專題04圓的方程（1）（原卷版）

專題04圓的方程（1）TOC\o"1-3"\h\u題型1圓的方程 ③過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線過(guò)圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說(shuō)明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.知識(shí)點(diǎn)六.切線長(zhǎng)①?gòu)膱Ax2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b的積，即b＝eq\f(2ar,d).注意：過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．知識(shí)點(diǎn)七．圓的弦長(zhǎng)直線和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法：(1)幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.知識(shí)點(diǎn)八．兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程：圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時(shí)：(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程(不包括C2)．知識(shí)點(diǎn)九．圓系方程(1)過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(2)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解)．題型1圓的方程【方法總結(jié)】求圓的方程的兩種方法1．求圓的方程的2種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．2．確定圓心位置的方法(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線．◆類型1標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用【例題1-1】(2022·福州模擬)已知圓C過(guò)點(diǎn)A(6，0)，B(1，5)，且圓心在直線l：2x－7y＋8＝0上，則圓C的方程為_(kāi)_______．【變式1-1】1．圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0 D.x2＋y2＋2x－3＝0【變式1-1】2．(2021·唐山模擬)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與圓(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，則圓C的方程為_(kāi)_____________．【變式1-1】3.(2021·?？谀M)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【變式1-1】4.一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，則該圓的方程為_(kāi)_____．【變式1-1】5．(2021·福州模擬)已知直線l：3x－4y－15＝0與圓C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝6，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x－1)2＋(y－2)2＝36C．(x－1)2＋(y－2)2＝16 D．(x－1)2＋(y－2)2＝49◆類型2已知解析式型【例題1-2】(2022·煙臺(tái)月考)方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲線是()A．一個(gè)橢圓B.一個(gè)圓C．兩個(gè)圓D.兩個(gè)半圓◆類型3數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用【例題1-3】(多選)(2022·蚌埠質(zhì)檢)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)且被x軸分成兩段，弧長(zhǎng)比為1∶2，則圓C可能的方程為()A．x2＋(y＋eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3) B.x2＋(y－eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3)C．(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3) D.(x＋eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3)【變式1-3】（2017·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C1:x2=2y的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓C2交C1于A，B兩點(diǎn)，交C1的準(zhǔn)線于CA．x2+(C．x2+y◆類型4一般式方程的應(yīng)用【例題1-4】(2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾月考)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，則△OAB的外接圓方程是________．【變式1-4】若不同的四點(diǎn)A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圓，則a的值是________．◆類型5直徑公式的應(yīng)用【例題1-5】設(shè)A(2，－1)，B(4，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．(x－3)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝8C．(x＋3)2＋y2＝2 D.(x＋3)2＋y2＝8【變式1-5】以A(3，－1)，B(－2，2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()A．x2＋y2－x－y－8＝0 B.x2＋y2－x－y－9＝0C．x2＋y2＋x＋y－8＝0 D.x2＋y2＋x＋y－9＝0◆類型6圓系方程的應(yīng)用【例題1-6】圓心在直線x-y-4=0上，且過(guò)兩圓x2【變式1-6】1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,-2)以及圓x2+y2【變式1-6】2．已知圓C1:x(1)求圓C1與圓C(2)求過(guò)兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線2x+4【變式1-6】3．求以相交兩圓C1:x◆類型7含參范圍問(wèn)題【例題1-7】若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是________．【變式1-7】1．若方程x2＋y2－4x＋2y＝a表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，－5) B.(－5，＋∞)C．(－∞，0) D.(0，＋∞)【變式1-7】2．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若a∈-2,0,1,34，則方程xA．0 B．1 C．2 D．3【變式1-7】3．若曲線C:x2+yA．-∞,-2 B．-∞,-1 C．2,+∞ D．1,+∞題型2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系◆類型1點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判斷【方法總結(jié)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解題思路點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外，幾何法：是求出點(diǎn)到圓心的距離然后與半徑比較．代數(shù)法：直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，點(diǎn)為(x0,y0)，則點(diǎn)在圓內(nèi)【例題2-1】已知點(diǎn)P(3,2)和圓的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，則它們的位置關(guān)系為?！咀兪?-1】若直線l:ax+by=1與圓C:xA．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定◆類型2求參數(shù)取值范圍問(wèn)題【例題2-2】若點(diǎn)P(5a＋1，12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．|a|＜1B.a＜eq\f(1,13)C．|a|＜eq\f(1,5)D.|a|＜eq\f(1,13)【變式2-2】1.點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【變式2-2】2．若點(diǎn)Aa,a在圓x2+A．-∞,-3 B．-3,1C．-∞,-3∪1,3【變式2-2】3．（2019·黑龍江·大慶一中三模（理））已知點(diǎn)P1,2和圓C:x2+y2+kx題型3點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【方法總結(jié)】圓上的點(diǎn)到直接距離最值:（1）把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r（2）利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離（3）判斷位置關(guān)系【例題3】已知圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，當(dāng)m變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的最短距離是________．