b2＋2≥2a＋2b9．當(dāng)點(diǎn)m(x，y)在如下圖的三角形abc內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)時(shí)，目的函數(shù)z＝kx＋y獲得最大值的一個(gè)最優(yōu)解為(1,2)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是〔〕a．(－∞，－1]∪[1，＋∞)b．[－1,1]c．(－∞，－1)∪(1，＋∞)d．(－1,1)2－1(x≥0)a．(－∞，－1)∪(1，＋∞)b．(－∞，－1)∪(0，＋∞)c．(－1,0)∪(0,1)d．(－1,0)∪(0，＋∞)a2＋b211．a(chǎn)》b》0，ab＝1，那么的最小值是a－ba．2c．2d．112．下面四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是a．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為1b．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為1＋k－1111111c．式子＋＋…＋n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為1231232n＋1111111d．設(shè)f(n)＝n∈n*)，那么f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上．13．sn是等差數(shù)列{an}(n∈n*)的前n項(xiàng)和，且s6》s7》s5，有以下四個(gè)命題：(1)d<0；(2)s11》0；(3)s12<0；(4)數(shù)列{sn}中的最大項(xiàng)為s11，其中正確命題的序號(hào)是________．14．在數(shù)列{an}中，假如對(duì)任意n∈n*都有數(shù)列，k稱為公差比．現(xiàn)給出以下命題：(1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0；(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；(3)假設(shè)an＝－3n＋2，那么數(shù)列{an}是等差比數(shù)列；(4)假設(shè)等比數(shù)列是等差比數(shù)列，那么其公比等于公差比．其中正確的命題的序號(hào)為_(kāi)_______．＝q，(4)正確．15．不等式1an＋2－an＋1k(k為常數(shù))，那么稱{an}為等差比an＋1－anx≥016．點(diǎn)p(x，y)滿足條件y≤x2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數(shù))，假設(shè)z＝x＋3y的最大值為8，那么三、解答題：本大題共6小題，共70分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(10分)(2024·天津市質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a－1，4,2a，記前n項(xiàng)和為sn.(1)設(shè)sk＝2550，求a和k的值；s(2)設(shè)bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．n18．(12分)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，首項(xiàng)為a1，且2，an，sn成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；b(2)假設(shè)bn＝log2an，cn＝，求數(shù)列{cn}2bx19．(12分)函數(shù)f(x)(x∈r)滿足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)ax－1數(shù)x只有一個(gè)．(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；21(2)假設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈n*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，3an并求出{bn}的通項(xiàng)公式；(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈n*)．2x(1)求集合a，b；(2)假設(shè)b?a，求m的取值范圍．2a2922．(12分)某工廠消費(fèi)甲、乙兩種產(chǎn)品，每消費(fèi)一噸產(chǎn)品所消耗的電能和煤、所需工人人數(shù)以及所得產(chǎn)值如表所示：160千度，消耗煤不得超過(guò)150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產(chǎn)品的消費(fèi)數(shù)量，才能使每天所得的產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值是多少．?dāng)?shù)列與不等式經(jīng)典例題篇二龍期刊網(wǎng)://談數(shù)列與高次不等式的證明蔡漢書(shū)《讀寫(xiě)算》2024年第95期關(guān)于高次不等式的證明，除了常用的數(shù)學(xué)歸納法之外，還有利用均值不等式，利用二項(xiàng)式定理，利用等比數(shù)列求和公式等方法.本文就以上方法以外再介紹一種新的不等式的證明方法--構(gòu)造單調(diào)數(shù)列法.例1，且，求證：證明設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.數(shù)列與不等式經(jīng)典例題篇三數(shù)列與不等式證明專題復(fù)習(xí)建議：1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“根本量法”并樹(shù)立“目的意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目的，往往能獲得與“巧用性質(zhì)”解題一樣的效果2．歸納——猜測(cè)——證明表達(dá)由詳細(xì)到抽象，由特殊到一般，由有限到無(wú)限的辯證思想．學(xué)習(xí)這局部知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維才能，計(jì)算才能，熟悉歸納、演繹的論證方法，進(jìn)步分析^p、綜合、抽象、概括等思維才能，都有重大意義．3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要擅長(zhǎng)綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析^p法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析^p、解決問(wèn)題．4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾局部，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解．證明方法：〔1〕先放縮后求和；〔2〕先求和后放縮(3)靈敏運(yùn)用例1．?dāng)?shù)列a2nn滿足a11,a22,an2(1cos2)asin2nn2,n1,2,3,.(ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(ⅱ)設(shè)ba2n1na,snb1b2bn.證明：當(dāng)n6s21n2nn.分析^p：此題給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，且要對(duì)n分奇偶性。解:(ⅰ)因?yàn)閍cos211,a22,所以a3(12)a1sin2a112,a4(1cos2)a2sin22a24.一般地，當(dāng)n2k1(kn*)時(shí)，a2k1)2k1[1cos(22]asin22k12k12＝a2k11，即a2k1a2k11.所以數(shù)列a2k1是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k1k.當(dāng)n2k(kn*)時(shí)，a2k2k2(1cos22)a2k2ksin222a2k.所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k2k.故數(shù)列an1n的通項(xiàng)公式為an2,n2k1(kn*),n22,n2k(kn*).(ⅱ)由(ⅰ)知，ba2n1nan123n2,sn23n,①2n2222212s1223nn222242n1②1①-②得，1[1(1)2]2s1111nn222232n2n1n1n12n112n2n1.2所以s1nn2n22n12n22n.要證明當(dāng)n6時(shí)，s1n(n2)n2n成立，只需證明當(dāng)n6時(shí)，2n1成立.證法一(1)當(dāng)n=6時(shí)，6(62)26____4341成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k6)時(shí)不等式成立，即k(k2)k1.那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(k1)(k3)k(k2)(k1)(k2k12k3)2k(k2)(k1)(k3)(k2)2k1.由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，n(n1)221.即當(dāng)n≥6時(shí)，sn21n.證法二令cn(n2)n22(n6)，那么c(n1)(n3)n(n2)3n2n1cn2n1222n10.所以當(dāng)n6時(shí)，c68n1cn.因此當(dāng)n6時(shí)，cnc664341.于是當(dāng)n6時(shí)，n(n2)221.綜上所述，當(dāng)n6時(shí)，sn21n.點(diǎn)評(píng)：此題奇偶分類要仔細(xì)，第〔2〕問(wèn)證明時(shí)可采用分析^p法。例題2.為銳角，且tan21，函數(shù)f(x)x2tan2xsin(24)，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a12,an1f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；⑵求證：an1an；⑶求證：111a112(n2,nn*)11a21an分析^p：此題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第〔2〕問(wèn)的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第〔3〕問(wèn)是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：⑴tan22tan2(1)2又∵為銳角∴2∴sin(2)1∴f(x)xx1441tan21(21)2∴a2,a3,an都大于0∴an0∴an1an2∴那么s1111121212111()(s)sa22a2a3ana2an13an13a22an1⑵an1anan∵a1點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探究，多角度的考慮問(wèn)題。⑶1an111112ananan(1an)an1an1111ananan1例題4.函數(shù)f(x)xln1x,數(shù)列an滿足0a11,∴1111111111112an1fan;數(shù)列bn滿足b1,bn1(n1)bn,nn*.求證:1a11a21ana1a2a2a3anan1a1an1an1∵a(12)21234,a(34)232341,又∵n2an1an∴an1a31∴121a2∴11n1a112111a21an點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成明晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，此題中的第〔3〕問(wèn)不等式的證明更具有一般性。例題3.數(shù)列aan滿足a11,n12an1nn〔ⅰ〕求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；〔ⅱ〕假設(shè)數(shù)列b1n滿足4b114b24b314bn1(an1)bn，證明：bn是等差數(shù)列；〔?！匙C明：11a12nna23an13分析^p：本例〔1〕通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第〔2〕關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第〔3〕問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮解：〔1〕an12an1，an112(an1)故數(shù)列{an1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。ann12n，an21〔2〕4b114b214b314bn1(an1)bn，4(b1b2bnn)2nbn2(b1b2bn)2nnbn①2(b1b2bnbn1)2(n1)(n1)bn1②②—①得2bn12(n1)bn1nbn，即nbn2(n1)bn1③(n1)bn12nbn2④④—③得2nbn1nbnnbn1，即2bn1bnbn1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列〔3〕1a11112n112n12設(shè)s1n2ana11，2a3an1〔ⅰ〕0a〔ⅱ〕aa2nn1an1;n12;〔?！臣僭O(shè)a12那么當(dāng)n≥2時(shí),bnann!.分析^p：第〔1〕問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第〔2〕問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性；第〔3〕問(wèn)進(jìn)展放縮。解：(ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1,nn*.〔1〕當(dāng)n=1時(shí),由得結(jié)論成立;〔2〕假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0ak1.那么當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?1x1xx10,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在0,1上連續(xù),所以f(0)g(0)=0.因?yàn)?aa2nn1,所以gan0,即2faa2數(shù)列不等式的證明方法與策略數(shù)列與不等式經(jīng)典例題篇四放縮法證明數(shù)列不等式根底知識(shí)回憶:放縮的技巧與方法：〔1〕常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：①等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！碴P(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用。的一次函數(shù)或常值函數(shù)〕②等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。〔關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用。的指數(shù)類函數(shù)〕③錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等過(guò)失誤！未找到引用。等比”的形式④裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)可以相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)〔2〕與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：①在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手②在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小〔應(yīng)與所證的不等號(hào)同方向〕③在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)展靠攏。④假設(shè)放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)展設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)展嘗試。〔3〕放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：①裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)〔或等間隔間隔項(xiàng)〕②等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用。假如題目條件無(wú)法表達(dá)出放縮的目的，那么可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用。的形式，然后猜測(cè)構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)展比擬，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。即可猜測(cè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用。公比為錯(cuò)誤！未找到引用。即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能到達(dá)放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)展放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造影響〔4〕與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：①此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，假設(shè)需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)展變形②在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)展劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用。