【變式3-1】1．已知點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|.(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值．【變式3-1】2．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)高三期末（理））已知M，N分別是曲線C1:x2+y2A．2 B．3 C．2 D．3【變式3-1】3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1:x-22+y-32=1，圓C2:x-32A．52+4 B．2 C．52【變式3-1】4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P,Q分別為圓C1:x-22A．17-4,17+4C．17-2,17+2【變式3-1】5．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，B(1,1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為()A.eq\r(6)B．eq\r(7)C.eq\r(10)D．eq\r(11)【變式3-1】6．（多選）已知圓C1:(x-1)2+(y-3)2=1和圓C2A．PM+PN無(wú)最大值 B．C．PM+PN無(wú)最小值 D．PM【變式3-1】7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在圓C:(x-8)2A．37 B．6 C．4+5 D．【變式3-1】8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2+y2=4，圓C2：x2+y2=6，點(diǎn)M(1,0)，動(dòng)點(diǎn)A，BA．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】9．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k（k>0，k≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB=3A．3+3 B．7+43 C．8+43題型4直線與圓的位置關(guān)系【方法總結(jié)】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)(也就是方程組解的個(gè)數(shù))來(lái)判斷．①如果Δ<0，那么直線與圓相離；②如果Δ＝0，那么直線與圓相切；③如果Δ>0，那么直線與圓相交．◆類型1利用定點(diǎn)判斷位置關(guān)系型【例題4-1】直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．不確定，與m的取值有關(guān)【變式4-1】已知圓C：x2＋(y－4)2＝4，直線l：(3m＋1)x＋(1－m)·y－4＝0.(1)證明：直線l總與圓C相交；(2)設(shè)直線l與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△CEF面積最大時(shí)，直線l的方程．◆類型2定義法判斷直線與圓的位置關(guān)系【例題4-2】已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切B.相交C.相離D.不確定【變式4-2】1．若點(diǎn)P(x0,y0)是圓x2+A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相離【變式4-2】2．(多選)(2022·南安僑光中學(xué)月考)若直線l：y＝kx＋1與圓C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是()A．相交B.相切C.相離D.不確定【變式4-2】3.直線l：x－y＋1＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．相切C．相交且過(guò)圓心D．相交但不過(guò)圓心【變式4-2】4．直線xcosθ+ysinθ=1與圓A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【變式4-2】5．已知圓M:x+cosA．必存在實(shí)數(shù)k與θ，使得直線l與圓M相切B．對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l與圓M有公共點(diǎn)C．對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l與圓M相切D．對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切◆類型3根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求取值（范圍、最值）問(wèn)題【例題4-3】(2022·杭州模擬)若無(wú)論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線ax＋y＋a＋1＝0與圓x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(－∞，2)B.(2，＋∞)C．(－∞，－6) D.(－6，＋∞)【變式4-3】1．(2022·溫州高三模擬)若直線x－y＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝m相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0，2]B.(1，2]C.(0，2)D.(1，2)【變式4-3】2．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)【變式4-3】3．(一題多解)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝________，r＝________．【變式4-3】4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=1-x-22+2的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y【變式4-3】5．若曲線y=1-x2與直線y=x+b始終有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．[-1,2] B．[-1,【變式4-3】6．已知直線l：ax－y＋2＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a∈R))與圓M：x2＋y2－4y＋3＝0的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|的最大值為()A．9B.10C.11D.12【變式4-3】7．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為()A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0【變式4-3】8．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6]B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)]D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]題型5圓上的點(diǎn)與直線距離問(wèn)題◆類型1圓上的點(diǎn)與直線距離最值問(wèn)題【例題5-1】已知圓(x－2)2＋y2＝1上的點(diǎn)到直線y＝eq\r(3)x＋b的最短距離為eq\r(3)，則b的值為()A．－2或2 B．2或4eq\r(3)＋2C．－2或4eq\r(3)＋2 D．－4eq\r(3)－2或2【變式5-1】1．如果圓x-a2+yA．2,2 B．2,22 C．1,【變式5-1】2．P為⊙C：x2+y2-2x-2y=0上一點(diǎn)，QA．2 B．233 C．26【變式5-1】3．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓x2+y2-2x-2A．-34 B．1 C．4 D．7【變式5-1】4．已知點(diǎn)P是圓C:x-3-cosθ2A．2 B．22 C．2+1 D◆類型2圓上的點(diǎn)到直線距離為定值型【例題5-2】（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））圓x2+y2+2x-2A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-2】1．若圓(x-1)2+(y+1)A．(2,22] B．(2,2【變式5-2】2.若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()A．(eq\r(2)＋1，＋∞) B.(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(0，eq\r(2)－1) D.(0，eq\r(2)＋1)【變式5-2】3．若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2eq\r(2)，則直線l的斜率的取值范圍是()A．[2－eq\r(3)，1]B．[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))D．[0，＋∞)題型6圓的切線、弦長(zhǎng)問(wèn)題【方法總結(jié)】解決有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB|＝|yA－yB|，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時(shí)，要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來(lái)使用◆類型1圓的切線問(wèn)題考點(diǎn)1圓上一點(diǎn)切線問(wèn)題【例題6-1】2022·長(zhǎng)沙市第一中學(xué)月考)已知圓x2＋y2＝25，則過(guò)圓上一點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4))的切線方程為()A．