或錯(cuò)誤！未找到引用?！怖鄢藭r(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)〕，然后通過(guò)“累加”或“累乘”到達(dá)一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式例1.【2024屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用?！插e(cuò)誤！未找到引用。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！常?〕求錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用。的值；〔3〕在滿足條件〔2〕的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)不等式錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍．例2.記錯(cuò)誤！未找到引用。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。和錯(cuò)誤！未找到引用。的子集錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。定義錯(cuò)誤！未找到引用。；假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。定義錯(cuò)誤！未找到引用。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。.錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕對(duì)任意正整數(shù)，假設(shè)，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕設(shè)，求證：.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用。．〔1〕求證:錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。；〔2〕求證:錯(cuò)誤！未找到引用?！插e(cuò)誤！未找到引用?！?；〔3〕求證:錯(cuò)誤！未找到引用。〔錯(cuò)誤！未找到引用?！常?.錯(cuò)誤！未找到引用。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用。有錯(cuò)誤！未找到引用。.其中錯(cuò)誤！未找到引用。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用。.〔1〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。成等比數(shù)列？假設(shè)存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用。滿足的條件，否那么，請(qǐng)說(shuō)明理由.〔2〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。①斷定錯(cuò)誤！未找到引用。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納:常見(jiàn)的放縮變形：〔1〕錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕錯(cuò)誤！未找到引用。注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。實(shí)戰(zhàn)演練:1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2024屆高三上學(xué)期期中】數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用。；〔2〕求錯(cuò)誤！未找到引用。；〔3〕問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。成立？說(shuō)明理由.2．【江蘇省常州市2024屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。中，錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。其中錯(cuò)誤！未找到引用。．⑴求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。為等差數(shù)列；⑵設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。且錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍；⑶設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用。⑶錯(cuò)誤！未找到引用。3．【江蘇省徐州市2024屆高三上學(xué)期期中考試】數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足〔1〕求數(shù)列〔2〕假設(shè)和，且．的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，〔，都有，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍；〔3〕是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．〕成等差數(shù)列，假設(shè)存在，求出所有滿足條件的，假設(shè)不存在，4．?dāng)?shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。、錯(cuò)誤！未找到引用。其中，錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。,錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。．〔1〕求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。、錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)公式；〔2〕是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用。有錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立？假設(shè)存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用。的最小值；〔3〕假設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用。．5．【江蘇省啟東中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。且滿足錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。為常數(shù)．〔1〕是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。？假設(shè)存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．〔2〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，求證：錯(cuò)誤！未找到引用。．〔3〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。．6．【江蘇省泰州中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】?jī)蓚€(gè)無(wú)窮數(shù)列分別滿足，其中〔1〕假設(shè)數(shù)列〔2〕假設(shè)數(shù)列①假設(shè)數(shù)列②假設(shè)數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，假設(shè)存在，求的最大值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三高考模擬一】數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。成立.〔1〕分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用。與錯(cuò)誤！未找到引用。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用。并說(shuō)明理由；〔2〕求證：錯(cuò)誤！未找到引用。；〔2〕假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。求錯(cuò)誤！未找到引用。的最小值.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。.〔1〕求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。是等差數(shù)列；〔2〕假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用。均有錯(cuò)誤！未找到引用。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的取值集合；〔3〕記錯(cuò)誤！未找到引用。求證：錯(cuò)誤！未找到引用。.9．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用。(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用。其中n∈n*．〔1〕假設(shè)數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈n*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．10．各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。且錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。．〔1〕假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。成等比數(shù)列，務(wù)實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的值；〔2〕假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)公式；②在錯(cuò)誤！未找到引用。與錯(cuò)誤！未找到引用。間插入錯(cuò)誤！未找到引用。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用。的等比數(shù)列，假設(shè)不等式錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的最大值．放縮法證明數(shù)列不等式根底知識(shí)回憶:放縮的技巧與方法：〔1〕常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：①等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！碴P(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用。的一次函數(shù)或常值函數(shù)〕②等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！碴P(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用。的指數(shù)類函數(shù)〕③錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等過(guò)失誤！未找到引用。等比”的形式④裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)可以相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)〔2〕與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：①在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手②在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小〔應(yīng)與所證的不等號(hào)同方向〕③在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)展靠攏。④假設(shè)放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)展設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)展嘗試。〔3〕放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：①裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)〔或等間隔間隔項(xiàng)〕②等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用。假如題目條件無(wú)法表達(dá)出放縮的目的，那么可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用。的形式，然后猜測(cè)構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)展比擬，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。即可猜測(cè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用。公比為錯(cuò)誤！未找到引用。即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能到達(dá)放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)展放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造影響〔4〕與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：①此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，假設(shè)需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)展變形②在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)展劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用?；蝈e(cuò)誤！未找到引用?！怖鄢藭r(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)〕，然后通過(guò)“累加”或“累乘”到達(dá)一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式例1.【2024屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用?！插e(cuò)誤！未找到引用。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！常?〕求錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用。的值；〔3〕在滿足條件〔2〕的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)不等式錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍．【答案】〔1〕錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕由〔1〕知，錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。為等比數(shù)列，那么有錯(cuò)誤！未找到引用。而錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。故錯(cuò)誤！未找到引用。解得錯(cuò)誤！未找到引用。再將錯(cuò)誤！未找到引用。代入錯(cuò)誤！未找到引用。得錯(cuò)誤！未找到引用。例2.記錯(cuò)誤！未找到引用。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。和錯(cuò)誤！未找到引用。的子集錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。定義錯(cuò)誤！未找到引用。；假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。定義錯(cuò)誤！未找到引用。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。.錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕對(duì)任意正整數(shù)，假設(shè)，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕設(shè)，求證：.【答案】〔1〕錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕詳見(jiàn)解析〔3〕詳見(jiàn)解析【解析】試題分析^p：〔1〕根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；〔2〕根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)展放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；〔3〕利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。