3x＋4y－25＝0 B.4x＋3y－24＝0C．3x－4y＋7＝0 D.4x－3y＝0【變式6-1】1.圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(2)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0【變式6-1】2．直線l是圓x2＋y2＝4在(－1，eq\r(3))處的切線，點(diǎn)P是圓x2－4x＋y2＋3＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2考點(diǎn)2圓外一點(diǎn)切線問(wèn)題【方法總結(jié)】求過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的方法幾何法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫(xiě)出切線方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證代數(shù)法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證注意：設(shè)切線方程時(shí)一定要注意斜率不存在的情況．【例題6-2】(2022·河南省鄭州市期末)已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點(diǎn)P(4，－1)，過(guò)點(diǎn)P作直線l.(1)當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．【變式6-2】過(guò)原點(diǎn)作圓x2+考點(diǎn)3平行(垂直)線與切線問(wèn)題【例題6-3】平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0【變式6-3】已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程．(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過(guò)切點(diǎn)A(4，－1)．考點(diǎn)4與導(dǎo)數(shù)結(jié)合問(wèn)題【例題6-4】(2020·全國(guó)卷Ⅲ)若直線l與曲線y＝eq\r(x)和圓x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，則l的方程為()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)【變式6-4】（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓心在曲線y=1xA．x2+（y-1）2=2 B．x2+（y+1）2=2 C．（x-1）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2◆類型2切點(diǎn)弦相關(guān)問(wèn)題【例題6-5】(2022·松原市長(zhǎng)嶺縣聯(lián)考)已知直線l：kx＋y＋8k－2＝0過(guò)定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P向圓O：x2＋y2＝1作切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在的直線方程為_(kāi)_______．【變式6-5】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Q是直線l：x-y-4=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓O：x2+y2=4【變式6-5】2．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））過(guò)原點(diǎn)O作圓C:x2+y2+4A．2x+2yC．2x+2y【變式6-5】3．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）過(guò)直線l:x+y=3上任一點(diǎn)P向圓C:x2+y2=1◆類型3弦長(zhǎng)問(wèn)題考點(diǎn)1弦長(zhǎng)問(wèn)題【例題6-6】過(guò)點(diǎn)P(0，2)引一條直線l交圓(x－1)2＋y2＝4于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為_(kāi)_____________________．【變式6-6】1．已知直線l與圓x2＋y2－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為(－1,1)，則直線l的方程為_(kāi)_________．【變式6-6】2.(2021·河北七校聯(lián)考)若a，b，c是△ABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且csinC＝3asinA＋3bsinB，則直線l：ax－by＋c＝0被圓O：x2＋y2＝12所截得的弦長(zhǎng)為()A．4eq\r(6) B．2eq\r(6)C．6 D．5【變式6-6】3.已知直線l：x＋my－1＝0與圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB取得最大值時(shí)，則m＝()A．－3B.－1C.1D.3【變式6-6】4．已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為()A．1B．±1C.eq\r(3)D．±eq\r(3)【變式6-6】5．已知直線l：x－eq\r(3)y－a＝0與圓C：(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝4交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P在圓C上，且∠MPN＝eq\f(π,3)，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．2或10B．4或8C．6±2eq\r(2)D．6±2eq\r(3)【變式6-6】6．設(shè)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0))的直線l與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，若8eq\o(PA,\s\up7(→))＝5eq\o(AB,\s\up7(→))，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝()A.eq\f(8\r(5),5)B.eq\f(4\r(6),3)C.eq\f(6\r(6),5)D.eq\f(4\r(5),3)【變式6-6】7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l：y=mx-2+2與圓C：xA．6條 B．7條 C．8條 D．9條考點(diǎn)2弦長(zhǎng)最短問(wèn)題【例題6-7】圓x2+y2-4x+6y-12=0過(guò)點(diǎn)(-1,0)A．10-27 B．5-7 C．10-33【變式6-7】1．過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線中被圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長(zhǎng)最大的直線方程是()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0【變式6-7】2．已知圓O的方程是x2+y2-8A．x+y-3=0 B．x-y-3=0【變式6-7】3．直線l：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－1))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－3))y＋4－3a＝0與圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))取最小值時(shí)，a的值是()A.eq\f(3,4)B.－eq\f(3,4)C.－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)【變式6-7】4．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)已知圓x2＋y2－6x＝0，過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()A．1B．2C．3D．4【變式6-7】5．(2021·煙臺(tái)模擬)已知圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝3及直線l：ax＋y－2a－2＝0，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為_(kāi)_______．【變式6-7】6．已知圓C：x2＋y2－8y＋14＝0，直線l：mx－y－3m＋1＝0與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d，當(dāng)d取最大值時(shí)，△PAB的面積為()A．3eq\r(2)B．8C．6D．4eq\r(2)考點(diǎn)3與切弦長(zhǎng)有關(guān)的取值范圍問(wèn)題【例題6-8】直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2eq\r(3)，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))【變式6-8】1.已知直線分別于半徑為的圓相切于點(diǎn)，若點(diǎn)在圓的內(nèi)部（不包括邊界），則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.【變式6-8】2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，