那么錯(cuò)誤！未找到引用。因此由錯(cuò)誤！未找到引用。因此錯(cuò)誤！未找到引用。中最大項(xiàng)必在a中，由〔2〕得錯(cuò)誤！未找到引用。.試題解析：〔1〕由得錯(cuò)誤！未找到引用。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。.又錯(cuò)誤！未找到引用。故錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用。.〔2〕因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用。.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用。．〔1〕求證:錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。；〔2〕求證:錯(cuò)誤！未找到引用?！插e(cuò)誤！未找到引用?！?；〔3〕求證:錯(cuò)誤！未找到引用?！插e(cuò)誤！未找到引用?！常敬鸢浮俊?〕證明見(jiàn)解析；〔2〕證明見(jiàn)解析；〔3〕證明見(jiàn)解析．故錯(cuò)誤！未找到引用。那么有：錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。例4.錯(cuò)誤！未找到引用。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用。有錯(cuò)誤！未找到引用。.其中錯(cuò)誤！未找到引用。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用。.〔1〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。成等比數(shù)列？假設(shè)存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用。滿足的條件，否那么，請(qǐng)說(shuō)明理由.〔2〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。①斷定錯(cuò)誤！未找到引用。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍.【答案】〔1〕①錯(cuò)誤！未找到引用。；②不存在；〔2〕①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。且錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。是以錯(cuò)誤！未找到引用。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用。．方法、規(guī)律歸納:常見(jiàn)的放縮變形：〔1〕錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕錯(cuò)誤！未找到引用。注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。實(shí)戰(zhàn)演練:1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2024屆高三上學(xué)期期中】數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。〔1〕求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用。；〔2〕求錯(cuò)誤！未找到引用。；〔3〕問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。成立？說(shuō)明理由.【答案】〔1〕錯(cuò)誤！未找到引用。〔2〕錯(cuò)誤！未找到引用?！?〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。都成立，〔3〕詳見(jiàn)解析〔3〕假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。所以只要錯(cuò)誤！未找到引用。即只要滿足①：錯(cuò)誤！未找到引用。和②：錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)于①只要錯(cuò)誤！未找到引用。就可以；對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用。不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。令錯(cuò)誤！未找到引用。因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)時(shí)，②式成立，即當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。成立.2．【江蘇省常州市2024屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。中，錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。其中錯(cuò)誤！未找到引用。．⑴求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。為等差數(shù)列；⑵設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。假設(shè)當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。且錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍；⑶設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用。⑶錯(cuò)誤！未找到引用。要使錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用。且錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)恒成立，只要使錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用。且錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用。；⑶由⑴得錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。因此數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用。．【點(diǎn)睛】此題考察數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的斷定與證明，其中證明〔1〕的關(guān)鍵是分析^p得到錯(cuò)誤！未找到引用。與錯(cuò)誤！未找到引用。的關(guān)系式．3．【江蘇省徐州市2024屆高三上學(xué)期期中考試】數(shù)列滿足，且．的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列〔1〕求數(shù)列〔2〕假設(shè)和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，〔，都有，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍；〔3〕是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】〔1〕〔2〕〕成等差數(shù)列，假設(shè)存在，求出所有滿足條件的，假設(shè)不存在，〔3〕不存在〔2〕由〔1〕得于是所以，兩式相減得所以由〔1〕得因?yàn)閷?duì)即所以恒成立，都有，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．〔〕，使成等差數(shù)列，那么，時(shí)取最小值，〔3〕假設(shè)存在正整數(shù)即，假設(shè)為偶數(shù)，那么假設(shè)為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，那么，與矛盾；，即，此時(shí)4．?dāng)?shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。、錯(cuò)誤！未找到引用。其中，錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。,錯(cuò)誤！未找到引用。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。．〔1〕求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。、錯(cuò)誤！未找到引用。的通項(xiàng)公式；〔2〕是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用。有錯(cuò)誤！未找到引用。恒成立？假設(shè)存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用。的最小值；〔3〕假設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。滿足錯(cuò)誤！未找到引用。求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用。．【答案】〔1〕錯(cuò)誤！未找到引用。；〔2〕存在，錯(cuò)誤！未找到引用。；〔3〕錯(cuò)誤！未找到引用。．【解析】試題分析^p：〔1〕根據(jù)題設(shè)條件用累乘法可以求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．〔2〕bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成錯(cuò)誤！未找到引用。可求得錯(cuò)誤！未找到引用。的取值范圍；〔3〕分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出tn，然后寫(xiě)成分段函數(shù)的形式。試題解析：〔1〕由錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。．又錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯(cuò)誤！未找到引用。.〔3〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。；當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。.因此錯(cuò)誤！未找到引用。．點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。5．【江蘇省啟東中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。且滿足錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。為常數(shù)．〔1〕是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。？假設(shè)存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．〔2〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，求證：錯(cuò)誤！未找到引用。．〔3〕當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。．【答案】〔1〕不存在，理由見(jiàn)解析〔2〕證明見(jiàn)解析〔3〕證明見(jiàn)解析當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。錯(cuò)誤！未找到引用。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。即錯(cuò)誤！未找到引用。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用。．6．【江蘇省泰州中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】?jī)蓚€(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為〔1〕假設(shè)數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)數(shù)列①假設(shè)數(shù)列②假設(shè)數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，假設(shè)存在，求的最大值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.【答案】〔1〕.〔2〕①，②6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三高考模擬一】數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。成立.〔1〕分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用。與錯(cuò)誤！未找到引用。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用。并說(shuō)明理由；〔2〕求證：錯(cuò)誤！未找到引用。；〔2〕假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。求錯(cuò)誤！未找到引用。的最小值.【答案】〔1〕不具有〔2〕見(jiàn)解析〔3〕錯(cuò)誤！未找到引用。.〔2〕因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用。所以對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用。使得錯(cuò)誤！未找到引用。又因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用。將上述不等式相加得：錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。.〔3〕由〔2〕可知錯(cuò)誤！未找到引用。又錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用。經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用。故錯(cuò)誤！未找到引用。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用。.點(diǎn)睛：此題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問(wèn)時(shí)，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)展驗(yàn)證即可；解答第二問(wèn)時(shí)，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯(cuò)誤！未找到引用。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用。再將上述不等式相加得：錯(cuò)誤！未找到引用。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用。；證明第三問(wèn)時(shí)，充分借助〔2〕的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用。又錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用。因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用。經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用。進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用。.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的前錯(cuò)誤！未找到引用。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用。.〔1〕求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。是等差數(shù)列；〔2〕假設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用。對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用。均有錯(cuò)誤！未找到引用。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用。的取值集合；〔3〕記錯(cuò)誤！未找到引用。求證：錯(cuò)誤！未找到引用。.【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕錯(cuò)誤！未找到引用。〔3〕見(jiàn)解析解：〔1〕設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用。那么錯(cuò)誤！未找到引用。從而錯(cuò)誤！未找到引用。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用。即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用。是等差數(shù)列.〔2〕因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用。都是公差為錯(cuò)誤！未找到引用。的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用。的等差數(shù)列，又錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。所以錯(cuò)誤！未找到引用。顯然，錯(cuò)